¡Limpieza de ventanas!

a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre para la silla y otro diagrama de cuerpo libre para la persona. Escriba la segunda ley de Newton para ambos escenarios y use estas dos ecuaciones para despejar las dos variables desconocidas.

b) Utilice las fórmulas obtenidas anteriormente para \(T \) y \(N \) para evaluar en la aceleración mencionada.

c) La misma pista que la parte (b).

a) La segunda ley de Newton en la dirección \({y-} \) de la persona es:

\begin{equation*}
T+N_m-m_m g=m_ma,
\end{equation*}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

y

\begin{equation*}
T-N_m-m_c g=m_ca.
\end{equation*}

Las dos variables desconocidas son \(T\) y \(N_m\).

Se puede sumar ambas ecuaciones y hacer algo de álgebra para despejar \(T \):

\begin{equation*}
T=\frac{(m_m+m_c)a+W_m+W_c}{2},
\end{equation*}

También se puede restar las ecuaciones para obtener:

\begin{equation*}
N_m=\frac{(m_m-m_c)(a+g)}{2}.
\end{equation*}

Por tanto, las soluciones numéricas son:

\begin{equation*}
T=450\,\text{N},
\end{equation*}

y

\begin{equation*}
N_m=350\,\text{N}.
\end{equation*}

b) Para el caso específico, \(a = -1 \, \text{m/s} ^ 2 \):

\begin{equation*}
T=396\,\text{N},
\end{equation*}

y

\begin{equation*}
N_m=308\,\text{N}.
\end{equation*}

c) Para el caso específico, \(a = 0 \), entonces:

\begin{equation*}
T=441\,\text{N},
\end{equation*}

y

\begin{equation*}
N_m=343\,\text{N}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

[/mepr-show]

a) En la primera parte del problema, necesitamos encontrar la tensión en la cuerda cuando el limpiacristales tira de ella hacia abajo y acelera hacia arriba. Para abordar este problema, haremos un diagrama de cuerpo libre para ella y para la silla de contramaestre por separado. Para la mujer, identificamos tres fuerzas: el peso \(\vec{W}_m \) apuntando hacia abajo, la fuerza de contacto ejercida por la silla \(\vec{N}_m \) apuntando hacia arriba, y la tensión \(\vec{T}\) ejercida por la cuerda en sus manos, que también apunta hacia arriba (esta tensión es la reacción a que ella tira de la cuerda). Por tanto, el diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura 1.

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

Figura 1: diagrama de cuerpo libre para la mujer. Las fuerzas que se muestran son: la tensión ejercida por la cuerda \(\vec{T} \), la fuerza de contacto \(\vec{N}_m \) y el peso \(\vec{W}_m\).

Para la silla, también hay tres fuerzas: su propio peso \(\vec{W}_c \) apuntando hacia abajo, la fuerza de contacto ejercida por la mujer sentada \(\vec{N}_c \), y la tensión \(\vec{T} \) ejercida por la cuerda. Nótese que la tensión ejercida tanto sobre la mujer como sobre la silla es de la misma magnitud porque es la misma cuerda, que consideramos ideal. Además, en este caso ambas tensiones apuntan en la misma dirección (hacia arriba). Debido a la tercera ley de Newton, la fuerza de contacto producida por la silla sobre la mujer es de la misma magnitud pero en dirección opuesta a la fuerza producida por ella sobre la silla. Es decir, \(\vec{N}_c=-\vec{N}_m \). Entonces, el diagrama de cuerpo libre para la silla es

Figura 2: diagrama de cuerpo libre para la silla. Las fuerzas que se muestran son: la tensión ejercida por la cuerda \(\vec{T} \), la fuerza de contacto \(\vec{N}_m \) y el peso \(\vec{W}_m\).

Entonces podemos escribir la segunda ley de Newton a lo largo del eje Y para la mujer como

\begin{equation}
\label{newtonman}
T\,\hat{\textbf{j}}+N_m\,\hat{\textbf{j}}-W_m\,\hat{\textbf{j}}=m_m a \,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}

donde \(a\) es la aceleración de la mujer y \(m_m \) su masa. Podemos hacer lo mismo con la silla y escribir la segunda ley de Newton a lo largo del eje Y para obtener

\begin{equation}
\label{newtonchair0}
T\,\hat{\textbf{j}}-N_c\,\hat{\textbf{j}}-W_c\,\hat{\textbf{j}}=m_ca_c\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}

donde \(m_c\) es la masa de la silla, \(a_c\) su aceleración. Usemos ahora el hecho de que las fuerzas de contacto son de la misma magnitud:

\begin{equation}
\label{newtonchair00}
T\,\hat{\textbf{j}}-N_m\,\hat{\textbf{j}}-W_c\,\hat{\textbf{j}}=m_ca_c\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Nótese también que la aceleración de la mujer y la silla son las mismas ya que se mueven juntas y están en contacto en todo momento. Por tanto, podemos escribir la ecuación anterior como

\begin{equation}
\label{newtonchair}
T\,\hat{\textbf{j}}-N_m\,\hat{\textbf{j}}-W_c\,\hat{\textbf{j}}=m_c a\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}

Ahora podemos soltar la notación vectorial en las ecuaciones \eqref{newtonman} y \eqref{newtonchair} (ya que todo sucede a lo largo del mismo eje) para obtener el siguiente sistema de ecuaciones:

\begin{equation}
\label{nman}
T+N_m-W_m=m_ma,
\end{equation}

y

\begin{equation}
\label{nchair}
T-N_m-W_c=m_ca.
\end{equation}

Como queremos encontrar la tensión \(T\) y la \(N_m\) normal, resolvemos estas variables usando las ecuaciones anteriores. Sumemos la ecuación \eqref{nman} y \eqref{nchair} para llegar a

\begin{equation}
(T+N_m-W_m)+(T-N_m-W_c)=(m_m a)+(m_ca),
\end{equation}

que se simplifica a

\begin{equation}
2T-W_m-W_c=(m_m+m_c)a.
\end{equation}

Podemos resolver \(T\) en la ecuación anterior moviendo los otros términos al lado derecho:

\begin{equation}
2T=(m_m+m_c)a+W_m+W_c.
\end{equation}

Dividiendo ambos lados por 2, obtenemos

\begin{equation}
\label{tension1}
T=\frac{(m_m+m_c)a+W_m+W_c}{2}.
\end{equation}

Para resolver la fuerza de contacto \(N_m\), restamos la ecuación \eqref{nchair} de la ecuación \eqref{nman} para obtener

\begin{equation}
(T+N_m-W_m)-(T-N_m-W_c)=(m_m a)-(m_ca).
\end{equation}

Esto se puede simplificar a

\begin{equation}
2N_m-W_m+W_c=(m_m-m_c)a.
\end{equation}

Ahora podemos resolver \(N_m\) en esta ecuación moviendo los otros términos al lado derecho:

\begin{equation}
2N_m=(m_m-m_c)a+W_m-W_c.
\end{equation}

Dividamos ahora por dos en ambos lados, para obtener

\begin{equation}
\label{normal1}
N_m=\frac{(m_m-m_c)a+W_m-W_c}{2}.
\end{equation}

En nuestras expresiones explícitas para la tensión y la fuerza de contacto dadas por las ecuaciones \eqref{tension1} y \eqref{normal1}, podemos usar las expresiones explícitas para el peso de la mujer y la silla, a saber, \(W_m = m_mg \) y \(W_c = m_cg \). Haciendo eso, obtenemos

\begin{equation}
T=\frac{(m_m+m_c)a+m_mg+m_cg}{2}.
\end{equation}

Es decir,

\begin{equation}
N_m=\frac{(m_m-m_c)a+m_mg-m_cg}{2}.
\end{equation}

Ambas expresiones se pueden simplificar aún más para obtener

\begin{equation}
\label{tensiond}
T=\frac{(m_m+m_c)(a+g)}{2},
\end{equation}

y

\begin{equation}
\label{normald}
N_m=\frac{(m_m-m_c)(a+g)}{2}.
\end{equation}

Para el primer caso, la aceleración es \(a = 0.2 \, \text{m/s}^2\) y es hacia arriba, por lo tanto, es positivo. Usando el resto de los valores numéricos en ecuaciones \eqref{tensiond} y \eqref{normald}, obtenemos

\begin{equation}
T=\frac{(80\,\text{kg}+10\,\text{kg})(0.2\,\text{m/s}^2+9.8\,\text{m/s}^2)}{2},
\end{equation}

Es decir,

\begin{equation}
T=450\,\text{N}.
\end{equation}

Para la fuerza de contacto, encontramos

\begin{equation}
N_m=\frac{(80\,\text{kg}-10\,\text{kg})(0.2\,\text{m/s}^2+9.8\,\text{m/s}^2)}{2},
\end{equation}

es decir,

\begin{equation}
N_m=350\,\text{N}.
\end{equation}

b) En este caso la aceleración es hacia abajo, lo cual es negativo según nuestro sistema. Entonces podemos usar \(a = -1 \, \text{m/s}^2 \) en ecuaciones \eqref{tensiond} y \eqref{normald} para obtener

\begin{equation}
T=\frac{(80\,\text{kg}+10\,\text{kg})(-1\,\text{m/s}^2+9.8\,\text{m/s}^2)}{2}.
\end{equation}

Esto produce

\begin{equation}
T=396\,\text{N}.
\end{equation}

Y para la fuerza de contacto, encontramos

\begin{equation}
N_m=\frac{(80\,\text{kg}-10\,\text{kg})(1\,\text{m/s}^2+9.8\,\text{m/s}^2)}{2},
\end{equation}

es decir,

\begin{equation}
N_m=308\,\text{N}.
\end{equation}

c) Si la mujer y la silla se mueven hacia arriba a velocidad constante, entonces la aceleración es cero, entonces \(a = 0 \, \text{m/s}^2 \). Usando ecuaciones \eqref{tensiond} y \eqref{normald}, obtenemos

\begin{equation}
T=\frac{(80\,\text{kg}+10\,\text{kg})(0\,\text{m/s}^2+9.8\,\text{m/s}^2)}{2},
\end{equation}

\begin{equation}
T=441\,\text{N}.
\end{equation}

Y para la fuerza de contacto, encontramos

\begin{equation}
N_m=\frac{(80\,\text{kg}-10\,\text{kg})(0\,\text{m/s}^2+9.8\,\text{m/s}^2)}{2},
\end{equation}

lo que resulta en

\begin{equation}
N=343\,\text{N}.
\end{equation}

Observe que a medida que la mujer y la silla aceleran hacia arriba, tanto la tensión como la fuerza de contacto son mayores que si la mujer se moviera a rapidez constante. Asimismo, a medida que la mujer acelera hacia abajo, la tensión y la fuerza de contacto son menores que las calculadas cuando la aceleración era cero.

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