¡Salida de emergencia!

Dibuje un diagrama de cuerpo libre y rote el eje \({x-} \) para alinearse con la dirección del movimiento. Utilice la segunda ley de Newton para hacer un producto escalar con la distancia recorrida y la fuerza neta. (Nota: la distancia recorrida se puede escribir en términos de la altura y el ángulo, y la fuerza neta es la suma de las fuerzas). Finalmente, use el Teorema Trabajo-Energía y la relación anterior para despejar la energía cinética del sistema, y aplique Conservación de Energía para despejar la altura mínima de la rampa.

El teorema trabajo-energía establece:

\begin{equation*}
W_{\text{net}}=K_f-K_i,
\end{equation*}

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donde \(W_{\text{net}} = \vec{F}_{\text{net}} \cdot \vec{d}\) . Girando el eje \({x-} \) para alinearse con la dirección del movimiento, \( W _ {\text{net} } \) se puede escribir, por definición, como:

\begin{equation*}
W_{\text{net}}=\left(-mg\sin(\theta)\,\hat{\textbf{i}}-mg\cos(\theta)\,\hat{\textbf{j}}-0.3mg\,\hat{\textbf{i}}+N\,\hat{\textbf{j}}\right)\cdot \left(d\,\hat{\textbf{i}}\right).
\end{equation*}

Según la geometría que se muestra en la figura, podemos escribir \( \sin \theta = \frac{h}{d}\). Sustituyendo esto en la ecuación de trabajo, obtenemos:

\begin{equation*}
W_{\text{net}}=-mgh\left(1+\frac{0.3}{\sin(\theta)}\right).
\end{equation*}

Sabemos que el camión se detiene después de recorrer la distancia, \( d \), por lo que su energía cinética final debe ser cero. Usando el teorema trabajo-energía, podemos escribir:

\begin{equation*}
gh\left(1+\frac{0.3}{\sin(\theta)}\right)=\frac{1}{2}v_i^2.
\end{equation*}

Despejando \( h \) e instertando valores numéricos, obtenemos:

\begin{equation*}
h \approx 23\, \text{m}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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El problema nos pide que encontremos la altura mínima requerida para una rampa de escape de emergencia si un camión de 10 toneladas ingresa a ella con una rapidez de 60 mph. Para abordar este problema utilizaremos el teorema trabajo-energía, que relaciona el cambio en la rapidez con el trabajo realizado por todas las fuerzas sobre el camión. Una vez que obtenemos una expresión para el trabajo realizado por todas las fuerzas en términos del cambio en la rapidez , podemos usar la definición de trabajo para relacionar el trabajo encontrado con el desplazamiento del camión. Finalmente, podemos usar funciones trigonométricas simples para relacionar ese desplazamiento con la altura de la rampa.

Entonces, comencemos con el teorema trabajo-energía, que dice

\begin{equation}
\label{workenergy}
W_{\text{net}}=K_f-K_i,
\end{equation}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

donde \(W_{\text{net} } \) es el trabajo ejercido por la fuerza neta que actúa sobre el camión a lo largo de la rampa, y \(K_f \) y \(K_i \) son las energías cinéticas cuando el camión se detiene y cuando el camión entra en la rampa, respectivamente. El siguiente paso es encontrar el trabajo neto.

Para encontrar este trabajo, primero debemos identificar todas las fuerzas ejercidas sobre el camión cuando está sobre la rampa. Tendremos un peso \(\vec{W} \) apuntando hacia abajo, una fricción \(\vec{f} _r \) oponiéndose al movimiento, y una fuerza normal \(\vec{N} \) perpendicular a la superficie de la rampa. Es conveniente utilizar un sistema de coordenadas ‘inclinado’, donde el eje X apunta en la dirección de la rampa. Por tanto, el diagrama de cuerpo libre se puede encontrar en la figura 1.

Figura 1: Diagrama de cuerpo libre del camión mostrando tres fuerzas: la fuerza de contacto con la rampa \(\vec{N} \), el peso \(\vec{W} \) y la fuerza de fricción \(\vec{f} _r \). El sistema de coordenadas se elige con la misma inclinación que la rampa con el eje X positivo paralelo al desplazamiento del camión \(\vec{d} \) y el eje Y perpendicular a la rampa.

Para calcular el trabajo, será útil escribir una expresión explícita para las fuerzas en términos de sus magnitudes y direcciones. En el diagrama vemos que el peso tiene componentes X y Y, por lo que podemos escribirlo como

\begin{equation}
\label{weight0}
\vec{W}=-W_x\,\hat{\textbf{i}}-W_y\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Si usamos \(W = mg \), y el hecho de que del diagrama \(W_x = mg \sin (\theta) \) y \(W_y = mg \cos (\theta) \) (donde \( \theta = 30^{\circ} \) es la inclinación de la rampa), entonces podemos escribir el peso como

\begin{equation}
\label{weight}
\vec{W}=-mg\sin(\theta)\,\hat{\textbf{i}}-mg\cos(\theta)\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

En cuanto a la fricción, apunta en la dirección negativa de X y nos dicen que la magnitud de la fricción es el 30% de la magnitud del peso. Entonces, podemos escribir que

\begin{equation}
\label{fr}
\vec{f}_r=-0.3\,mg\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Finalmente, para la fuerza normal \(\vec{N} \), sabemos que apunta en la dirección positiva del eje Y. Por eso,

\begin{equation}
\label{normal}
\vec{N}=N\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Ahora que tenemos expresiones para cada fuerza, podemos calcular la fuerza neta, lo que nos permitirá obtener el nuevo trabajo (que es lo que necesitamos para el teorema trabajo-energía). La fuerza neta es

\begin{equation}
\vec{F}_{\text{net}}=\vec{W}+\vec{f}_r+\vec{N},
\end{equation}

que después de usar la ecuación explícita para cada fuerza, dadas por las ecuaciones \eqref{weight} , \eqref{fr} y \eqref{normal} , tenemos que

\begin{equation}
\label{netforce}
\vec{F}_{\text{net}}=-mg\sin(\theta)\,\hat{\textbf{i}}-mg\cos(\theta)\,\hat{\textbf{j}}-0.3mg\,\hat{\textbf{i}}+N\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Debido a que la fuerza neta es constante a lo largo del desplazamiento del camión sobre la rampa (no depende del tiempo), podemos calcular el trabajo neto como el producto punto entre la fuerza y el desplazamiento, es decir, como

\begin{equation}
\label{network}
W_{\text{net}}=\vec{F}_{\text{net}}\cdot \vec{d},
\end{equation}

donde \(\vec{d} \) es el vector de desplazamiento, con magnitud \(d \) y apuntando a lo largo del eje X. Como recordatorio, no olvide que el producto punto se define como \(\vec{F} \cdot \vec{d} = Fd \cos \theta \), donde \(\theta \) es el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento.

Ahora, \(\vec{d} \) se puede escribir explícitamente como

\begin{equation}
\vec{d}=d\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Usando nuestro resultado para la fuerza neta dada por la ecuación \eqref{netforce} y el desplazamiento en la ecuación \eqref{network} , obtenemos que

\begin{equation}
W_{\text{net}}=\left(-mg\sin(\theta)\,\hat{\textbf{i}}-mg\cos(\theta)\,\hat{\textbf{j}}-0.3mg\,\hat{\textbf{i}}+N\,\hat{\textbf{j}}\right)\cdot \left(d\,\hat{\textbf{i}}\right).
\end{equation}

Después de distribuir los términos, obtenemos

\begin{equation}
W_{\text{net}}=-mgd\sin(\theta)\,\hat{\textbf{i}}\cdot\,\hat{\textbf{i}}-mg\cos(\theta)d\,\hat{\textbf{j}}\cdot\,\hat{\textbf{i}}-0.3mgd\,\hat{\textbf{i}}\cdot\,\hat{\textbf{i}}+Nd\,\hat{\textbf{j}}\cdot\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Usando que \(\hat{\textbf{i}}\cdot\hat{\textbf{j}}=0\) y \(\hat{\textbf{i}}\cdot\hat{\textbf{i}}=1\) (esto viene de \(\hat{\textbf{i}}\cdot\hat{\textbf{j}}=(1)(1) \cos 90^{\circ}=0\) y \(\hat{\textbf{i}}\cdot\hat{\textbf{j}}=(1)(1) \cos 0^{\circ}=1\), obtenemos

\begin{equation}
\label{network2}
W_{\text{net}}=-mgd\sin(\theta)-0.3\,mgd.
\end{equation}

Ahora tenemos una expresión para el trabajo que involucra la distancia desconocida \(d \). Podemos usar relaciones trigonométricas entre \(d \), \(h \) y \(\theta \) para escribir la expresión del trabajo neto en términos de \(h \), que es la variable que necesitamos encontrar . Esta relación se puede encontrar fácilmente en la figura 2.

Figura 2: Ilustración de la geometría de la rampa que relaciona la distancia recorrida por el camión en la rampa \(d \), la altura de la rampa \(h \) y su ángulo de inclinación \(\theta \).

Por tanto, de esta figura se desprende claramente que

\begin{equation}
\sin(\theta)=\frac{h}{d},
\end{equation}

que se usar para despejar \(d \) y obtener que

\begin{equation}
d=\frac{h}{\sin(\theta)}.
\end{equation}

Usando las relaciones anteriores en la expresión para el trabajo neto dado en la ecuación \eqref{network2} , obtenemos

\begin{equation}
W_{\text{net}}=-mgd\left(\frac{h}{d}\right)-0.3\,mg\left(\frac{h}{\sin(\theta)}\right).
\end{equation}

Después de simplificar, esto se convierte en

\begin{equation}
W_{\text{net}}=-mgh-0.3mg\frac{h}{\sin(\theta)}.
\end{equation}

Finalmente, después de factorizar, obtenemos

\begin{equation}
\label{network3}
W_{\text{net}}=-mgh\left(1+\frac{0.3}{\sin(\theta)}\right).
\end{equation}

Volvamos entonces al teorema trabajo-energía expresado en la ecuación \eqref{workenergy} . Antes de hacer eso, tenga en cuenta que la energía cinética \(K \) se puede calcular en términos de la masa \(m \) y la rapidez \(v \), de la siguiente manera

\begin{equation}
K=\frac{1}{2}mv^2.
\end{equation}

Como queremos que el camión se detenga después de recorrer una distancia \(d \) sobre la rampa, su energía cinética final \(K_f \) debe ser cero. La energía cinética inicial es entonces

\begin{equation}
K_i=\frac{1}{2}mv_i^2,
\end{equation}

donde \(v_i \) es la rapidez con la que el camión entra a la rampa.

Remplazando los resultados de la ecuación \eqref{network3} y la última ecuación en la ecuación \eqref{workenergy} , obtenemos

\begin{equation}
-mgh\left(1+\frac{0.3}{\sin(\theta)}\right)=0-\frac{1}{2}mv_i^2.
\end{equation}

Después de simplificar la expresión cancelando el signo menos y la masa \(m \), podemos reescribir como

\begin{equation}
gh\left(1+\frac{0.3}{\sin(\theta)}\right)=\frac{1}{2}v_i^2.
\end{equation}

Entonces podemos despejar \(h \) y obtener

\begin{equation}
h=\frac{v_i^2}{2g\left(1+\frac{0.3}{\sin(\theta)}\right)}.
\end{equation}

Observe que la altura no depende de la masa del camión. Esto es bueno, significa que la rampa funcionará para todo tipo de camiones, siempre que la rapidez inicial no sea muy alta. Usando los valores numéricos para calcular \(h \), finalmente obtenemos

\begin{equation}
h=\frac{(26.8\,\text{m/s})^2}{2(9.8\,\text{m/s}^2)\left(1+\frac{0.3}{\sin(30^{\circ})}\right)},
\end{equation}

\begin{equation}
h\approx 23\,\text{m}.
\end{equation}

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