¡Vacaciones familiares!

a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre mientras se gira el eje \({x-} \) para alinearse con la dirección de la velocidad del automóvil. Escriba la segunda ley de Newton y sustituya los valores numéricos para obtener dos ecuaciones para las direcciones \({x-} \) y \({y-} \). Utilice estas ecuaciones para encontrar la fuerza normal y la fuerza debida a la fricción.

b) Misma pista que a) pero con aceleración. Despeje \(a_x \).

c) Misma pista que b).

a) La segunda ley de Newton en la dirección \({x-} \) se puede escribir como:

\begin{equation*}
f_{r}- mg \sin \theta = 0,
\end{equation*}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

que, cuando se utilizan valores numéricos, produce:

\begin{equation*}
f_{r} = 502.8 \, \text{N}.
\end{equation*}

La segunda ley de Newton en la dirección \({y-} \) es:

\begin{equation*}
N- mg \cos \theta=0.
\end{equation*}

Y la fuerza de fricción máxima es:

\begin{equation*}
f_{r \, max} = \mu N,
\end{equation*}

Insertando los valores numéricos, obtenemos:

\begin{equation*}
f_{r \, max} = 828.8 \, \text{N}.
\end{equation*}

Dado que \(f_ {r \, max}> f_r \), el equipaje no se deslizará.

b) La segunda ley de Newton en la dirección \({x-} \) se puede escribir como:

\begin{equation*}
f_{r}- mg \sin \theta = ma,
\end{equation*}

que, con valores numéricos, da:

\begin{equation*}
a_x = 2.17 \; \text{m/s}^2.
\end{equation*}

c) La segunda ley de Newton en la dirección \({x-} \) se puede escribir como:

\begin{equation*}
-f_{r}- mg \sin \theta = -ma,
\end{equation*}

que con valores numéricos es:

\begin{equation*}
a_x = 8.88 \; \text{m/s}^2.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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a) Si el automóvil no acelera, podemos tratar el equipaje como si estuviera colocado sobre un plano inclinado regular que está en reposo (sin aceleración). En ese caso, debemos determinar si la fuerza de fricción estática que ejerce la superficie superior del automóvil sobre el equipaje es lo suficientemente fuerte como para evitar que el equipaje se deslice.

Como con todos los problemas con las fuerzas, comencemos por hacer un diagrama de cuerpo libre, usando un sistema de coordenadas donde el eje X está alineado con la pendiente de la colina y apunta en la dirección de movimiento del automóvil (de manera que el automóvil y el equipaje solo se mueven a lo largo del eje X). Observe que sobre el equipaje hay dos fuerzas en la dirección X, la componente X del peso que va en la dirección X negativa y la fricción estática, que apunta en la dirección X positiva (esta fuerza es la que evita que el equipaje se deslice). En Y, hay dos fuerzas, la componente Y del peso y la fuerza normal. Por lo tanto, el diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura 1.

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

Figura 1: Diagrama de cuerpo libre para el equipaje. Elegimos el sistema de coordenadas con X paralelo a la carretera y el eje Y perpendicular a ella. Las fuerzas representadas son: la fuerza de contacto \(N \), el peso \(W \) y la fricción \(f_r \). El peso se descompone a lo largo de los ejes X y Y, utilizando el mismo ángulo de inclinación de la carretera \(\theta \).

Ahora, para determinar si el equipaje se cae, simplemente podemos escribir la segunda ley de Newton a lo largo del eje X:

\begin{equation}
f_r \, \hat{\textbf{i}} – W_x \, \hat{\textbf{i}} = m a_x \, \hat{\textbf{i}}, \label{CarroMaleta_sumatoriaFuerzasX}
\end{equation}

donde \(f_r \) es la fricción estática ejercida por la parte superior del automóvil y \(W_x \) es el componente X del peso, que viene dada por \(W \sin \theta \), como podemos ver en el diagrama (recuerde que \(W = mg \)). Dado que la condición es que el equipaje no se deslice, y dado que el automóvil no tiene aceleración, podemos establecer \(a_x = 0 \) (sin aceleración). Por lo tanto, obtenemos

\begin{equation}
f_r \, \hat{\textbf{i}}- {(mg \sin \theta)} \, \hat{\textbf{i}}= 0 \, \hat{\textbf{i}}.
\label{CarroMaleta_friccionPeso1}
\end{equation}

Si nos enfocamos solo en las magnitudes y movemos el término del peso al otro lado, obtenemos

\begin{equation}
f_r= {(mg \sin \theta)}.
\label{CarroMaleta_friccionPeso}
\end{equation}

Ahora, como tenemos la masa, esta ecuación nos permite determinar cuál debe ser la magnitud de la fricción para que el equipaje no se deslice. La pregunta es, entonces, si la parte superior del automóvil puede ejercer una fuerza de fricción estática de esa magnitud. ¿Cómo determinamos esto? Bueno, sabemos que la fuerza máxima de fricción estática que puede ejercer la parte superior del automóvil está dada por \(\mu N \), por lo que podemos calcular esta fuerza máxima y luego ver si es mayor que la fuerza requerida según ecuación \eqref{CarroMaleta_friccionPeso}. Es decir, queremos ver si

\begin{equation}
f_{r\; max} = \mu N
\label{CarroMaleta_friccionNormal}
\end{equation}

es mayor que la fuerza dada por la ecuación \eqref{CarroMaleta_friccionPeso}.

Para usar esta ecuación, necesitamos \(N \), y para encontrar \(N \) necesitamos las ecuaciones de fuerza a lo largo de Y:

\begin{equation}
N \, \hat{\textbf{j}}- W_y \, \hat{\textbf{j}}= m a_y \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Pero en Y el equipaje no tiene aceleración, y del diagrama de cuerpo libre podemos ver que \(W_y = mg \cos \theta \). Por lo tanto, de esta ecuación obtenemos

\begin{equation}
N= {(mg \cos \theta)}.
\label{CarroMaleta_normal}
\end{equation}

Entonces podemos usar esto en la ecuación \eqref{CarroMaleta_friccionNormal}:

\begin{equation}
f_{r\; max} = \mu {(mg \cos \theta)}.
\end{equation}

Insertemos los valores numéricos aquí y en la ecuación \eqref{CarroMaleta_friccionPeso} . Obtenemos que

\begin{equation}
f_r = 502.8 \, \text{N},
\end{equation}

y

\begin{equation}
f_{r \; max} = 828.8 \, \text{N}.
\end{equation}

Así, vemos que la fuerza de fricción que se requiere para mantener el equipaje en su lugar es menor que la fuerza máxima que puede ejercer la parte superior del automóvil, por lo que inferimos que el equipaje no se deslizará.

Como nota al margen, observe que podríamos haber resuelto este problema encontrando el ángulo crítico, que es el ángulo después del cual un objeto comenzará a deslizarse. Este ángulo está dado por \(\arctan (\mu_s)\). Este ángulo es claramente mayor que el ángulo de la pendiente, por lo que esta es otra forma de darse cuenta de que el equipaje no se desliza.

b) Aquí, el razonamiento es muy similar al del caso anterior. La aceleración máxima que el automóvil puede tener cuesta arriba antes de que el equipaje comience a deslizarse se puede encontrar calculando cuál es la aceleración máxima que la parte superior del automóvil puede dar al equipaje (si el automóvil tiene una aceleración mayor que esta aceleración, entonces el equipaje empezar a deslizarse). Y la aceleración máxima que la parte superior del automóvil puede ejercer sobre el equipaje viene dada por la fuerza máxima de fricción estática que puede ejercer el automóvil, que viene dada por la ecuación \eqref{CarroMaleta_friccionNormal} de arriba.

Entonces, de (a), sabemos que la fuerza máxima de fricción estática que puede ejercer la parte superior del automóvil es:

\begin{equation}
f_{r\; max} =mg \cos \theta.
\end{equation}

Entonces, usemos la ecuación \eqref{CarroMaleta_sumatoriaFuerzasX} de nuevo, pero ahora no asumiremos \(a_x = 0 \) porque queremos que el equipaje acelere junto con el automóvil. Si usamos el hecho de que \(W_x = mg \sin \theta \) y \(f_r \) es la fuerza máxima de fricción, entonces la ecuación \eqref{CarroMaleta_sumatoriaFuerzasX} se convierte en:

\begin{equation}
{(\mu mg \cos \theta)} – {(mg \sin \theta)} = m a_x. \label{CarroMaleta_aceleracionFuerzas}
\end{equation}

Dividiendo por \(m \), obtenemos:

\begin{equation}
\mu g \cos \theta – g \sin \theta = a_x.
\label{CarroMaleta_aceleracion}
\end{equation}

Finalmente, insertemos los valores numéricos:

\begin{equation}
{(0.6)} {(9.8 \; \text{m/s}^2)} \cos {(20^\circ)} – {(9.8 \; \text{m/s}^2)} \sin {(20^\circ)} = a_x. \label{CarroMaleta_reemplazando}
\end{equation}

El resultado es

\begin{equation}
a_x = 2.17 \; \text{m/s}^2.
\end{equation}

Esta es la aceleración máxima que la parte superior del automóvil puede dar al equipaje, y por tanto la aceleración máxima que puede alcanzar el automóvil al subir cuesta arriba sin que el equipaje se deslice.

c) Si el automóvil se detiene, el equipaje se deslizará hacia el frente ya que tenderá a mantener su estado de movimiento (primera ley de Newton). Cuanto mayor sea la magnitud de la aceleración que tiene el automóvil al detenerse, más fácil será que el equipaje se deslice hacia la parte delantera. El razonamiento es similar al caso (b), excepto que ahora la aceleración en cuestión es negativa y no positiva porque la velocidad está disminuyendo (y entonces \((v_f \, \hat {\textbf{i}} – v_i \, \hat {\textbf{i} }) \) es negativa).

Dado que la aceleración es negativa, la dirección de algunas de las fuerzas también es diferente. En particular, la fuerza de fricción estática que la parte superior del automóvil ejerce sobre el equipaje va a lo largo del eje X negativo, ya que esta fuerza está tratando de disminuir la velocidad del equipaje cuando el automóvil se detiene (en el caso (a), esta fuerza era positiva porque estaba ayudando al equipaje a aumentar su rapidez mientras el automóvil acelera). Por lo tanto, el diagrama de cuerpo libre para el equipaje en este caso se muestra en la figura 2.

Figura 2: diagrama de cuerpo libre para el equipaje. Elegimos el sistema de coordenadas con X paralelo a la carretera y el eje Y perpendicular a ella. Las fuerzas representadas son: la fuerza de contacto \(N \), el peso \(W \) y la fricción \(f_r \), que para este caso cambia de dirección. El peso se descompone a lo largo de los ejes X y Y utilizando el mismo ángulo de inclinación de la carretera \(\theta \).

Nos interesa encontrar la máxima aceleración de frenado que la fricción estática del techo del coche puede dar al equipaje. Si el automóvil tuviera una aceleración de frenado aún mayor que este, entonces el equipaje se deslizaría.

Para escribir la ecuación de fuerzas a lo largo de X, debemos notar que la fricción estática ahora tiene un signo negativo porque la fuerza está ayudando al equipaje a detenerse, y la aceleración también tiene un signo negativo porque la velocidad está disminuyendo. Por lo tanto, obtenemos

\begin{equation}
-W_x \, \hat{\textbf{i}}-f_{r} \, \hat{\textbf{i}} = – ma_x. \; \hat{\textbf{i}}
\end{equation}

Como antes, sabemos que \(W_x= mg \sin \theta\). Por lo tanto,

\begin{equation}
-{(mg \sin \theta)} \, \hat{\textbf{i}}-f_{r} \, \hat{\textbf{i}} = – ma_x. \; \hat{\textbf{i}}
\end{equation}

La máxima aceleración de frenado del equipaje viene dada por la máxima fricción estática (ya que la fricción estática es la única fuerza que puede ayudar a que el equipaje se detenga). La magnitud de la fricción estática máxima es siempre \(f_{r \; max}= \mu N\).

Ya conocemos \(\mu N \) de los puntos (a) y (b), por lo que simplemente podemos sustituir ese resultado en la ecuación de fuerzas a lo largo de X. Esto da:

\begin{equation}
-mg \sin \theta – {(\mu m g \cos \theta) }=-ma_x.
\end{equation}

Dividiendo por \(- m \), obtenemos:

\begin{equation}
g \sin \theta + \mu g \cos \theta = a_x.
\end{equation}

Finalmente, insertamos los valores numéricos:

\begin{equation}
{(9.8 \; \text{m/s}^2)} \sin {(20^\circ)} + {(0.6)} {(9.8 \; \text{m/s}^2)} \cos {(20^\circ)} = a_x, \label{CarroMaleta_reemplazandoC}
\end{equation}

para obtener

\begin{equation}
a_x = 8.88 \; \text{m/s}^2.
\end{equation}

Esta es la magnitud de la máxima aceleración de frenado que puede tener el automóvil antes de que el equipaje se deslice. La dirección de esta aceleración es a lo largo del eje X negativo, como explicamos anteriormente.

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