¡Una torre WTC!

a) Defina la energía final de la pelota en función de su energía inicial y una constante; esta constante representará el porcentaje de energía mecánica disipada.

b) Similar a la parte (a). Aplique Conservación de energía para resolver la velocidad final.

a) La energía después del primer rebote es simplemente:

\begin{equation*}
E_{m_1} = E_{m_i} (1 – P),
\end{equation*}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

y para el tercer rebote:

\begin{equation*}
E_{m_3} = (m g h_i) (1-P)^3.
\end{equation*}

Cada energía mecánica después del rebote \({j-th} \) es \(E_{m_j} = mgh_j \) para cada caso \(j \). Sustituyendo la energía potencial, despejando \(P \) y usando algo de álgebra, obtenemos:

\begin{equation*}
P = 1 – \sqrt[3]{ \frac{h_f}{h_i} },
\end{equation*}

que con valores numéricos es:

\begin{equation*}
P = 0.667.
\end{equation*}

b) Tenga en cuenta que la energía mecánica disipada no es \(P \), sino que es \(P / 2 \). Aplicando Conservación de Energía, obtenemos:

\begin{equation*}
(mgh_i) = \left( \frac{1}{2} m v^2 + mgh_i \right) \left(1-\frac{P}{2}\right).
\end{equation*}

Despejando \(v \), y usando algo de álgebra, obtuvimos:

\begin{equation*}
v = \sqrt{2gh_i\left( \frac{1}{\left(1-\frac{P}{2}\right)} – 1\right)},
\end{equation*}

que con valores numéricos es:

\begin{equation*}
v = 72.77 \, \text{m/s}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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(a) Una forma fácil de encontrar el porcentaje de energía perdida por cada rebote es la siguiente. Suponga que el porcentaje de energía que se pierde en el primer rebote es \(P \). Por tanto, el porcentaje de energía que se retiene es \(1-P \). Por ejemplo, si la energía que se pierde es el 30 por ciento de la energía inicial, entonces la energía que se retiene es el 70 por ciento. Entonces, si la energía inicial es \(E_{m_i} \), entonces la energía después del primer rebote es simplemente

\begin{equation}
\label{Building_PrimerRebote}
E_{m_1} = E_{m_i} (1 – P).
\end{equation}

Desde aquí todavía no podemos encontrar \(P \) porque necesitamos \(E_{m_1} \). Entonces necesitamos más ecuaciones.

Cuando la pelota rebote por segunda vez, volverá a perder algo de energía. El razonamiento es el mismo que el anterior, y el porcentaje de pérdida de energía es el mismo para cada rebote (como se dijo en el enunciado). Entonces, la energía después del segundo rebote vendrá dada por

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

\begin{equation}
E_{m_2} = E_{m_1} (1 – P),
\end{equation}

donde, recuerde, \(E_{m_1} \) es la energía después del primer rebote. Usando \eqref{Building_PrimerRebote}, podemos escribir esta ecuación como

\begin{equation}
\label{Building_SegundoRebote}
E_{m_2} = E_{m_i} (1 – P) (1-P).
\end{equation}

Pero esto no es suficiente, ya que no sabemos \(E_{m_2} \). Sigamos adelante.

Cuando la pelota rebota por tercera vez, volverá a perder energía. Entonces la energía después del tercer rebote es

\begin{equation}
E_{m_3} = E_{m_2} (1 – P).
\end{equation}

Si usamos \eqref{Building_SegundoRebote} aquí tenemos
\begin{equation}
\label{Building_TercerRebote}
E_{m_2} = E_{m_i} (1 – P) (1-P)(1-P).
\end{equation}

O, de manera equivalente

\begin{equation}
\label{Building_TercerReboteALaTres}
E_{m_2} = E_{m_i} (1 – P)^3.
\end{equation}

Como conocemos la altura inicial y la altura final, podemos encontrar fácilmente \(P \) desde aquí. Inicialmente, la bola solo tiene energía potencial gravitacional, ya que la bola no se mueve y por lo tanto no hay energía cinética (\(\frac{1}{2} mv ^ 2 = 0 \) porque \(v = 0 \)). Por tanto, inicialmente la energía mecánica es

\begin{equation}
MI_{m_i} = mgh_i,
\end{equation}

donde \(h_i \) es la altura inicial (que conocemos). Claramente, estamos midiendo las alturas con respecto al piso, por lo que estamos usando este sistema de coordenadas:

Colocamos el sistema de coordenadas en el suelo. A la izquierda sin el trampolín y a la derecha con él.

\begin{equation}
\label{Building_AquiVaETres}
E_{m_3} = (m g h_i) (1-P)^3.
\end{equation}

Todo lo que queda por hacer es encontrar \(E_{m_3} \). Cuando la pelota alcanza los 20 metros, la pelota está en el punto de altura máxima, lo que significa que no tiene velocidad. Entonces, nuevamente, solo hay energía potencial gravitacional:

\begin{equation}
E_{m_3} = m g h_f,
\end{equation}

donde \(h_f \) es la altura final, que también conocemos. Si usamos esto en la ecuación \eqref{Building_TercerReboteALaTres}, obtenemos

\begin{equation}
(m g h_f) = m g h_i (1-P)^3.
\end{equation}

Si dividimos por \(mg \) en ambos lados, obtenemos

\begin{equation}
h_f = h_i (1-P)^3.
\end{equation}

Ahora dividimos por \(h_i \), para obtener

\begin{equation}
\frac{h_f}{h_i} = (1-P)^3.
\end{equation}

La raíz cúbica de la última expresión nos da

\begin{equation}
\sqrt[3]{ \frac{h_f}{h_i} } = 1 – P.
\end{equation}

Entonces, después de reorganizar los términos, obtenemos

\begin{equation}
P = 1 – \sqrt[3]{ \frac{h_f}{h_i} }.
\end{equation}

Finalmente, insertamos aquí los valores numéricos:

\begin{equation}
P = 1 – \sqrt[3]{ \frac{(20 \, \text{m})}{(541 \, \text{m})} }
\end{equation}

para obtener
\begin{equation}
P = 0.667.
\end{equation}

(b) El porcentaje de pérdida de energía es la mitad del encontrado en (a). Ahora, la pelota no se suelta sino que se lanza con cierta velocidad inicial hacia abajo. Esta es la velocidad que necesitamos encontrar. El razonamiento es muy similar al de (a). La energía mecánica después del primer rebote es simplemente

\begin{equation}
E_{m_1} = E_{m_i} (1-P’),
\end{equation}

donde \(P ‘\) es el nuevo porcentaje de energía que se pierde. Nos dicen que es la mitad de \(P \), por lo que podemos escribir

\begin{equation}
\label{Building_EnergiaSegundaParte}
E_{m_1} = E_{m_i} \left(1- \left(\frac{P}{2}\right)\right).
\end{equation}

Ahora, para encontrar la velocidad inicial con esta ecuación, necesitamos escribir explícitamente las energías mecánicas inicial y final.

Dado que la pelota tiene cierta velocidad inicial, la energía mecánica inicial consiste en energía cinética y energía potencial gravitacional:

\begin{equation}
E_{m_i} = \frac{1}{2} m v^2 + mgh_i.
\end{equation}

Entonces la ecuación \eqref{Building_EnergiaSegundaParte} se convierte en

\begin{equation}
\label{Building_energiaParaReemplazar}
E_{m_1} = \left( \frac{1}{2} m v^2 + mgh_i \right) \left(1-\frac{P}{2}\right).
\end{equation}

Después de rebotar, nos dicen que la altura final es la misma que la altura inicial. En ese punto de altura máxima, la pelota no tiene velocidad, lo que significa que no tiene energía cinética. Por tanto, toda la energía mecánica es energía potencial:

\begin{equation}
E_{m_1} = mg h_1.
\end{equation}

Pero dicen que la altura final es la misma que la altura inicial, por lo que

\begin{equation}
E_{m_1} = mg h_i.
\end{equation}

Si usamos esto en la ecuación \eqref{Building_energiaParaReemplazar}, obtenemos

\begin{equation}
(mgh_i) = \left( \frac{1}{2} m v^2 + mgh_i \right) \left(1-\frac{P}{2}\right).
\end{equation}

A partir de esta ecuación, podemos encontrar \(v \), ya que conocemos todas las demás variables. Primero, dividimos por \(\left (1- \frac{P}{2}\right) \) para obtener

\begin{equation}
\frac{mgh_i}{\left(1-\frac{P}{2}\right)} = \frac{1}{2} m v^2 + mgh_i .
\end{equation}

Luego, movemos el término \(mgh_i \) al otro lado. Esto nos da

\begin{equation}
\frac{mgh_i}{\left(1-\frac{P}{2}\right)} – mgh_i = \frac{1}{2} m v^2 .
\end{equation}

Ahora podemos tomar el factor común de \(mgh_i \):

\begin{equation}
mgh_i\left( \frac{1}{\left(1-\frac{P}{2}\right)} – 1\right) = \frac{1}{2} m v^2.
\end{equation}

Ahora multiplicamos todo por \(2 / m \):

\begin{equation}
2gh_i\left( \frac{1}{\left(1-\frac{P}{2}\right)} – 1\right) = v^2.
\end{equation}

Finalmente, sacamos la raíz cuadrada de la expresión:

\begin{equation}
\sqrt{2gh_i\left( \frac{1}{\left(1-\frac{P}{2}\right)} – 1\right)} = v.
\end{equation}

Si insertamos los valores numéricos, obtenemos

\begin{equation}
\sqrt{2(9.8 \, \text{m/s}^2)(540 \, \text{m})\left( \frac{1}{\left(1-\frac{0.667}{2}\right)} – 1\right)} = v.
\end{equation}

El resultado es

\begin{equation}
v = 72.77 \, \text{m/s}.
\end{equation}

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