¡Centro de Masa!

a) Use la ecuación para el centro de masa.

b) Utilice la ecuación del centro de masa, pero recuerde que el origen ahora está centrado en la masa superior.

a) La ecuación para la fórmula del centro de masa da:

\begin{equation*}
\vec{r}_{\text{cm}}=\frac{\sum_i m_i\vec{r}_i}{\sum_i m_i}.
\end{equation*}

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Usando un sistema de coordenadas centrado en la masa inferior izquierda, tenemos:

\begin{equation*}
\vec{r}_{\text{cm}}=\frac{m(b\cos(60^{\circ})\,\hat{\textbf{i}}+b\sin(60^{\circ})\,\hat{\textbf{j>+2m(b\,\hat{\textbf{i>+m\vec{0}}{m+2m+m},
\end{equation*}

que con valores numéricos da:

\begin{equation*}
\vec{r}_{\text{cm}}\approx4.38\,\text{cm}\,\hat{\textbf{i}}+1.52\,\text{cm}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation*}

b) Ahora necesitamos centrar nuestro sistema de coordenadas en la masa superior. La ecuación para el centro de masa ahora se puede escribir como:

\begin{equation*}
\vec{r}_{\text{cm}}^{\prime}=\frac{m\vec{0}+2m(b\cos(60^{\circ})\,\hat{\textbf{i}}-b\sin(60^{\circ})\,\hat{\textbf{j>+m(-b\cos(60^{\circ})\,\hat{\textbf{i}}-b\sin(60^{\circ})\,\hat{\textbf{j>}{m+2m+m},
\end{equation*}

que con valores numéricos da:

\begin{equation*}
\vec{r}_{\text{cm}}^{\prime}\approx0.88\,\text{cm}\,\hat{\textbf{i}}-4.54\,\text{cm}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation*}

La diferencia entre la ubicación de la Partícula 1 y el centro de masa \( cm \) es lo suficientemente significativa como para justificar una comparación:

\begin{equation*}
\vec{r}_{\text{cm}} – \vec{r}_1 \approx0.88\,\text{cm}\,\hat{\textbf{i}}-4.54\,\text{cm}\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation*}

que es el mismo resultado que \(\vec{r}_{\text{cm}}^{\prime}\).

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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a) Para encontrar la posición del centro de masa \(\vec{r}_{\text{cm}}\) para una matriz de partículas puntuales, debemos usar la siguiente expresión

\begin{equation}
\label{rcm}
\vec{r}_{\text{cm}}=\frac{\sum_i m_i\vec{r}_i}{\sum_i m_i},
\end{equation}

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donde \(m_i\) es la masa de la \(i\)-ésima partícula y \(\vec{r}_i\) es el vector de posición de la partícula con respecto a algún sistema de coordenadas.

Vamos a etiquetar las partículas con números: la partícula 1 será la de arriba, la partícula 2 será la de la derecha y la partícula 3 será la partícula de la izquierda del triángulo. Entonces \(m_1=m\), \(m_2=2m\) y \(m_3=m\).

Si el origen del sistema de coordenadas se encuentra en la partícula 3, entonces

\begin{equation}
\label{r3}
\vec{r}_{3}=\vec{0}.
\end{equation}

La posición de las partículas 1 y 2 viene dada por la geometría del triángulo equilátero como

\begin{equation}
\label{r1}
\vec{r}_1=b\cos(60^{\circ})\,\hat{\textbf{i}}+b\sin(60^{\circ})\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

El vector de posición de la partícula 2 será

\begin{equation}
\label{r2}
\vec{r}_2=b\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Esto se puede ver en la figura 1.

Figura 1: Colocamos nuestro sistema de coordenadas en la masa de la izquierda. Los vectores de posición \(\vec{r}_1\), \(\vec{r}_2\) para las otras dos masas en la matriz triangular también se muestran.

Escribiendo explícitamente la expresión para el centro de masa dada en la ecuación \eqref{rcm} , obtenemos

\begin{equation}
\vec{r}_{\text{cm}}=\frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2+m_3\vec{r}_3}{m_1+m_2+m_3},
\end{equation}

que, después de usar los valores explícitos para la posición de las partículas dados por las ecuaciones \eqref{r3} , \eqref{r1} y \eqref{r2} se convierte en

\begin{equation}
\vec{r}_{\text{cm}}=\frac{m(b\cos(60^{\circ})\,\hat{\textbf{i}}+b\sin(60^{\circ})\,\hat{\textbf{j>+2m(b\,\hat{\textbf{i>+m\vec{0}}{m+2m+m}.
\end{equation}

Después de agrupar términos en la misma dirección y factorizar \(mb\), tenemos

\begin{equation}
\vec{r}_{\text{cm}}=\frac{mb\left(\left(\cos(60^{\circ})+2\right)\,\hat{\textbf{i}}+\sin(60^{\circ})\,\hat{\textbf{j}}\right)}{4m}.
\end{equation}

La ecuación anterior se puede simplificar aún más cancelando la masa \(m\), es decir

\begin{equation}
\vec{r}_{\text{cm}}=\frac{b\left(\left(\cos(60^{\circ})+2\right)\,\hat{\textbf{i}}+\sin(60^{\circ})\,\hat{\textbf{j}}\right)}{4}.
\end{equation}

Usando los valores numéricos, obtenemos

\begin{equation}
\vec{r}_{\text{cm}}=\frac{(7\,\text{cm})\left(\left(\cos(60^{\circ})+2\right)\,\hat{\textbf{i}}+\sin(60^{\circ})\,\hat{\textbf{j}}\right)}{4},
\end{equation}

\begin{equation}
\vec{r}_{\text{cm}}\approx4.38\,\text{cm}\,\hat{\textbf{i}}+1.52\,\text{cm}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

b) Ahora, si el origen del sistema de coordenadas está ubicado en la partícula 1, entonces

\begin{equation}
\label{r1p}
\vec{r}_{1}’=\vec{0}.
\end{equation}

La posición de las partículas 2 y 3 viene dada por la geometría del triángulo equilátero, a saber

\begin{equation}
\label{r2p}
\vec{r}_2’=b\cos(60^{\circ})\,\hat{\textbf{i}}-b\sin(60^{\circ})\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

El vector de posición de la partícula 3 será

\begin{equation}
\label{r3p}
\vec{r}_3’=-b\cos(60^{\circ})\,\hat{\textbf{i}}-b\sin(60^{\circ})\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}

como se ve en la figura 2.

Figura 2: Colocamos nuestro sistema de coordenadas de la masa en la parte superior de la matriz triangular. Los vectores de posición \(\vec{r}_2’\), \(\vec{r}_3’\) para las otras dos masas en la matriz triangular también se muestran.

Escribiendo explícitamente la expresión para el centro de masa dada en la ecuación \eqref{rcm} , obtenemos

\begin{equation}
\vec{r}_{\text{cm}}^{\prime}=\frac{m_1\vec{r}_1^{\prime}+m_2\vec{r}_2^{\prime}+m_3\vec{r}_3^{\prime}}{m_1+m_2+m_3},
\end{equation}

que, después de utilizar los valores explícitos para la posición de las partículas en este segundo caso dados por las ecuaciones \eqref{r1p} , \eqref{r2p} y \eqref{r3p} se convierte en

\begin{equation}
\vec{r}_{\text{cm}}^{\prime}=\frac{m\vec{0}+2m(b\cos(60^{\circ})\,\hat{\textbf{i}}-b\sin(60^{\circ})\,\hat{\textbf{j>+m(-b\cos(60^{\circ})\,\hat{\textbf{i}}-b\sin(60^{\circ})\,\hat{\textbf{j>}{m+2m+m}.
\end{equation}

Después de agrupar términos en la misma dirección y factorizar \(mb\), tenemos

\begin{equation}
\vec{r}_{\text{cm}}^{\prime}=\frac{mb\left(\left(2\cos(60^{\circ})-\cos(60^{\circ})\right)\,\hat{\textbf{i}}-3\sin(60^{\circ})\,\hat{\textbf{j}}\right)}{4m}.
\end{equation}

La ecuación anterior se puede simplificar aún más cancelando la masa \( m \) y el término a lo largo del eje X, a saber

\begin{equation}
\vec{r}_{\text{cm}}^{\prime}=\frac{b\cos(60^{\circ})}{4}\,\hat{\textbf{i}}-\frac{3b\sin(60^{\circ})}{4}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Usando los valores numéricos, obtenemos

\begin{equation}
\vec{r}_{\text{cm}}^{\prime}=\frac{(7\,\text{cm})\cos(60^{\circ})}{4}\,\hat{\textbf{i}}-\frac{(3)(7\,\text{cm})\sin(60^{\circ})}{4}\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}

\begin{equation}
\vec{r}_{\text{cm}}^{\prime}\approx0.88\,\text{cm}\,\hat{\textbf{i}}-4.54\,\text{cm}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Para comparar las posiciones, calculemos la diferencia entre la partícula 1 y el centro de masa \(cm\), que es:

\begin{equation}
\vec{r}_{\text{cm}} – \vec{r}_1 = \frac{b( (\cos (60^\circ) + 2) \, \hat{\textbf{i}} + \sin (60^\circ) \, \hat{\textbf{j}} )}{4} – ( b \cos (60^\circ) \, \hat{\textbf{i}} + b \sin (60^\circ) \, \hat{\textbf{j}},
\end{equation}

o

\begin{equation}
\vec{r}_{\text{cm}} – \vec{r}_1 \approx0.88\,\text{cm}\,\hat{\textbf{i}}-4.54\,\text{cm}\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}

que es exactamente el centro de masa \(\vec{r} _{\text{cm}}^{\prime}\) como se esperaba. La ubicación del centro de masa de cualquier objeto nunca cambia. Los puntos de referencia o el sistema de coordenadas pueden cambiar, desde donde se midió el centro de masa, pero eso no significa que el centro de masa sea diferente.

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