Accidente Automovilístico

Utilice el teorema trabajo-energía para relacionar las velocidades y el trabajo realizado por la fricción para obtener el coeficiente de fricción cinética.

El teorema trabajo-energía (\(W_{Tot} = \Delta K \)) se puede escribir como:

\begin{equation*}
W_{f_r} + W_c= K_f – K_i,
\end{equation*}

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donde \(W_{f_r} = -f_r d \). Dado que el carro se mueve horizontalmente, la segunda ley de Newton en la dirección \({y-} \) se puede escribir como:

\begin{equation*}
N-mg=0.
\end{equation*}

Sustituyendo la fuerza debida a la fricción en la primera ecuación y trabajando con la fuerza normal encontrada recientemente, la energía cinética, y finalmente despejando \(\mu \), obtenemos:

\begin{equation*}
\mu = \frac{W_c + \frac{1}{2} m v_i^2}{mgd},
\end{equation*}

que, con valores numéricos, obtenemos:

\begin{equation}
\mu = 0.37.
\end{equation}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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Para encontrar el coeficiente de fricción cinética entre el carro rojo y el pavimento, necesitamos relacionar la fricción con las otras variables, como la rapidez inicial y los 20 metros que el carro se desliza antes de detenerse. Una forma de relacionar estas variables es mediante el teorema trabajo-energía, que establece que el cambio en la energía cinética es igual al trabajo total de todas las fuerzas que actúan sobre el objeto. Es decir

\begin{equation}
\label{CarCrash_trabajoenergia}
\Delta K = W_{Tot}\;,
\end{equation}

donde \(\Delta K \) significa \(K_f-K_i \) (el cambio en la energía cinética). Ahora, centrémonos en \(W_{Tot} \). ¿Cómo encontramos el trabajo total? El trabajo total incluye el trabajo realizado por el rozamiento entre los neumáticos y el pavimento. Pero también incluye el trabajo realizado por cualquier fuerza involucrada durante la colisión entre los carros (nótese que ni el peso ni la fuerza normal producida por el pavimento hacen ningún trabajo ya que estas fuerzas son perpendiculares a la dirección del movimiento y por lo tanto el producto punto entre ellos y el desplazamiento serán cero). Entonces la ecuación \eqref{CarCrash_trabajoenergia} se puede escribir como

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\begin{equation}
\label{CarCrash_trabajos}
K_f – K_i = W_{f_r} + W_c,
\end{equation}

donde \(W_{f_r} \) es el trabajo por fricción y \(W_c \) es el trabajo de las fuerzas que aparecen durante la colisión. Afortunadamente, ya sabemos cuanta energía se pierde durante la colisión (\(70 \, \text{kJ} \)), lo que significa que ya conocemos \(W_c \). Pero no usaremos este número todavía.

Para el trabajo de fricción, necesitamos calcular

\begin{equation}
W_{f_r} = \vec{f_r} \cdot \vec{d},
\end{equation}

donde \(\vec{f_r} \) es la fuerza de fricción y \(\vec{d} \) es el desplazamiento durante el cual actuó la fuerza (y ‘\(\cdot \)’ es el producto punto). Podemos escribir explícitamente el producto punto de la siguiente manera:

\begin{equation}
\label{CarCrash_trabajoFriccion}
W_{f_r} = f_r d \cos \theta,
\end{equation}

donde \(\theta \) es el ángulo entre el vector de fuerza y el vector de desplazamiento (\(f_r \) y \(d \) son las magnitudes de la fuerza de fricción y el desplazamiento, respectivamente). Para continuar, es útil hacer un diagrama donde se delineen la fuerza de fricción y el desplazamiento, de modo que sepamos qué ángulo usar en la ecuación \eqref{CarCrash_trabajoFriccion}. También elegiremos un sistema de coordenadas donde el eje X apunte en la dirección del movimiento (ver figura 1).

Figura 1: Fuerza de fricción \(f_r \) y desplazamiento \(d \) para los carros. El sistema de coordenadas se elige con el eje X apuntando en la dirección del desplazamiento.

Como se puede apreciar en esta figura, la fricción es perfectamente antiparalela al desplazamiento, por lo que el ángulo entre los vectores es \(\pi \). Dado que \(\cos \pi = – 1 \), tenemos que

\begin{equation}
\label{CarCrash_trabajoConFriccionReemplazar}
W_{f_r} = – f_r d.
\end{equation}

Ahora, sabemos \(d \) (son 20 metros), pero aún no sabemos \(f_r \). Recuerde que la fuerza de fricción cinética siempre está dada por

\begin{equation}
\label{CarCrash_friccion}
f_r = \mu N,
\end{equation}

donde \(N \) es la fuerza normal que ejerce la superficie (en este caso la carretera) y \(\mu \), es el coeficiente de fricción cinético que queremos encontrar. Entonces, el siguiente paso es encontrar \(N \).

Si usamos el sistema de coordenadas indicado anteriormente, solo encontramos dos fuerzas en Y, el peso y la fuerza normal, como se indica en la figura 2.

Figura 2: Este es una parte de un diagrama de cuerpo libre para los carros que muestra tres fuerzas: la fuerza de contacto con el suelo \(N \), el peso \(W \) y la fuerza de fricción \(fr \) (ignoramos las fuerzas producidas por el coche azul porque no los necesitamos para lo que sigue)

La segunda ley de Newton en Y da:

\begin{equation}
N \, \hat{\textbf{j}} – W \, \hat{\textbf{j}} = m a_y \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Pero el carro no se mueve a lo largo de Y, por lo que \(a_y \) es cero. Además, \(W = mg \), por lo que tenemos

\begin{equation}
N \, \hat{\textbf{j}} – mg \, \hat{\textbf{j}}= 0 \, \hat{\textbf{j}}
\end{equation}

Si movemos \(mg \) al otro lado y nos enfocamos solo en las magnitudes, obtenemos

\begin{equation}
N = mg.
\end{equation}

Entonces usemos esto en la ecuación \eqref{CarCrash_friccion} :

\begin{equation}
f_r = \mu (mg).
\end{equation}

Y ahora usemos esto en \eqref{CarCrash_trabajoConFriccionReemplazar} para llegar a

\begin{equation}
W_{f_r} = – (\mu mg) d.
\end{equation}

Ahora usa este resultado en la ecuación \eqref{CarCrash_trabajos} para llegar a

\begin{equation}
K_f – K_i = (- \mu mgd) + W_c.
\end{equation}

Dado que el carro se detiene al final, la energía cinética final es cero. Por otro lado, la energía cinética inicial es simplemente \(\frac{1}{2}m v_i^2 \), donde \(v_i \) es la rapidez inicial, que es conocida. Entonces obtenemos

\begin{equation}
(0)- \left( \frac{1}{2} m v_i^2 \right) = – \mu mgd + W_c.
\end{equation}

Si movemos \(-\mu mgd \) y \(\left (\frac{1}{2} m v_i^2 \right) \) cada uno al otro lado, obtenemos

\begin{equation}
\mu mgd = W_c + \frac{1}{2} m v_i^2.
\end{equation}

Ahora dividimos por (\(mgd \)) para finalmente obtener

\begin{equation}
\mu = \frac{W_c + \frac{1}{2} m v_i^2}{mgd}.
\end{equation}

Todo lo que tenemos que hacer ahora es insertar los valores numéricos. Pero debemos tener cuidado con \(Wc \). La energía disipada durante la colisión es \(70 \, \text{kJ} \), lo que significa que aquí tenemos que usar -\(70 \, \text{kJ} \) (con el signo negativo). Recordemos que \(W_c \) es el trabajo realizado por todas las fuerzas que aparecen durante la colisión. Estas fuerzas reducen la energía del carro (disipan esa energía en el medio ambiente), esto significa que el trabajo que realizan es negativo (si fuera positivo, estarían dando energía al carro, ¡haciéndolo moverse más rápido!). Con esa aclaración en mente, obtenemos

\begin{equation}
\mu = \frac{(-70 \, \text{kJ}) + \frac{1}{2} (1000 \, \text{kg}) (12 \, \text{m/s})^2}{(1000 \, \text{kg}) (9.8 \, \text{m/s}^2) (20 \, \text{m})}.
\end{equation}

Y el resultado es

\begin{equation}
\mu = 0.37.
\end{equation}

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