¡Balón de Fútbol Rodando por una Colina!

a) Use la conservación de energía. Considere que la ladera tiene fricción en la parte superior pero no en la parte inferior de la trayectoria, lo que significa que la bola rueda la primera mitad y luego continúa rodando con velocidad angular constante en la segunda mitad de la trayectoria.

b) La condición “sin resbalar” es en realidad la clave de este problema.

a) La conservación de la energía establece:

\begin{equation*}
E_i = E_f,
\end{equation*}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

Esto puede estar relacionado con el (\(A\)) arriba, la mitad (\(B\))y la parte inferior (\(C\)). De \(A\) a \(B\), tenemos:

\begin{equation*}
mgh = mg \frac{h}{2} + \frac{1}{2}mv_B^2 + \frac{1}{2}I \omega^2,
\end{equation*}

Donde \(v_B = \omega R\) y \(I = \frac{2}{3} mR^2\). Sustituyendo estas fórmulas en la última ecuación y despejando \( \omega \), obtenemos:

\begin{equation*}
\omega=\sqrt{\frac{3gh}{5R^2}}.
\end{equation*}

De \( A \) a \( C \), tenemos:

\begin{equation*}
mgh = \frac{1}{2}mv_C^2 + \frac{1}{2}I \omega^2,
\end{equation*}

donde \(\omega\) se encontró recientemente. Sustituyendo \( \omega \) y \( I \), y luego \( v_C \), tenemos:

\begin{equation*}
v_C = \sqrt{ \frac{8gh}{5} },
\end{equation*}

que, con valores numéricos, tenemos:

\begin{equation*}
v_C \approx 33.15 \, \text{m/s}.
\end{equation*}

b) El mismo análisis que se realizó en la parte (a) no se puede realizar en la parte (b) porque de A a B, la rapidez lineal aumenta mientras que la rapidez angular permanece en cero. Cuando la pelota pasa el punto B, la condición de rodar sin deslizarse no se cumple porque la rapidez angular es cero. Por tanto, la energía mecánica no se conserva de \( B \) a \( C \).

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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a) Necesitamos encontrar la rapidez del centro de masa del balón de fútbol cuando llega al final de la pendiente. Para abordar este problema, utilizaremos el hecho de que en la primera mitad de la trayectoria, el balón rueda sin resbalar, por lo que la fricción no funciona y se conserva la energía mecánica \(E\).

La energía mecánica \(E\) es la suma de la energía potencial \(U\), asociada con fuerzas conservativas, y la energía cinética \(K\), es decir

\begin{equation}
\label{emec}
E=U+K.
\end{equation}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

Cuando un cuerpo rígido realiza un movimiento de traslación y rotación, la energía cinética viene dada por la energía cinética de traslación del centro de masa \(K_{\text{cm}}\) más la energía cinética de rotación \(K_{\text{rot}}\), explícitamente

\begin{equation}
K=K_{\text{cm}}+K_{\text{rot}}.
\end{equation}

La expresión explícita de la energía cinética de traslación del centro de masa está dada por

\begin{equation}
\label{ktr}
K_{\text{cm}}=\frac{1}{2}m v_{\text{cm}}^2,
\end{equation}

donde \(m\) es la masa del cuerpo y \(v_{\text{cm}}\) es la rapidez de su centro de masa. La expresión para la energía cinética rotacional es

\begin{equation}
\label{krot}
K_{\text{rot}}=\frac{1}{2}I\omega^2,
\end{equation}

donde \(I\) es el momento de inercia alrededor del centro de masa y \(\omega\) es la rapidez angular. La única fuerza conservativa que se ejerce sobre el balón de fútbol es la fuerza gravitacional, cuya energía potencial está dada por

\begin{equation}
\label{mgh}
U=mgh,
\end{equation}

donde \(g\) es la constante gravitacional y \(h\) es la altura medida desde un sistema de coordenadas dado. En nuestro caso, el sistema de coordenadas se coloca en la parte inferior de la ladera.

Poniendo los resultados de las ecuaciones \eqref{ktr} , \eqref{krot} y \eqref{mgh} juntos en la ecuación \eqref{emec} , obtenemos

\begin{equation}
\label{emec2}
E=mgh+\frac{1}{2}mv_{\text{cm}}^2+\frac{1}{2}I\omega^2.
\end{equation}

Ahora dividiremos la trayectoria en tres puntos: A, B y C, como se ve en la figura 1.

En el punto A, la rapidez del centro de masa y la rapidez angular es cero y la altura es \(h\). Por lo tanto, podemos escribir una expresión para la energía mecánica en el punto A usando la ecuación \eqref{emec2} como

\begin{equation}
\label{ea}
E_A=mgh.
\end{equation}

En el punto B, la rapidez del centro de masa es \(v_B\) y la rapidez angular es \(\omega\). La altura en el punto B es \(h/2\). Por lo tanto, usando la ecuación \eqref{emec2} , podemos escribir una expresión para la energía mecánica en el punto B, es decir

\begin{equation}
\label{eb1}
E_B=mg\frac{h}{2}+\frac{1}{2}mv_B^2+\frac{1}{2}I\omega^2.
\end{equation}

Debido a que tenemos la condición de rodar sin resbalar, la rapidez angular y la rapidez del centro de masa cumplen la siguiente relación

\begin{equation}
v_B=\omega R,
\end{equation}

donde \(R\) es el radio de la pelota de fútbol. Usando esta relación en la ecuación \eqref{eb1} , obtenemos

\begin{equation}
E_B=mg\frac{h}{2}+\frac{
1}{2}m(\omega R)^2+\frac{1}{2}I\omega^2,
\end{equation}

\begin{equation}
\label{eb2}
E_B=mg\frac{h}{2}+\frac{1}{2}mR^2\omega^2+\frac{1}{2}I\omega^2.
\end{equation}

Del punto B al C no hay fricción; entonces, no se aplica torque a la pelota, y la aceleración angular \(\vec{\alpha}\) es cero. Esto implica que la rapidez angular \(\omega\) no cambia del punto B al punto C. La rapidez del centro de masa en C es \(v_C\) y la altura es cero. Por tanto, podemos escribir, con la ayuda de la ecuación \eqref{emec2} una expresión para la energía mecánica en el punto C, es decir

\begin{equation}
\label{ec}
E_C=\frac{1}{2}mv_C^2+\frac{1}{2}I\omega^2.
\end{equation}

Para encontrar \(v_C\), primero debemos calcular \(\omega\). Usamos el principio de conservación de la energía mecánica para escribir la siguiente igualdad

\begin{equation}
E_A=E_B.
\end{equation}

Lo cual, después de usar las expresiones explícitas para ambas energías dadas en las ecuaciones \eqref{ea} y \eqref{eb2} , tenemos

\begin{equation}
\label{eaeb}
mgh=mg\frac{h}{2}+\frac{1}{2}mR^2\omega^2+\frac{1}{2}I\omega^2.
\end{equation}

Trataremos el balón de fútbol como si fuera una cáscara esférica, para lo cual el momento de inercia es

\begin{equation}
\label{inertia}
I=\frac{2}{3}mR^2.
\end{equation}

Usando el resultado anterior en la ecuación \eqref{eaeb} obtenemos

\begin{equation}
mgh=mg\frac{h}{2}+\frac{1}{2}mR^2\omega^2+\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}mR^2\right)\omega^2,
\end{equation}

donde podemos cancelar la masa \(m\) y sumar los dos últimos términos en el lado derecho para obtener

\begin{equation}
gh=g\frac{h}{2}+\frac{5}{6}R^2\omega^2.
\end{equation}

Despejando \(\omega\), obtenemos

\begin{equation}
gh-g\frac{h}{2}=\frac{5}{6}R^2\omega^2,
\end{equation}

\begin{equation}
g\frac{h}{2}=\frac{5}{6}R^2\omega^2,
\end{equation}

\begin{equation}
\label{omega2}
\frac{gh}{2}\frac{6}{5R^2}=\omega^2.
\end{equation}

Sacando la raíz cuadrada en la ecuación anterior obtenemos

\begin{equation}
\label{omega}
\omega=\sqrt{\frac{3gh}{5R^2}}.
\end{equation}

Ahora podemos usar el principio de conservación de la energía mecánica entre los puntos A y C para escribir

\begin{equation}
E_A=E_C,
\end{equation}

que, después de usar las expresiones explícitas para las energías dadas por las ecuaciones \eqref{ea} y \eqref{ec} , obtenemos

\begin{equation}
mgh=\frac{1}{2}mv_C^2+\frac{1}{2}I\omega^2.
\end{equation}

Usando la expresión explícita para \(I\) y \(\omega^2\) dada en las ecuaciones \eqref{inertia} y \eqref{omega2} respectivamente, obtenemos

\begin{equation}
mgh=\frac{1}{2}mv_C^2+\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}mR^2\right)\left(\frac{gh}{2}\frac{6}{5R^2}\right),
\end{equation}

que, después de algunas simplificaciones y cancelando la masa \(m\), es

\begin{equation}
gh=\frac{1}{2}v_C^2+\frac{gh}{5}.
\end{equation}

Despejando \(v_C\) en la ecuación anterior, obtenemos

\begin{equation}
gh-\frac{gh}{5}=\frac{1}{2}v_C^2,
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{4gh}{5}=\frac{1}{2}v_C^2,
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{8gh}{5}=v_C^2.
\end{equation}

Por lo tanto, sacando la raíz cuadrada, encontramos nuestro resultado

\begin{equation}
v_C=\sqrt{\frac{8gh}{5}}.
\end{equation}

Usando los valores numéricos, obtenemos

\begin{equation}
v_C=\sqrt{\frac{8(9.81\,\text{m/s}^2)(70\,\text{m})}{5}},
\end{equation}

\begin{equation}
v_C\approx 33.15\,\text{m/s}.
\end{equation}

b) Si la fricción solo está presente en la parte inferior, no se puede realizar el mismo análisis. La razón de esto es que a medida que el balón de fútbol pasa de A a B, su centro de masa adquiere cierta rapidez mientras que la rapidez angular es cero. Esto es el resultado de que la aceleración angular es cero debido a la falta de torque neto aplicado al balón de fútbol en esta parte de la trayectoria.

Desde el punto A hasta el punto B, se conserva la energía mecánica; sin embargo, cuando la pelota pasa por el punto B, no se cumple la condición de rodar sin deslizamiento, principalmente porque la rapidez angular es cero, mientras que la rapidez del centro de masa es diferente de cero. Así, después del punto B, la bola se desliza y la rapidez angular aumenta. Continúa aumentando hasta un punto en el que la condición

\begin{equation}
v_{\text{cm}}=\omega R
\end{equation}

se ha completado. Debido a que la pelota se desliza, la fricción hace un trabajo negativo y se pierde energía mecánica. Por lo tanto,

\begin{equation}
E_B\neq E_C,
\end{equation}

que es equivalente a

\begin{equation}
E_A\neq E_C.
\end{equation}

Por lo tanto, debido a que la energía mecánica se disipa por fricción, concluimos que el mismo análisis que completamos antes no se puede realizar en este caso particular.

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