¡Helicóptero de Juguete!

Calcula la rapidez del helicóptero cuando llega a la parte inferior de la ventana teniendo en cuenta la altura de la ventana y el hecho de que el helicóptero se mueve con aceleración constante. Luego, encuentre la altura de la parte inferior de la ventana con respecto al piso. Finalmente, encuentre una relación entre esta última altura y el número de pisos.

Considere que el sistema de coordenadas está en la base del edificio. La altura de la parte más baja de la ventana del vecino curioso es \(yB\), y la altura de la parte superior de la ventana es \(y_A\). Comencemos escribiendo la ecuación cinemática para \(y_A\), considerando la situación en \(y_B\) como nuestro punto de partida. Luego, en el eje Y, podemos escribir:

\begin{equation*}
\vec{y}_A=\vec{y}_B+\vec{v}_{B}\Delta t+\frac{1}{2}\vec{a}\Delta t^2.
\end{equation*}

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Usando los valores numéricos teniendo en cuenta que \(y_A-y_B=2\,\text{m}\) es la altura de la ventana y \(a=0.5\,\text{m/s}^2\), obtenemos:

\begin{equation*}
v_B\approx 3.88\,\text{m/s}.
\end{equation*}

Ahora, usaremos la siguiente ecuación cinemática escalar para el eje Y que relaciona las variables en el piso y en el punto \(y_B\):

\begin{equation*}
v_B^2=v_0^2+2a(y_B-y_0).
\end{equation*}

Usando los valores numéricos para \(a\) y el de \(v_B\) calculados previamente, obtenemos:

\begin{equation*}
y_B \approx 15.02\,\text{m}.
\end{equation*}

Si cada piso tiene una altura de aproximadamente \(h=3\,\text{m}\), entonces el número de pisos \(N\) debajo del vecino curioso es

\begin{equation}
N=\frac{y_B}{h} = \approx 5.01 \approx 5.
\end{equation}

Observe aquí que el “primer piso” de un edificio correspondería a N cercano a cero. El segundo piso correspondería a N cercano a 1, y así sucesivamente. Por lo tanto, el vecino curioso está en el sexto piso.

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Necesitamos calcular el número de piso. Para resolver este problema, primero representaremos la situación usando el dibujo de la figura 1.

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Como vemos en el dibujo, consideramos que el origen de nuestro sistema de coordenadas está en la base del edificio. La altura de la parte más baja de la ventana del vecino curioso es \(yB\), y la altura de la parte superior de la ventana es \(y_A\). Cuando el helicóptero pasa por \(y_B\) tiene una velocidad desconocida \(v_B\). Para despejar \(y_B\), primero usaremos las ecuaciones para un movimiento de aceleración constante \(a\) para despejar \(v_B\). Una vez que encontremos \(v_B\), podremos encontrar, usando otra ecuación cinemática, la altura \(y_B\) (asumiendo que el helicóptero comienza desde el piso con rapidez cero).

Comencemos escribiendo la ecuación cinemática para \(y_A\), considerando la situación en \(y_B\) como nuestro punto de partida. Entonces, en el eje Y podemos escribir

\begin{equation}
\vec{y}_A=\vec{y}_B+\vec{v}_{B}\Delta t+\frac{1}{2}\vec{a}\Delta t^2,
\end{equation}

donde \(\Delta t= 0.5\,\text{s}\) es el intervalo de tiempo entre el punto \(y_B\) y \(y_A\). Usando vector unitario basados en el sistema de coordenadas, obtenemos

\begin{equation}
y_A\,\hat{\textbf{j}}=y_B\,\hat{\textbf{j}}+v_B\Delta t\,\hat{\textbf{j}}+\frac{1}{2}a\Delta t^2\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}

que, después de eliminar la vector unitario (ya que todo sucede en línea recta) y enfocándonos en la magnitud de cada vector, se obtiene

\begin{equation}
y_A=y_B+v_B\Delta t+\frac{1}{2}a\Delta t^2.
\end{equation}

La única variable desconocida en esta ecuación es \(v_B\). Para encontrarlo, podemos mover los otros términos a la izquierda:

\begin{equation}
y_A-y_B-\frac{1}{2}a\Delta t^2=v_B\Delta t.
\end{equation}

Después de dividir ambos lados por \(\Delta t\), obtenemos

\begin{equation}
\frac{y_A-y_B}{\Delta t}-\frac{1}{2}a\Delta t=v_B.
\end{equation}

Usando los valores numéricos teniendo en cuenta que \(y_A-y_B=2\,\text{m}\) es la altura de la ventana y \(a=0.5\,\text{m/s}^2\), obtenemos:

\begin{equation}
v_B=\frac{2\,\text{m}}{0.5\,\text{s}}-\frac{1}{2}(0.5\,\text{m/s}^2)(0.5\,\text{s}),
\end{equation}

que es equivalente a

\begin{equation}
\label{vb}
v_B\approx 3.88\,\text{m/s}.
\end{equation}

Ahora, usaremos la siguiente ecuación cinemática escalar para el eje Y que relaciona las variables en el piso y en el punto \(y_B\):

\begin{equation}
\label{vb2}
v_B^2=v_0^2+2a(y_B-y_0),
\end{equation}

donde \(v_0=0\) es la velocidad del helicóptero en el piso y \(y_0=0\) es la posición del helicóptero al comienzo de su viaje hacia arriba. La ecuación \eqref{vb2} luego se puede simplificar a

\begin{equation}
v_B^2=2ay_B,
\end{equation}

que podemos usar para despejarr \(y_B\) para llegar a la siguiente expresión:

\begin{equation}
y_B=\frac{v_B^2}{2a}.
\end{equation}

Usando los valores numéricos de \(a\) y el de \(v_B\) calculados en la ecuación \eqref{vb} , obtenemos

\begin{equation}
y_B=\frac{(3.88\,\text{m/s})^2}{2(0.5\,\text{m/s}^2)}
\end{equation}

Esto produce

\begin{equation}
y_B \approx 15.02\,\text{m}.
\end{equation}

Si cada piso tiene una altura de aproximadamente \(h=3\,\text{m}\), entonces el número de pisos \(N\) debajo del vecino curioso es

\begin{equation}
N=\frac{y_B}{h},
\end{equation}

que numéricamente es

\begin{equation}
N=\frac{15.02\,\text{m}}{3\,\text{m}},
\end{equation}

\begin{equation}
N\approx 5.01\approx 5.
\end{equation}

Observe aquí que el “primer piso” de un edificio correspondería a N cercano a cero. El segundo piso correspondería a N cercano a 1, y así sucesivamente. Por lo tanto, el vecino curioso está en el sexto piso.

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