Triángulo Rectángulo Plano!

a) Según la definición de centro de masa, el diferencial del área debe ser una variable multiplicada por el diferencial de la otra variable. Relacione las variables \(x\) y \(y\) mediante una función lineal para realizar la integral en una sola variable. Recuerde la función de la densidad dada.

b) La misma pista que la parte a), pero la densidad es uniforme. Después de encontrar el centro de masa, encuentre la diferencia con respecto al resultado obtenido en (a).

a) La definición de centro de masa para un objeto sólido es:

\begin{equation*}
\vec{r}_{\text{cm}}=\frac{\int \vec{r}dm}{\int dm},
\end{equation*}

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donde la expresión se puede escribir de forma independiente para cada variable \( x \) y \( y \). El diferencial de masa es \(dm = \rho dA\), donde \(dA\) puede ser \(y dx\) o \(xdy\). Cada integral se puede escribir como:

\begin{equation*}
x_{\text{cm}}=\frac{\int x \rho y\,dx}{\int \rho y\,dx},
\end{equation*}

\begin{equation*}
y_{\text{cm}}=\frac{\int y \rho x\,dy}{\int \rho x\,dy},
\end{equation*}

donde \(rho = C x y\). Para relacionar las variables \(x\) y \(y\), la ecuación de la recta es:

\begin{equation*}
y=-\frac{a}{b}x+a.
\end{equation*}

Usando la última expresión, la integral \({x-} \) se convertirá en:

\begin{equation*}
x_{\text{cm}}=\dfrac{\int_0^{b} x^2 \left(-\frac{a}{b}x+a\right)^2\,dx}{\int_0^{b}x \left(-\frac{a}{b}x+a\right)^2\,dx},
\end{equation*}

lo que resulta en:

\begin{equation*}
x_{\text{cm}}=\frac{2b}{5},
\end{equation*}

que, reescrito con valores numéricos, da:

\begin{equation*}
x_{\text{cm}}=1.6 \, \text{cm}.
\end{equation*}

Por simetría, el resultado en \({y} \) es:

\begin{equation*}
y_{\text{cm}}=\frac{2a}{5},
\end{equation*}

que con valores numéricos es:

\begin{equation*}
y_{\text{cm}}=1.2 \, \text{cm}.
\end{equation*}

b) Con densidad uniforme, esta variable se puede cancelar para convertirse en:

\begin{equation*}
x_{\text{cm}}^{\text{uniform}}=\frac{\int_0^{b} x \left(-\frac{a}{b}x+a\right)\,dx}{\int_0^{b} \left(-\frac{a}{b}x+a\right)\,dx}.
\end{equation*}

Realizando la integral, obtenemos:

\begin{equation*}
x_{\text{cm}}^{\text{uniform}}= \frac{b}{3},
\end{equation*}

que con valores numéricos da:

\begin{equation*}
x_{\text{cm}}^{\text{uniform}}= 1.33 \,\text{m}.
\end{equation*}

Por simetría, el componente \({y-} \) es:

\begin{equation*}
y_{\text{cm}}^{\text{uniform}}= \frac{a}{3},
\end{equation*}

que con valores numéricos da:

\begin{equation*}
y_{\text{cm}}^{\text{uniform}}= 1 \,\text{cm}.
\end{equation*}

El cambio en el centro de masa (\(\Delta \vec{r} = \vec{r}_{\text{cm}} – \vec{r}_{\text{cm}}^{\text{uniform}} \)) es:

\begin{equation*}
\Delta \vec{r}= 0.27 \, \text{cm} \, \hat{\textbf{i}}- 0.2 \, \text{cm} \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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a) Para encontrar la posición del centro de masa \(\vec{r}_{\text{cm}}\) de un cuerpo sólido, debemos usar la siguiente expresión

\begin{equation}
\label{cmvec}
\vec{r}_{\text{cm}}=\frac{\int \vec{r}dm}{\int dm},
\end{equation}

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donde \(dm\) es el diferencial de masa y \(\vec{r}\) es su posición con respecto a un sistema de coordenadas. Las integrales se toman sobre el cuerpo sólido, en nuestro caso el triángulo. Debido a que estamos trabajando con un objeto bidimensional, solo nos interesarán dos componentes de la ecuación vectorial \eqref{cmvec} . Elegiremos los ejes X y Y y colocaremos un vértice del triángulo rectángulo en el origen.

Si el vector \(\vec{r}=x \,\hat{\textbf{i}}+y\,\hat{\textbf{j}}\) y la posición del centro de masa es \(\vec{r}_{\text{cm}}=x_{\text{cm}}\,\hat{\textbf{i}}+y_{\text{cm}}\,\hat{\textbf{j}}\), podemos escribir la ecuación \eqref{cmvec} como

\begin{equation}
x_{\text{cm}}\,\hat{\textbf{i}}+y_{\text{cm}}\,\hat{\textbf{j}}=\frac{\int (x\,\hat{\textbf{i}}+y\,\hat{\textbf{j>dm}{\int dm},
\end{equation}

que se traduce en dos ecuaciones independientes al hacer coincidir los componentes en \(\hat{\textbf{i}}\) y en \(\hat{\textbf{j}}\) a ambos lados. Explícitamente,

\begin{equation}
\label{xcm}
x_{\text{cm}}=\frac{\int x\,dm}{\int dm},
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ycm}
y_{\text{cm}}=\frac{\int y\, dm}{\int dm}.
\end{equation}

La densidad de masa \(\rho\) se define, para este caso bidimensional como

\begin{equation}
\label{rho}
\rho=\frac{dm}{dA},
\end{equation}

donde \(dA\) es el diferencial de área. En la figura anterior, vemos dos diferenciales de área. El de la izquierda tiene altura \(y\) y ancho \(dx\) y está ubicado a una distancia \(x\) del eje Y. Este diferencial de área se usa en la ecuación para calcular \(x_{\text{cm}}\). El de la derecha tiene altura \(dy\) y ancho \(x\) y está ubicado a una distancia \(y\) del eje X. Este diferencial de área se usa en la ecuación para calcular \(y_{\text{cm}}\). Por lo tanto, los diferenciales de área son

\begin{equation}
dA_x=y\,dx,
\end{equation}

para \(x_{\text{cm}}\) y

\begin{equation}
dA_y=xdy.,
\end{equation}

para \(y_{\text{cm}}\).

Podemos usar la ecuación para los diferenciales de área dados anteriormente en la expresión para la densidad de masa \eqref{rho} para obtener

\begin{equation}
\rho=\frac{dm}{y\,dx},
\end{equation}

para \(x_{\text{cm}}\) y

\begin{equation}
\rho=\frac{dm}{x\,dy}
\end{equation}

para \(y_{\text{cm}}\). Resolviendo para el diferencial de masa \(dm\) es

\begin{equation}
dm=\rho y\,dx,
\end{equation}

para \(x_{\text{cm}}\) y

\begin{equation}
dm=\rho x\,dy,
\end{equation}

para \(y_{\text{cm}}\). Usando ésta expresión para \(dm\) en las expresiones para la posición del centro de masa dada en las ecuaciones \eqref{xcm} y \eqref{ycm} , obtenemos

\begin{equation}
\label{xcm2}
x_{\text{cm}}=\frac{\int x \rho y\,dx}{\int \rho y\,dx},
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ycm2}
y_{\text{cm}}=\frac{\int y \rho x\,dy}{\int \rho x\,dy}.
\end{equation}

Usando la expresión explícita para \(\rho\) en ambas ecuaciones \eqref{xcm2} y \eqref{ycm2} , obtenemos

\begin{equation}
\label{xcm2.5}
x_{\text{cm}}=\frac{\int_{0}^{b} x^2y^2\,dx}{\int_{0}^{b} x y^2\,dx},
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ycm2.5}
y_{\text{cm}}=\frac{\int_{0}^{a} y^2 x^2\,dy}{\int_0^{a} x^2 y\,dy},
\end{equation}

donde los límites para \(x\) y \(y\) son la longitud del respectivo cateto del triángulo.

A partir de la simetría del problema, observe que los roles de \(x\) y \(y\) se pueden intercambiar en las ecuaciones \eqref{xcm2.5} y \eqref{ycm2.5} si simplemente cambiamos \(a\) y \(b\). Esto nos permitirá calcular solo una de las expresiones, por ejemplo la de \(x_{\text{cm}}\) y deducir la expresión para \(y_{\text{cm}}\) simplemente cambiando todos los \(b\) por \(a\) en el resultado. Entonces calculemos \(x_{\text{cm}}\).

De la primera figura, notamos que el valor de la altura \(y\) depende de la posición \(x\). Podemos calcular la relación si encontramos la ecuación para la recta \(h\), como se muestra en la primera figura. La ecuación estará en términos de \(a=3\,\text{cm}\) y \(b=4\,\text{cm}\), los catetos del triángulo, es decir

\begin{equation}
\label{ye}
y=-\frac{a}{b}x+a.
\end{equation}

Entonces podemos usar la expresión explícita para \(y\) dada en la ecuación \eqref{ye} en la ecuación \eqref{xcm2} para obtener

\begin{equation}
\label{xcm4}
x_{\text{cm}}=\dfrac{\int_0^{b} x^2 \left(-\frac{a}{b}x+a\right)^2\,dx}{\int_0^{b}x \left(-\frac{a}{b}x+a\right)^2\,dx}.
\end{equation}

Ahora, podemos realizar las integrales. Empecemos con la integral en el denominador de la ecuación \eqref{xcm4}

\begin{equation}
\int_0^{b} x \left(-\frac{a}{b}x+a\right)^2\,dx=\int_0^{b} x \left(\frac{a^2}{b^2}x^2-2\frac{a^2}{b}x+a^2\right)\,dx,
\end{equation}

donde hemos expandido el paréntesis cuadrado. Usando la ley distributiva, ahora obtenemos la ecuación

\begin{equation}
\int_0^{b} x \left(-\frac{a}{b}x+a\right)^2\,dx=\int_0^{b}\left(\frac{a^2}{b^2}x^3-2\frac{a^2}{b}x^2+a^2x\right)\,dx,
\end{equation}

donde podemos realizar la integral para cada término individualmente para obtener

\begin{equation}
\int_0^{b} x \left(-\frac{a}{b}x+a\right)^2\,dx=\left(\frac{a^2}{b^2}\frac{x^4}{4}-2\frac{a^2}{b}\frac{x^3}{3}+a^2\frac{x^2}{2}\right)\Big|_{0}^{b}.
\end{equation}

Al evaluar los límites en la ecuación anterior, tenemos

\begin{equation}
\int_0^{b} x \left(-\frac{a}{b}x+a\right)^2\,dx=\frac{a^2}{b^2}\frac{b^4}{4}-2\frac{a^2}{b}\frac{b^3}{3}+a^2\frac{b^2}{2},
\end{equation}

que se simplifica a

\begin{equation}
\int_0^{b} x \left(-\frac{a}{b}x+a\right)^2\,dx=\frac{a^2b^2}{4}-2\frac{a^2b^2}{3}+\frac{a^2b^2}{2},
\end{equation}

\begin{equation}
\label{denominator}
\int_0^{b} x \left(-\frac{a}{b}x+a\right)^2\,dx=\frac{a^2b^2}{12}.
\end{equation}

Ahora, calculemos la integral en el numerador de la ecuación \eqref{xcm4}

\begin{equation}
\int_0^{b} x^2 \left(-\frac{a}{b}x+a\right)^2\,dx=\int_0^{b} x^2 \left(\frac{a^2}{b^2}x^2-2\frac{a^2}{b}x+a^2\right)\,dx,
\end{equation}

donde hemos expandido el paréntesis cuadrado. Usando la ley distributiva, ahora obtenemos la ecuación

\begin{equation}
\int_0^{b} x^2 \left(-\frac{a}{b}x+a\right)^2\,dx=\int_0^{b}\left(\frac{a^2}{b^2}x^4-2\frac{a^2}{b}x^3+a^2x^2\right)\,dx,
\end{equation}

donde podemos realizar la integral para cada término individualmente para obtener

\begin{equation}
\int_0^{b} x^2 \left(-\frac{a}{b}x+a\right)^2\,dx=\left(\frac{a^2}{b^2}\frac{x^5}{5}-2\frac{a^2}{b}\frac{x^4}{4}+a^2\frac{x^3}{3}\right)\Big|_{0}^{b}.
\end{equation}

Al evaluar los límites en la ecuación anterior, tenemos

\begin{equation}
\int_0^{b} x^2 \left(-\frac{a}{b}x+a\right)^2\,dx=\frac{a^2}{b^2}\frac{b^5}{5}-2\frac{a^2}{b}\frac{b^4}{4}+a^2\frac{b^3}{3},
\end{equation}

que se simplifica a

\begin{equation}
\int_0^{b} x^2 \left(-\frac{a}{b}x+a\right)^2\,dx=\frac{a^2b^3}{5}-2\frac{a^2b^3}{4}+\frac{a^2b^3}{3},
\end{equation}

\begin{equation}
\label{numeratorx}
\int_0^{b} x^2 \left(-\frac{a}{b}x+a\right)^2\,dx=\frac{a^2b^3}{30}.
\end{equation}

Usando los resultados para denominador y numerador dados por las ecuaciones \eqref{denominator} y \eqref{numeratorx} en la expresión \eqref{xcm4} , obtenemos

\begin{equation}
x_{\text{cm}}=\frac{\frac{a^2b^3}{30}}{\frac{a^2b^2}{12}},
\end{equation}

que se simplifica a

\begin{equation}
\label{xcmrho}
x_{\text{cm}}=\frac{2b}{5}.
\end{equation}

Usando los valores numéricos

\begin{equation}
x_{\text{cm}}=\frac{2(4\,\text{cm})}{5}=1.6\,\text{cm}.
\end{equation}

Del argumento de simetría mencionado anteriormente, podemos deducir de la ecuación \eqref{xcmrho} que

\begin{equation}
y_{\text{cm}}=\frac{2a}{5},
\end{equation}

que numéricamente es

\begin{equation}
y_{\text{cm}}=\frac{2(3\,\text{cm})}{5}=1.2\,\text{cm}.
\end{equation}

La posición del centro de masa para este \(\rho\) dado es entonces

\begin{equation}
\label{rcmcasoa}
\vec{r}_{\text{cm}}=1.6\,\text{cm}\,\hat{\textbf{i}}+1.2\,\text{cm}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

b) Ahora consideremos la densidad uniforme y calculemos el nuevo centro de masa. En este caso, todavía usaremos el área de integración dada a la izquierda de la primera figura. Si la densidad es uniforme, entonces \(\rho\) es una constante que podemos sacar del numerador y denominador de la ecuación \eqref{xcm4} ; explícitamente,

\begin{equation}
\label{xcm5}
x_{\text{cm}}=\dfrac{\rho\int_0^{b} x \left(-\frac{a}{b}x+a\right)\,dx}{\rho\int_0^{b} \left(-\frac{a}{b}x+a\right)\,dx}.
\end{equation}

Después de cancelar el término \(\rho\) en la ecuación anterior, obtenemos

\begin{equation}
\label{xcm6}
x_{\text{cm}}=\dfrac{\int_0^{b} x \left(-\frac{a}{b}x+a\right)\,dx}{\int_0^{b} \left(-\frac{a}{b}x+a\right)\,dx}.
\end{equation}

Comencemos calculando la integral en el denominador de la ecuación \eqref{xcm6} , es decir

\begin{equation}
\int_0^{b} \left(-\frac{a}{b}x+a\right)\,dx=\left(-\frac{a}{b}\frac{x^2}{2}+ax\right)\Big|_{0}^{b},
\end{equation}

que evaluando los límites se convierte en

\begin{equation}
\int_0^{b} \left(-\frac{a}{b}x+a\right)\,dx=-\frac{a}{b}\frac{b^2}{2}+ab,
\end{equation}

\begin{equation}
\label{denominator2}
\int_0^{b} \left(-\frac{a}{b}x+a\right)\,dx=\frac{ab}{2},
\end{equation}

que es el área del triángulo.

Ahora evaluemos la integral en el numerador de \eqref{xcm6} ; explícitamente,

\begin{equation}
\int_0^{b} x \left(-\frac{a}{b}x+a\right)\,dx=\int_{0}^{b}\left(-\frac{a}{b}x^2+ax\right)\,dx,
\end{equation}

donde hemos utilizado la ley distributiva. Ahora podemos hacer la integral de cada término para obtener

\begin{equation}
\int_0^{b} x \left(-\frac{a}{b}x+a\right)\,dx=\left(-\frac{a}{b}\frac{x^3}{3}+a\frac{x^2}{2}\right)\Big|_{0}^{b}.
\end{equation}

Evaluando los límites que tenemos

\begin{equation}
\int_0^{b} x \left(-\frac{a}{b}x+a\right)\,dx=-\frac{a}{b}\frac{b^3}{3}+a\frac{b^2}{2},
\end{equation}

\begin{equation}
\label{numeratorx2}
\int_0^{b} x \left(-\frac{a}{b}x+a\right)\,dx=\frac{ab^2}{6}.
\end{equation}

Usando el resultado para el denominador y el numerador dados por las ecuaciones \eqref{denominator2} y \eqref{numeratorx2} en la ecuación \eqref{xcm6} , obtenemos

\begin{equation}
x_{\text{cm}}=\frac{\frac{ab^2}{6}}{\frac{ab}{2}},
\end{equation}

que se simplifica a

\begin{equation}
\label{centroidx}
x_{\text{cm}}=\frac{b}{3}.
\end{equation}

Usando los valores numéricos, obtenemos

\begin{equation}
x_{\text{cm}}=\frac{(4\,\text{cm})}{3}\approx 1.33\,\text{cm}.
\end{equation}

Del argumento de simetría usado antes, podemos deducir que

\begin{equation}
y_{\text{cm}}=\frac{a}{3},
\end{equation}

que numéricamente es

\begin{equation}
y_{\text{cm}}=\frac{3\,\text{cm}}{3}=1\,\text{cm}.
\end{equation}

La posición del centro de masa para el uniforme \(\rho\) es entonces

\begin{equation}
\label{rcmcasob}
\vec{r}_{\text{cm}}^{\text{uniform}}=1.33\,\text{cm}\,\hat{\textbf{i}}+1\,\text{cm}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

El cambio en la posición del centro de masa \(\Delta \vec{r}\) con respecto al caso anterior será la diferencia entre la expresión dada en \eqref{rcmcasoa} y \eqref{rcmcasob} ; explícitamente,

\begin{equation}
\Delta\vec{r}=\vec{r}_{\text{cm}}-\vec{r}_{\text{cm}}^{\text{uniform}},
\end{equation}

o numéricamente

\begin{equation}
\Delta \vec{r}=0.27\,\text{cm}\,\hat{\textbf{i}}+0.2\,\text{cm}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Por lo tanto, el centro de masa se mueve en \(0.27\,\text{cm}\) en el eje X y \(0.2\,\text{cm}\) en el eje Y como se ve en la figura 2.

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