¡Persona de la polea!

a) Se está buscando la fuerza normal que ejerce el suelo sobre la caja. Si realiza un diagrama de cuerpo libre, notará que lo normal es menor que si la caja no tuviera una cuerda conectada.

b) La misma pista que la parte a)

c) La misma sugerencia que a), pero considere que la tensión es igual en magnitud al peso del hombre.

Para los tres casos, la tercera ley de Newton es:

\begin{equation*}
N + T – mg = 0,
\end{equation*}

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donde \(T\) es la fuerza ejercida por el hombre a través de la cuerda, y \(N\) la fuerza ejercida por el piso, que es la variable desconocida.

a) Despejando \(N\) y usando que \(T=100\,\text{N} \), obtenemos:

\begin{equation*}
N=9700\,\text{N}.
\end{equation*}

b) Despejando \(N\) y usando que \(T = 300 \, \text{N}\), obtenemos:

\begin{equation*}
N=9500\,\text{N}.
\end{equation*}

c) Nuevamente, despejando \(N\) y usando ese \(T = Mg\) donde \(M\) es la masa del hombre, obtenemos:

\begin{equation*}
N=9016\,\text{N}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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1. Estrategia general para (a)

a) Necesitamos encontrar la fuerza que la superficie ejerce sobre la caja si el hombre tira de la cuerda con una fuerza de 100 N. Abordaremos este problema identificando todas las fuerzas ejercidas sobre la caja y luego usaremos la segunda ley de Newton para deducir el valor de la fuerza de contacto ejercida por el suelo sobre la caja.

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2. Identificar las fuerzas y realizar un diagrama de cuerpo libre

Para crear el diagrama de cuerpo libre, elijamos un sistema de coordenadas en el suelo, con \({y} \) apuntando hacia arriba. Dado tal sistema, identificamos tres fuerzas a lo largo del eje \({y-}\) eje: el peso de la caja \(\vec{W}\) apuntando en la dirección negativa de \({y-}\), la tensión \(\vec{T}\) ejercida por la cuerda, apuntando en la dirección positiva de \({y}\) y la fuerza de contacto \(\vec{N}\) ejercida por el suelo, también apuntando en la dirección positiva de \({y}\). Por lo tanto, el diagrama de cuerpo libre se muestra en la Figura 1.

Figura 1: diagrama de cuerpo libre para la caja. Las fuerzas que se muestran son las siguientes: la fuerza de contacto con el piso \(\vec{N}\), la tensión \(\vec{T}\) y el peso \(\vec{W}\). El sistema de coordenadas se elige con el eje Y apuntando hacia arriba.

3. Segunda ley de Newton a lo largo del eje \({y-} \)

Debido a que el sistema está en equilibrio, es decir, su aceleración es igual a cero, podemos escribir la Segunda Ley de Newton a lo largo del eje \({y-} \) como

\begin{equation}
-W\,\hat{\textbf{j}}+N\,\hat{\textbf{j}}+T\,\hat{\textbf{j}}=0,
\end{equation}

donde \(W = mg \) es la magnitud del peso, \(m = 1 \, \text{Ton} = 1000 \, \text{kg} \) es la masa de la caja y \(g \) es la aceleración gravitacional en la Tierra. Al descartar la notación vectorial para enfocarnos en las magnitudes y al usar la expresión explícita para el peso de la caja, obtenemos

\begin{equation}
-mg+N+T=0.
\end{equation}

4. Manipular ecuaciones para despejar las variables desconocidas

Podemos despejar \(N\) para obtener

\begin{equation}
\label{normal}
N=mg-T.
\end{equation}

5. Insertar los valores numéricos

Debido a que la cuerda y la polea son ideales, la tensión ejercida por el hombre en el extremo derecho es de la misma magnitud que la tensión aplicada a la caja. Para el caso en el que el hombre hala con una fuerza de 100 N, \(T=100\,\text{N}\). Podemos usar todos los valores numéricos en unidades SI en la ecuación \eqref{normal} para obtener

\begin{equation}
N=(1000\,\text{kg})(9.8\,\text{m/s}^2)-100\,\text{N},
\end{equation}

que es lo mismo que

\begin{equation}
N=9700\,\text{N}.
\end{equation}

6. Estrategia general para (b)

(b) Para el caso en el que el hombre hala con una fuerza de 300 N, \(T=300\,\text{N}\), podemos usar la ecuación \eqref{normal} de nuevo, pero con los nuevos valores numéricos.

7. Insertar los valores numéricos

Si insertamos los valores numéricos en unidades SI en la ecuación \eqref{normal}, obtenemos

\begin{equation}
N=(1000\,\text{kg})(9.8\,\text{m/s}^2)-300\,\text{N},\end{equation}

que nos da

\begin{equation}
N=9500\,\text{N}.
\end{equation}

8. Estrategia general para (b)

(c) Finalmente, en el caso en que el hombre cuelgue de la cuerda, la tensión de la cuerda debe ser igual en magnitud al peso del hombre, \(Mg \), ya que estas fuerzas deben ser iguales para que el hombre cuelgue sin aceleración.

9. Insertar los valores numéricos

Sabemos que \(M=80\,\text{kg}\). Entonces, como \(T=Mg\), obtenemos que \(T=(80\,\text{kg})(9.8\,\text{m/s}^2)=784\,\text{N}\). Al usar este resultado para la tensión en la ecuación \eqref{normal}, obtenemos

\begin{equation}
N=(1000\,\text{kg})(9.8\,\text{m/s}^2)-784\,\text{N},
\end{equation}

que nos da

\begin{equation}
N=9016\,\text{N}.
\end{equation}

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