¡Datos del coche!

(a) Recuerde lo que significa que el movimiento de un objeto tenga una aceleración positiva, negativa o cero. Piense en las implicaciones de una aceleración proporcional al tiempo.

(b) Use la ecuación de movimiento para un objeto que se mueve con aceleración constante. Trate cada una de las cuatro regiones de forma independiente y recuerde encontrar la velocidad en cada región.

(c) Todas las ecuaciones cinemáticas estándar son para objetos que se mueven con aceleración constante. ¡Las ecuaciones serán muy diferentes si la aceleración es lineal!

(d) Use los valores encontrados en (a) para la velocidad.

(e) Utilice los valores encontrados en (a) para la posición.

(a) De 10 a 20 segundos, la aceleración es constante y negativa. Entonces, la tasa de cambio de la velocidad largo del tiempo es constante y negativa. Esto indica que el conductor dejó de presionar el acelerador y comenzó a frenar.

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

De 20 a 30 segundos, tenemos una aceleración positiva, por lo que la velocidad aumenta. El conductor está presionando el acelerador para aumentar la rapidez.

De 30 a 40 segundos, la aceleración es cero, lo que significa que la velocidad es constante. El conductor no está frenando ni presionando el acelerador.

Finalmente, de 40 a 50 segundos, la aceleración aumenta de manera constante. La velocidad cambia con el tiempo y no solo es positiva, ¡sino que el índice mismo está aumentando! Entonces, la velocidad aumenta y, a medida que pasa el tiempo, aumenta a un ritmo aún más rápido. Esto es equivalente a que el conductor presione el acelerador un poco más fuerte cada vez, para cambiar no solo la velocidad sino también la aceleración.

(b) Para calcular el desplazamiento total como:

\begin{equation*}
\vec{D}=\vec{x}(40\, \text{s})-\vec{x}(0\, \text{s}).
\end{equation*}

Para todas las regiones, la ecuación general de movimiento será útil:

\begin{equation*}
\vec{x}_f=x_{i}\,\hat{\textbf{i}}+v_{i}t\,\hat{\textbf{i}}+\frac{1}{2}at^2\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation*}

y también la ecuación para la velocidad:

\begin{equation*}
\vec{v}_f=v_{i}\,\hat{\textbf{i}}+at\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation*}

Primera región: \(0\leq t\leq 10\)

Usando los valores numéricos, la posición en \(t=10\, \text{s}\) es:

\begin{equation*}
\vec{x}_1=200\,\text{m} \,\hat{\textbf{i}},
\end{equation*}

y la velocidad es:

\begin{equation*}
\vec{v}_1=40\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation*}

Es útil encontrar algunos valores porque servirán como posición inicial y velocidad para el siguiente segmento.

Segunda región: \(10\leq t\leq 20\)

Considere que deberíamos escribir el tiempo como \((t-t_2)\) en lugar de \(t\) en todas las ecuaciones aquí, donde \(t_2 = 10 \, \text{s}\). Para la posición en el momento \(t = 20\,\text{s}\), obtenemos:

\begin{equation*}
\vec{x}_2=450\,\text{m}\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation*}

La velocidad es:

\begin{equation*}
\vec{v}_2=10\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation*}

Tercera Región: \(20\leq t\leq 30\)

Nuevamente, escriba \((t-t_3)\) en lugar de \(t\) en todas las ecuaciones. Para la posición en el momento \(t=30\,\text{s}\), obtenemos:

\begin{equation*}
\vec{x}_3=650\,\text{m}\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation*}

La velocidad es:

\begin{equation*}
\vec{v}_3=30\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation*}

Cuarta región: \(30\leq t\leq 40\)

En la cuarta región, tenga en cuenta que es un movimiento con velocidad constante. Nuevamente, escribimos \((t-t_4)\) en lugar de \(t\) para todas las ecuaciones. Para la posición en el momento \(t=40\,\text{s}\), obtenemos:

El resultado es

\begin{equation*}
\vec{x}_4=950\,\text{m}\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation*}

La velocidad es la misma que antes ya que es constante:

\begin{equation*}
\vec{v}_4=30\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation*}

Así, el desplazamiento total entre 0 y 40 segundos es:

\begin{equation*}
\vec{D}=950\,\text{m}\,\hat{\textbf{i}}-0\,\text{m}\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation*}

(c) La aceleración entre 40 y 50 segundos aumenta linealmente con el tiempo. No es una constante, claro. No podemos usar las relaciones habituales entre las variables cinemáticas como hicimos en las partes anteriores del problema. Tendríamos que integrar dos veces usando la definición de la aceleración en términos de posición, es decir, tendríamos que integrar dos veces la siguiente expresión:

\begin{equation*}
\vec{a}=\frac{d^2x}{dt^2}\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation*}

(d) Usando los resultados del punto b), ya conocemos una expresión para la velocidad \(v\) para cada región en términos de tiempo y otras variables conocidas. Podemos hacer el gráfico en la siguiente figura:

e) Entonces podemos usar los resultados de todas las ecuaciones de posición en términos del tiempo que encontramos en b). Si lo hacemos, obtenemos el gráfico de la siguiente figura:

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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a) Necesitamos interpretar cada segmento de la trama dada. Dado que estamos viendo una gráfica de aceleración, sabemos que estamos viendo el índice con el que indica la velocidad del automóvil cambia con el tiempo (recuerde que la aceleración es un cambio de velocidad largo del tiempo).

Teniendo esto en cuenta, vemos que de 0 a 10 segundos la aceleración es constante y positiva, lo que significa que el índice de cambio de la velocidad largo del tiempo es constante y positivo. Por tanto, la velocidad aumenta durante este intervalo. El conductor está presionando el acelerador para aumentar la rapidez (dado que el automóvil se mueve inicialmente en la dirección positiva de X, entonces un aumento de velocidad es siempre un aumento de rapidez , pero este no sería el caso si el automóvil se estuviera moviendo en la direccion opuesta).

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

De 10 a 20 segundos, la aceleración es constante y negativa, lo que significa que el índice de cambio de la velocidad a largo del tiempo es constante y negativa. Es decir, la velocidad disminuye. Físicamente, esto indica que el conductor dejó de presionar el acelerador y comenzó a frenar.

De 20 a 30 segundos, volvemos a tener una aceleración positiva y, de nuevo, la velocidad aumenta. El conductor está presionando el acelerador para aumentar la rapidez.

De 30 a 40 segundos, la aceleración es cero, lo que significa que la velocidad es constante. El conductor no está frenando ni presionando el acelerador.

Finalmente, de 40 a 50 segundos, la aceleración aumenta de manera constante. Entonces, la tasa de cambio a la que velocidad con el tiempo no solo es positiva, ¡sino que la tasa misma está aumentando! Entonces, la velocidad aumenta y, a medida que pasa el tiempo, aumenta a un ritmo aún más rápido. Esto es equivalente a que el conductor presione el acelerador un poco más fuerte cada vez, para cambiar no solo la velocidad sino también la aceleración.

b) Para calcular el desplazamiento total entre 0 y 40 segundos, tendremos que encontrar el cambio en el vector de posición entre estos dos tiempos. En particular, el desplazamiento en cuestión viene dado por la diferencia en las posiciones final e inicial:

\begin{equation}
\label{Displace}
\vec{D}=\vec{x}(40\, \text{s})-\vec{x}(0\, \text{s}).
\end{equation}

Si asumimos que el automóvil arranca en el origen, entonces todo lo que necesitamos encontrar es la posición a los 40 segundos, y para hacer eso necesitamos considerar la ecuación de movimiento para cada segmento hasta llegar a ese tiempo. Para este propósito, usaremos que la velocidad en el tiempo \(t=0\) es cero, que el automóvil comienza a moverse a lo largo del eje X positivo y que el automóvil siempre se mueve en línea recta, como dice el enunciado .

Primera región: \(0\leq t\leq 10\)

Para esta región, escribimos la ecuación de la posición de un objeto que se mueve con aceleración constante:

\begin{equation}
\vec{x}_1=x_{i,1}\,\hat{\textbf{i}}+v_{i,1}t\,\hat{\textbf{i}}+\frac{1}{2}a_1t^2\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}

donde \(x_{i,1}=0\,\text{m}\) es la posición en el tiempo \(t=0\,\text{s}\), \(v_{i,1}=0\,\text{m/s}\) es la rapidez en el tiempo \(t=0\,\text{s}\) and \(a_1=4\,\text{m/s}^2\) (y es positiva). Usando esta información, obtenemos lo siguiente para la posición en el tiempo \(t=10\, \text{s}\):

\begin{equation}
\vec{x}_1=\frac{1}{2}(4\,\text{m/s}^2)(10\,\text{s})^2 \,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}

que nos da

\begin{equation}
\label{x1i}
\vec{x}_1=200\,\text{m} \,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

La velocidad en el tiempo \(t=10\,\text{s}\) se calcula utilizando la expresión de la velocidad en un movimiento acelerado, a saber

\begin{equation}
\vec{v}_1=v_{i,1}\,\hat{\textbf{i}}+a_1t\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}

donde usamos el hecho de que, inicialmente, el automóvil se mueve en la dirección positiva de X. Usando los valores numéricos, obtenemos

\begin{equation}
\vec{v}_1=0\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}+(4\,\text{m/s}^2)(10\,\text{s})\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}

es decir,

\begin{equation}
\label{v1i}
\vec{v}_1=40\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Los vectores dados por las ecuaciones \eqref{x1i} y \eqref{v1i} serán útiles al escribir la posición y la aceleración de la segunda región, ya que servirán como posición y velocidad iniciales para ese segmento.

Segunda región: \(10\leq t\leq 20\)

Ahora podemos escribir la ecuación para la posición en un movimiento de aceleración constante en la segunda región, teniendo en cuenta que un tiempo \(t_2=10\,\text{s}\) ya ha pasado. Entonces deberíamos escribir \((t-t_2)\) en lugar de \(t\) en todas las ecuaciones aquí. Explícitamente, tenemos

\begin{equation}
\vec{x}_2=x_{i,2}\,\hat{\textbf{i}}+v_{i,2}(t-t_2)\,\hat{\textbf{i}}+\frac{1}{2}a_2(t-t_2)^2\,\hat{\textbf{i}},
\label{x2}
\end{equation}

donde \(x_{i,2}=200\,\text{m}\,\hat{\textbf{i}}\) es la posición en el tiempo \(t=10\,\text{s}\) (que se encuentra en el primer segmento), \(v_{i,2}=40\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}\) es la velocidad en el tiempo \(t=10\,\text{s}\) (también encontrado anteriormente) y \(a_2=-3\,\text{m/s}^2\,\hat{\textbf{i}}\) porque el carro tiene una aceleración negativa.

La posición en el tiempo \(t=20\) es entonces, usando los valores numéricos y la ecuación \eqref{x2}, la siguiente:

\begin{equation}
\vec{x}_2=200\,\text{m}\,\hat{\textbf{i}}+(40\,\text{m/s})(20\,\text{s}-10\,\text{s})\,\hat{\textbf{i}}+\frac{1}{2}(-3\,\text{m/s}^2)(20\,\text{s}-10\,\text{s})^2\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}

lo que resulta en

\begin{equation}
\label{x2i}
\vec{x}_2=450\,\text{m}\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

La velocidad en el tiempo \(t=20\,\text{s}\) se calcula utilizando la expresión

\begin{equation}
\vec{v}_2=v_{i,2}\,\hat{\textbf{i}}+a_2(t-t_2)\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Usando los valores numéricos, esto se convierte en

\begin{equation}
\vec{v}_2=40\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}+(-3\,\text{m/s}^2)(20\,\text{s}-10\,\text{s})\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}

es decir,

\begin{equation}
\label{v2i}
\vec{v}_2=10\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Los resultados dados por las ecuaciones \eqref{x2i} y \eqref{v2i} serán útiles al escribir la posición y la aceleración de la tercera región. Servirán como posición inicial y velocidad, respectivamente.

Tercera Región: \(20\leq t\leq 30\)

Ahora podemos escribir la ecuación para la posición en un movimiento de aceleración constante, teniendo en cuenta que un tiempo de \(t_3=20\,\text{s}\) ya ha pasado. Esto significa que deberíamos escribir \((t-t_3)\) en lugar de \(t\) en todas las ecuaciones. Explícitamente,

\begin{equation}
\vec{x}_e=x_{i,3}\,\hat{\textbf{i}}+v_{i,3}(t-t_3)\,\hat{\textbf{i}}+\frac{1}{2}a_3(t-t_3)^2\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}

donde \(\vec{x}_{i,3}=450\,\text{m}\) es la posición en el tiempo \(t=20\,\text{s}\) (encontrado para el segundo segmento), \(\vec{v}_{i,3}=10\,\text{m/s}\) es la velocidad en el tiempo \(t=20\,\text{s}\) (que se encuentra en el segundo segmento) y \(a_3=2\,\text{m/s}^2\,\hat{\textbf{i}}\) (es positivo).

La posición en el tiempo \(t=30\) es entonces, usando los valores numéricos, la siguiente:

\begin{equation}
\vec{x}_3=450\,\text{m}\,\hat{\textbf{i}}+(10\,\text{m/s})(30\,\text{s}-20\,\text{s})\,\hat{\textbf{i}}+\frac{1}{2}(2\,\text{m/s}^2)(30\,\text{s}-20\,\text{s})^2\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}

que nos da

\begin{equation}
\label{x3i}
\vec{x}_3=650\,\text{m}\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

La velocidad en el tiempo \(t=30\,\text{s}\) se calcula utilizando la expresión

\begin{equation}
\vec{v}_3\,\hat{\textbf{i}}=v_{i,3}\,\hat{\textbf{i}}+a_3(t-t_3)\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Usando los valores numéricos, esto se convierte en

\begin{equation}
\vec{v}_3=10\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}+(2\,\text{m/s}^2)(30\,\text{s}-20\,\text{s})\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}

es decir,

\begin{equation}
\label{v3i}
\vec{v}_3=30\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Como antes, los resultados dados por las ecuaciones \eqref{x3i} y \eqref{v3i} serán útiles al escribir la posición y la aceleración de la cuarta región. Servirán como posición inicial y velocidad respectivamente.

Cuarta región: \(30\leq t\leq 40\)

Finalmente podemos escribir la ecuación de movimiento para la cuarta región, notando que es un movimiento con velocidad constante. También notamos que un tiempo de \(t_4=30\,\text{s}\) ya ha pasado, por lo que escribimos \((t-t_4)\) en lugar de \(t\) para todas las ecuaciones. Explícitamente, tenemos

\begin{equation}
\vec{x}_4=x_{i,4}\,\hat{\textbf{i}}+v_{i,4}(t-t_4)\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}

donde \(\vec{x}_{i,4}=650\,\text{m}\) es la posición en el tiempo \(t=30\,\text{s}\) (encontrado en el segmento anterior), \(v_{i,4}=30\,\text{m/s}\) es la velocidad en el tiempo \(t=30\,\text{s}\) (también encontrado en el segmento anterior) y \(a_4=0\,\text{m/s}^2\).

La posición en el tiempo \(t=40\) es entonces, usando los valores numéricos y la ecuación \eqref{x3i} , la siguiente:

\begin{equation}
\vec{x}_4=650\,\text{m}\,\hat{\textbf{i}}+(30\,\text{m/s})(40\,\text{s}-30\,\text{s})\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

El resultado es

\begin{equation}
\label{x4i}
\vec{x}_4=950\,\text{m}\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

La velocidad en el tiempo \(t=40\,\text{s}\) es conocida porque el automóvil se mueve con velocidad constante aquí, por lo que podemos usar la velocidad encontrada para el final del tercer segmento:

\begin{equation}
\label{v4i}
\vec{v}_4=30\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Por lo tanto, el desplazamiento total entre 0 y 40 segundos es, usando la ecuación \eqref{Displace}, y el hecho de que la posición inicial sea cero, lo siguiente:

\begin{equation}
\label{Displace2}
\vec{D}=950\,\text{m}\,\hat{\textbf{i}}-0\,\text{m}\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

c) La aceleración entre 40 y 50 segundos aumenta linealmente con el tiempo. No es una constante, claro. Debido a que la aceleración no es constante, no podemos usar las relaciones habituales entre las variables cinemáticas como hemos hecho en las partes anteriores del problema. Para obtener las ecuaciones de movimiento tendríamos que integrar dos veces utilizando la definición de la aceleración en términos de posición, es decir, tendríamos que integrar dos veces la siguiente expresión:

\begin{equation}
\vec{a}=\frac{d^2x}{dt^2}\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

d) Para esta parte, nos piden que dibujemos una gráfica de velocidad versus tiempo. Usando los resultados del punto b), ya conocemos una expresión para la velocidad \(v\) para cada región en términos del tiempo y otras variables conocidas. Podemos hacer la gráfica en la figura 1.

e) Para la parte final, nos piden que dibujemos una gráfica de posición vs tiempo. Luego podemos usar los resultados de todas las ecuaciones de posición en términos de tiempo que encontramos en b). Si lo hacemos, obtenemos el gráfico de la figura 2.

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