¡Cubo en agua y aceite!

a) Utilice la fórmula de la presión. Considere la altura en cada caso.

b) Ésto se calcula directamente con el resultado anterior obtenido.

c) Use la segunda ley de Newton y use las fuerzas encontradas anteriormente.

d) A partir de la segunda ley de Newton, resuelva la masa y encuentre la densidad.

a) La presión hidrostática se puede escribir como:

\begin{equation*}
P = \rho g H + P_0.
\end{equation*}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

Para la parte superior, la altura es \(0.2 \, \text{m} \), luego:

\begin{equation*}
P_{top} = 103147.8 \ \text{Pa},
\end{equation*}

y para la parte inferior \(0.5 \, \text{m} \) se sumerge en aceite y \(0.2 \, \text{m} \) en agua, luego:

\begin{equation*}
P_{bot} = 107695 \ \text{Pa}.
\end{equation*}

b) Por definición,

\begin{equation*}
F = P A.
\end{equation*}

El área es un cuadrado. Luego, para la parte superior:

\begin{equation*}
F_{top} = 25772.25 \ \text{N},
\end{equation*}

y para la parte inferior:

\begin{equation*}
F_{\text{bot}} = 26923.75 \ \text{N}.
\end{equation*}

c) Usando la segunda ley de Newton:

\begin{equation*}
F_{\text{bot}} – F_{\text{top}} – w = 0.
\end{equation*}

Entonces:

\begin{equation*}
w = 1151.5 \, \text{N}.
\end{equation*}

d) La ecuación de densidad es:

\begin{equation*}
\rho = \frac{m}{V},
\end{equation*}

donde el volumen es para un cubo. Entonces:

\begin{equation*}
\rho = 940 \, \text{kg/m}^3.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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a) Podemos encontrar la presión en las caras superior e inferior del cubo usando la ecuación para la presión hidrostática en términos de la altura de la columna de fluido que está ejerciendo la presión y la densidad de los fluidos. En este caso, debemos tener cuidado de incluir las aportaciones tanto del aceite como del agua a la presión cuando sea necesario.

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

La presión hidrostática P en un punto de un fluido tal que la altura de la columna de líquido por encima de ese punto es H viene dada por

\begin{equation}
\label{EQ:hstat}
P = \rho g H + P_0,
\end{equation}

donde \(\rho\) es la densidad del fluido que ejerce la presión y \(P_0\) es la presión atmosférica. La cara superior del cubo tiene una columna de aceite de altura \(h\) encima de ella (ver la figura anterior). Por tanto, podemos escribir la ecuación. \eqref{EQ:hstat} con \(\rho = \rho_{\text{oil}}\) y \(H = h\) es decir, la presión \({P_\text{top}}\) en la cara superior está dada por

\begin{equation}
\label{EQ:ptop}
P_{top} = \rho_{\text{oil}}gh + P_0.
\end{equation}

Suponiendo que el contenedor está al nivel del mar y sustituyendo valores numéricos, obtenemos

\begin{equation}
P_{top} = \left(930 \frac{\text{Kg}}{\text{m}^3}\right)\left(9.8 \ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\right)(0.2 \ \text{m}) + 101325 \ \text{Pa},
\end{equation}

que es lo mismo que

\begin{equation}
\label{EQ:nptop}
P_{top} = 1822.8 \ \text{Pa} + 101325 \ \text{Pa}
= 103147.8 \ \text{Pa}.
\end{equation}

Ahora, la cara inferior tiene una columna de aceite y una columna de agua encima, como se ve en la figura 1. Por lo tanto, necesitamos modificar la ecuación. \eqref{EQ:hstat} para ver esto. En este caso, tanto el aceite como el agua contribuyen a la presión hidrostática de acuerdo con la altura de la columna de líquido de cada componente por encima de la cara inferior. Siguiendo esta lógica, podemos escribir la presión \(P_{\text{bot}}\) en la cara inferior del bloque como

\begin{equation}
\label{EQ:pbot}
P_{\text{bot}} = \rho_{\text{oil}}gh_{\text{oil}} + \rho_wgh_w + P_0,
\end{equation}

donde \(\rho_{\text{oil}}\) y \(\rho_w\) son las densidades del aceite y del agua, respectivamente, y \(h_{\text{oil}}\) y \(h_w\) son las alturas de las columnas de aceite y agua por encima de la profundidad de la cara inferior del cubo, como se muestra en la figura 2. Según esa figura, podemos escribir

\begin{equation}
h_w = h,
\end{equation}

y

\begin{equation}
h_{\text{oil}} = (h + a) – h = a.
\end{equation}
Sustituyendo estas expresiones en la ecuación. \eqref{EQ:pbot} se cumple que

\begin{equation}
\label{EQ:pbot2}
P_{\text{bot}} = \rho_{\text{oil}} g a + \rho_w g h + P_0
= (\rho_{\text{oil}} a + \rho_w h)g + P_0,
\end{equation}

y después de insertar valores numéricos, obtenemos

\begin{equation}
P_{\text{bot}} = \left(\left(900 \ \frac{\text{Kg}}{\text{m}^3}\right)(0.5\ \text{m}) + \left(1000 \ \frac{\text{Kg}}{\text{m}^3}\right)(0.2 \text{m})\right)\left(9.8 \ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\right) + 101325 \ \text{Pa},
\end{equation}

que es equivalente a

\begin{equation}
\label{EQ:npbot}
P_{\text{bot}} = 6370 \ \text{Pa} + 101325 \ \text{Pa}
= 107695 \ \text{Pa}.
\end{equation}

b) Por definición, la presión es la fuerza ejercida por unidad de área. Por lo tanto, podemos encontrar la fuerza en las caras superior e inferior del cubo si multiplicamos las presiones encontradas, en parte, por el área de cada cara. La presión hidrostática tenderá a comprimir el cubo, por lo que la dirección de las fuerzas producidas por la presión del fluido será hacia el centro del cubo.

La presión \(P\) ejercida sobre una superficie de área \(A\) por una fuerza de magnitud \(F\) perpendicular a ella se define como

\begin{equation}
P = \frac{F}{A}
\end{equation}

Multiplicando por \(A\) obtenemos

\begin{equation}
F = PA.
\end{equation}

El área de una cara del cubo es \(A = a^2\). Por eso,

\begin{equation}
\label{EQ:f}
F = Pa^2.
\end{equation}

Por tanto, la magnitud de la fuerza \(F_{top}\) ejercida en la cara superior es

\begin{equation}
\label{EQ:ftop_s}
F_{top} = P_{top}a^2,
\end{equation}

y sustituyendo la ecuación \eqref{EQ:ptop} en la expresión anterior, obtenemos

\begin{equation}
\label{EQ:ftop_l}
F_{top} = (\rho_{\text{oil}}gh + P_0)a^2.
\end{equation}

Después de insertar valores numéricos, obtenemos

\begin{equation}
\label{EQ:ftop_n}
F_{top} = \left( \left(900 \ \frac{\text{Kg}}{\text{m}^3}\right)\left(9.8 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\right)(0.2\ \text{m}) + 101325\ \text{Pa}\right) (0.5\ \text{m})^2
= 25772.25 \ \text{N}
\end{equation}

De manera similar, la magnitud de la fuerza ejercida sobre la cara inferior está dada por

\begin{equation}
\label{EQ:fbot_s}
F_{\text{bot}} = P_{\text{bot}}a^2,
\end{equation}

y sustituyendo la ecuación \eqref{EQ:pbot} se cumple que

\begin{equation}
\label{EQ:fbot_l}
F_{\text{bot}} = ( (\rho_{\text{oil}} a + \rho_w h)g + P_0 ) a^2.
\end{equation}

Si insertamos valores numéricos, obtenemos

\begin{equation}
F_{\text{bot}} = \left( \left( \left(900 \ \frac{\text{Kg}}{\text{m}^3}\right) (0.5\ \text{m}) + \left(1000 \ \frac{\text{Kg}}{\text{m}^3}\right)(0.2\ \text{m})\right)\left(9.8 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\right) + 101325 \ \text{Pa} \right) (0.5\ \text{m})^2,
\end{equation}

especificamente

\begin{equation}
\label{EQ:fbot_n}
F_{\text{bot}} = 26923.75 \ \text{N}.
\end{equation}

Ahora debemos determinar la dirección de estas fuerzas. La fuerza producida por la presión hidrostática tenderá a comprimir el bloque. Es decir, se dirigirá hacia el interior del bloque en la dirección perpendicular a su superficie. Siguiendo este razonamiento, si establecemos un marco de referencia tal que el eje \(y\) apunte hacia arriba, \(F_{top} \) apuntará hacia la dirección \(-\hat{\textbf{j}}\) y \(F_{\text{bot}}\) apuntará hacia la dirección \(+\hat{\textbf{j}}\), como se muestra en la figura 3. Por lo tanto, si incluimos las direcciones en las ecuaciones. \eqref{EQ:ftop_l} , \eqref{EQ:ftop_n} , \eqref{EQ:fbot_l} y \eqref{EQ:fbot_n} , obtenemos

\begin{equation}
\label{EQ:ftop_vec}
\vec{F}_{top} = -(\rho_{\text{oil}}gh + P_0)a^2 \hat{\textbf{j}} = -25772.25 \ \text{N} \hat{\textbf{j}},
\end{equation}

y

\begin{equation}
\label{EQ:fbot_vec}
\vec{F}_{\text{bot}} = ( (\rho_{\text{oil}} a + \rho_w h)g + P_0 ) a^2 \hat{\textbf{j}} = 26923.75 \ \text{N} \hat{\textbf{j}}
\end{equation}

c) La única fuerza que actúa sobre el cubo que queda por encontrar en el peso, que podemos encontrar usando la segunda ley de Newton y usando las expresiones para las fuerzas encontradas en el inciso b.

De acuerdo con el diagrama de fuerza que se muestra en la figura 3, podemos escribir la segunda ley de Newton para el cubo en forma vectorial como

\begin{equation}
\vec{F}_{top} + \vec{F}_{\text{bot}} + \vec{w} =\ \text{m}\vec{a},
\end{equation}
donde \(\vec{w}\) es el peso del cubo y \(\vec{a}\) es su aceleración. Dado que el bloque es estacionario, \(\vec{a}=0\) obteniendo

\begin{equation}
\vec{F}_{top} + \vec{F}_{\text{bot}} + \vec{w} = 0.
\end{equation}

Resolviendo para \(\vec{w}\), obtenemos

\begin{equation}
\label{EQ:w}
\vec{w} = – (\vec{F}_{top} + \vec{F}_{\text{bot}}),
\end{equation}

y sustituyendo las ecuaciones. \eqref{EQ:ftop_vec} y \eqref{EQ:fbot_vec} , obtenemos

\begin{equation}
\vec{w} = – ( -(\rho_{\text{oil}}gh + P_0)a^2 \hat{\textbf{j}} + ( (\rho_{\text{oil}} a + \rho_w h)g + P_0 ) a^2 \hat{\textbf{j}}),
\end{equation}

factorizando \(a^2\hat{\textbf{j}}\), obtenemos,

\begin{equation}
\vec{w} = – ( -(\rho_{\text{oil}}gh + P_0) + ( (\rho_{\text{oil}} a + \rho_w h)g + P_0 )) a^2 \hat{\textbf{j}}
= – ( -\rho_{\text{oil}}gh – P_0 + \rho_{\text{oil}} a g + \rho_w h g + P_0) a^2 \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Ahora, los dos términos que contienen \(P_0\) se cancelan, produciendo

\begin{equation}
\vec{w} = – ( -\rho_{\text{oil}}gh + \rho_{\text{oil}} a g + \rho_w h g ) a^2 \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Podemos factorizar g para obtener

\begin{equation}
\vec{w} = – ( -\rho_{\text{oil}}h + \rho_{\text{oil}} a + \rho_w h ) a^2 g \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Finalmente, factorizando \(\rho_oil\), obtenemos

\begin{equation}
\label{EQ:w1.5}
\vec{w} = – ( \rho_{\text{oil}}(a – h) + \rho_w h) a^2 g \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Observe que el primer término corresponde al peso del aceite que fue desplazado por el cubo, y el segundo término corresponde al peso del agua desplazada por él. Por lo tanto, la ecuación anterior es igual al peso del líquido desplazado por el cubo, como predice el principio de Arquímedes.

Finalmente, al insertar valores numéricos se obtiene

\begin{equation}
\vec{w} = – \left(\left(900 \ \frac{\text{Kg}}{\text{m}^3}\right)(0.5\ \text{m} – 0.2\ \text{m}) + \left(1000 \ \frac{\text{Kg}}{\text{m}^3}\right)(0.2\ \text{m})\right) (0.5\ \text{m})^2 \left(9.8 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\right) \hat{\textbf{j}},
\end{equation}

que nos da

\begin{equation}
\vec{w} = -1151.5 \ \text{N} \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

El signo menos se refiere a la dirección de \(\vec{w}\), que se opone a \(\hat{\textbf{j}}\).

d) La densidad se define como masa por unidad de volumen. En este caso, podemos encontrar la densidad del cubo usando su peso para calcular su masa y usando sus dimensiones para encontrar su volumen.

Por definición, la densidad del cubo viene dada por

\begin{equation}
\rho = \frac{m}{V},
\end{equation}

donde \(m\) es la masa del cubo y \(V\) es su volumen. El volumen de un cubo de lado a es \(V = a^3\). Por eso,

\begin{equation}
\label{EQ:rho2}
\rho = \frac{m}{a^3}.
\end{equation}

Ahora, la masa del cubo está relacionada con su peso por

\begin{equation}
\vec{w} = m\vec{g},
\end{equation}

o en términos de las magnitudes vectoriales:

\begin{equation}
w = mg.
\end{equation}

Dividiendo por g, obtenemos

\begin{equation}
m =\frac{w}{g}.
\end{equation}

Por lo tanto, sustituyendo la ecuación. \eqref{EQ:w1.5}, obtenemos

\begin{equation}
m = ( \rho_{\text{oil}}(a – h) + \rho_w h) a^2 \frac{g}{g}
= ( \rho_{\text{oil}}(a – h) + \rho_w h) a^2,
\end{equation}

e insertando esto en la ecuación. \eqref{EQ:rho2} , obtenemos

\begin{equation}
\rho = ( \rho_{\text{oil}}(a – h) + rho_w h) \frac{a^2}{a^3}
= \frac{\rho_{\text{oil}}(a – h) + rho_w h}{a}
\end{equation}

Finalmente, sustituyendo valores numéricos, obtenemos

\begin{equation}
\rho = \frac{\left(900 \ \frac{\text{Kg}}{\text{m}^3}\right) (0.5\ \text{m}- 0.2\ \text{m}) + \left(1000 \ \frac{\text{Kg}}{\text{m}^ 3} \ right) (0.2 \ \ text{m})}{0.5\ \text{m}}
= 940 \ \frac{\text{Kg}}{\text{m}^3}.
\end{equation}

El valor de la densidad del cubo es menor que la densidad del agua pero mayor que la densidad del aceite. Esto se espera ya que el bloque no flota en la capa de aceite, pero no se hunde en el agua.

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