¡Amor verdadero!

Haga un diagrama de cuerpo libre rotando los ejes de coordenadas para que el eje \({x-} \) esté alineado con la dirección del movimiento. Encuentre la fuerza normal y utilícela para encontrar la fuerza debido a la fricción que le ayudará a encontrar la respuesta.

La segunda ley de Newton, escrita en términos del eje rotado \({y-} \) da:

\begin{equation*}
N – m_s g \cos \theta – m_w g \cos \theta = 0,
\end{equation*}

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donde \(m_s \) y \(m_w \) son respectivamente la masa de Sean y la masa de la silla de ruedas.

En la dirección \({x-} \), asumiendo que el eje \({x-} \) está alineado con la dirección del movimiento, Sean y Josie viajan a velocidad constante, lo que significa que la fuerza neta está en la dirección \({x-} \). La segunda ley de Newton, escrita en términos del eje rotado \({x-} \), da:

\begin{equation*}
F_J – f_r – m_s g \sin \theta – m_w g \sin \theta = 0.
\end{equation*}

Despejando, \(F_J \), sustituyendo las otras variables y haciendo algo de álgebra, obtenemos:

\begin{equation*}
F_J = \mu (m_w+m_s)g \cos \theta + (m_w+m_s)g \sin \theta,
\end{equation*}

Introduciendo los valores numéricos:

\begin{equation}
F_J = 557.82 \, \text{N}.
\end{equation}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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Necesitamos encontrar la fuerza que Josie debe ejercer para ayudar a Sean a subir por la rampa a una rapidez constante. Para hacerlo, tenemos que relacionar esa fuerza con las otras variables, a saber, el peso de Sean y la silla de ruedas, el ángulo de la rampa y el coeficiente de fricción dinámica. Antes de continuar, es importante comprender por qué es relevante que las ruedas de la silla de ruedas no giren. Si las ruedas estuvieran girando, también habría fricción estática, y este problema habría sido más complicado (una rueda que gira lo hace debido a la fricción estática, no a la fricción dinámica).

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Ahora, para encontrar la relación entre la fuerza de Josie y las otras variables, tendremos que identificar todas las fuerzas y usar la segunda ley de Newton. Comencemos usando un sistema de coordenadas conveniente. Para planos inclinados, es conveniente utilizar un sistema donde el eje X sea paralelo al plano, como se ilustra en la figura 1.

 

Figura 1: Elegimos el sistema de coordenadas con el eje X paralelo al plano inclinado y el eje Y perpendicular al mismo.

 

 

 

Podemos simplificar mucho el análisis si tratamos a Sean y la silla de ruedas como un solo sistema. Si lo hacemos, solo nos preocupamos por su masa total (y su peso total), y no necesitamos considerar las fuerzas entre ellos (por ejemplo, podemos ignorar la fuerza normal entre la silla de ruedas y el trasero de Sean).

(En muchos libros y a veces en las clases de física, no siempre se explica explícitamente qué objetos de un problema dado se tratan como un solo sistema y qué objetos se tratan como objetos independientes. Por lo general, esto se infiere del contexto, pero siempre es mejor ser lo más explícito posible).

Ahora, sobre el sistema dado por Sean y la silla de ruedas, hay cuatro fuerzas. Una es la fuerza normal producida por la rampa, que está alineada con el eje Y. La otra fuerza es el peso (que es el peso total, que proviene de la suma del peso de Sean y el de la silla de ruedas). El peso apunta verticalmente hacia abajo. Otra fuerza es la que ejerce Josie al empujar la silla de ruedas, una fuerza que apunta en la dirección X positiva. Y finalmente, está la fuerza de fricción dinámica que el piso ejerce sobre las ruedas, apuntando en la dirección X negativa (ver figura 2).

 

Figura 2: diagrama de cuerpo libre para Sean. Las fuerzas mostradas son la fuerza de contacto con el plano inclinado \({N} \), la fricción \(f_r \), el peso \(W \) y la fuerza ejercida por Josie \(F_J \). El peso se descompone d en sus componentes a lo largo de los ejes X e Y.

 

Una vez identificadas las fuerzas, podemos escribir la segunda ley de Newton para encontrar una relación entre la fuerza de Josie y las otras variables. Como explicamos anteriormente, en X hay tres fuerzas, la de Josie, que es positiva, la componente X del peso, que es negativa, y la fricción dinámica, que también es negativa. Por lo tanto, obtenemos

\begin{equation}
\label{Wheelchair_fuerzasX}
F_J \, \hat{\textbf{i}} – f_r \, \hat{\textbf{i}} – W_x \, \hat{\textbf{i}} = m a_x \, \hat{\textbf{i}},
\end{equation}

donde \(W_x \) es el componente x del peso total del sistema Sean-Silla de ruedas y \(a_x \) es la magnitud de la aceleración en X. Pero queremos encontrar la fuerza que ejerce Josie para mover la silla de ruedas (y Sean) con velocidad constante. Por tanto, la aceleración en la ecuación \eqref{Wheelchair_fuerzasX} es cero

\begin{equation}
F_J \, \hat{\textbf{i}} – f_r \, \hat{\textbf{i}} – W_x \, \hat{\textbf{i}} = 0 \, \hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Si movemos \(f_r \) y \(W_x \) al otro lado, y nos enfocamos solo en las magnitudes, obtenemos

\begin{equation}
\label{Wheelchair_FuerzaJosie}
F_J = f_r + W_x.
\end{equation}

Entonces, para encontrar \(F_J \), necesitamos encontrar \(W_x \) y \(f_r \). \(W_x \) es fácil de encontrar, ya que a partir del diagrama de cuerpo libre es claro que

\begin{equation}
W_x = W \sin \theta.
\end{equation}

donde \(\theta \) es el ángulo de la rampa (que se conoce). Además, recuerde que \(W = mg \), donde \(m \) es la masa total (es decir, \(m = m_w + m_s \), la suma de la masa de la silla de ruedas y la masa de Sean). Entonces tenemos

\begin{equation}
W_x = (m_w+m_s)g \sin \theta.
\end{equation}

Entonces insertemos esto en la ecuación \eqref{Wheelchair_FuerzaJosie} para obtener

\begin{equation}
\label{Wheelchair_fuerzaJosieParaReemplazar}
F_J = f_r + (m_w+m_s)g \sin \theta.
\end{equation}

Todo lo que necesitamos encontrar ahora es la fricción dinámica. Recuerde que la magnitud de la fricción dinámica está dada por

\begin{equation}
\label{Wheelchair_friccion}
f_r = \mu N,
\end{equation}

donde \(N \) es la magnitud de la normal producida por la superficie. Para encontrar \(N \), debemos considerar la segunda ley de Newton a lo largo de Y. De acuerdo con nuestro sistema de coordenadas, en Y solo hay dos fuerzas, la componente Y del peso, que es negativa, y la normal, que es positiva. Entonces obtenemos

\begin{equation}
N \, \hat{\textbf{j}} – W_y \, \hat{\textbf{j}} = m a_y \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Sin embargo, el sistema Sean-silla de ruedas no se mueve a lo largo de Y, por lo que \(a_y \) es cero.

\begin{equation}
\label{Wheelchair_fuerzasY}
N \, \hat{\textbf{j}} – W_y \, \hat{\textbf{j}} = 0 \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Ahora, usemos de nuevo el diagrama de cuerpo libre para escribir

\begin{equation}
W_y = W \cos \theta.
\end{equation}

Y utilizamos de nuevo que \(W = (m_w + m_s) g \). Entonces

\begin{equation}
W_x = (m_w+m_s)g \cos \theta.
\end{equation}

Si usamos este resultado en la ecuación \eqref{Wheelchair_fuerzasY} y nos centramos solo en las magnitudes, obtenemos

\begin{equation}
N – (m_w+m_s)g \cos \theta = 0.
\end{equation}

Reorganizamos los términos para obtener

\begin{equation}
N = (m_w+m_s)g \cos \theta.
\end{equation}

Ahora, usemos esto en la ecuación \eqref{Wheelchair_friccion}

\begin{equation}
f_r = \mu ( (m_w+m_s)g \cos \theta ).
\end{equation}

Todo lo que tenemos que hacer ahora es insertar esto en la ecuación \eqref{Wheelchair_fuerzaJosieParaReemplazar} para obtener una expresión de la fuerza de Josie:

\begin{equation}
F_J = \mu (m_w+m_s)g \cos \theta + (m_w+m_s)g \sin \theta.
\end{equation}

Si insertamos los valores numéricos para las diferentes variables

\begin{equation}
F_J = (0.4) [(10 \, \text{kg})+(65 \, \text{kg})] (9.8 \, \text{m/s}^2) \cos (23^\circ) + [(10 \, \text{kg})+(65 \, \text{kg})] (9.8 \, \text{m/s}^2) \sin (23^\circ),
\end{equation}

obtenemos

\begin{equation}
F_J = 557.82 \, \text{N}.
\end{equation}

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