¡Gas ideal en un ciclo desconocido!

a) Use los detalles dados para dibujar el gráfico. Utilice la ley de los gases ideales en caso de que necesite algo de las variables dadas.

b) Utilice la definición de trabajo y sume todos los trabajos encontrados.

a) La ley de los gases ideales establece:

\begin{equation*}
PV=nRT,
\end{equation*}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

donde los volúmenes están relacionados como:

\begin{equation*}
V_1 = V_2 \text{; } V_3 = V_4 \text{ and } V_3 = 3V_1.
\end{equation*}

Las temperaturas están relacionadas como:

\begin{equation*}
T_1 = T_4 \text{ and } T_2 = T_3.
\end{equation*}

La presión para los puntos 3 y 4 es:

\begin{equation*}
P_4 = \frac{ P_3 }{2}
\end{equation*}

b) La definición de trabajo es:

\begin{equation*}
W=\int_{V_i}^{V_f}P dV,
\end{equation*}

donde es fácil ver que \(W_{1\to2} = W_{3\to4} = 0\). Entonces:

\begin{equation*}
W_{2\to3}=2 nRT_1 \ln (3),
\end{equation*}

y

\begin{equation*}
W_{4\to1}=- nRT_1 \ln (3).
\end{equation*}

El trabajo total es la suma de todos los trabajos encontrados anteriormente. Finalmente, obtenemos:

\begin{equation*}
W_{\text{cycle}}= nRT_1 \ln (3),
\end{equation*}

que con valores numéricos es:

\begin{equation*}
W_{\text{cycle}} \approx 6393.7 \, \text{J}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

[/mepr-show]

a) El problema nos pide que dibujemos un diagrama del proceso, indicando las variables que se conocen. Primero, vamos a dibujar el diagrama de cada proceso para completar el ciclo en un gráfico de presión-volumen. Justificaremos la forma de cada proceso utilizando la ley de los gases ideales.

\begin{equation}
\label{idealg}
PV=nRT,
\end{equation}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

donde \(P\) es la presión absoluta en el gas, \(V\) su volumen, \(n\) el número de moles, \(T\) la temperatura absoluta y \(R\) la constante del gas ideal.

En todo el proceso, el número de moles no cambia, por lo que \(n\) es una constante en todos los puntos.

Si nuestro punto de partida es 1, entonces a medida que aumenta la temperatura, la presión aumenta con volumen constante hasta llegar al punto 2, como se puede ver en la ecuación \eqref{idealg} . Si \(V\) es constante y \(nR\) también es constante, entonces la presión es directamente proporcional a la temperatura

\begin{equation}
\label{pt}
P\propto T.
\end{equation}

Posteriormente, se produce una expansión isotérmica hasta llegar al punto 3, disminuyendo así la presión y aumentando el volumen, como se puede ver en la ecuación \eqref{idealg} . Si la temperatura \(T\) es constante y \(nR\) también es constante, entonces la presión es inversamente proporcional al volumen

\begin{equation}
\label{pv}
P\propto\frac{1}{V}.
\end{equation}

Del punto 3 al punto 4, tenemos una disminución de temperatura a volumen constante, por lo que la presión debe disminuir de acuerdo con la ecuación \eqref{pt} .

Finalmente, desde el punto 4 de nuevo al punto 1 tenemos una compresión isotérmica, lo que significa que la temperatura es constante y a medida que el volumen disminuye, la presión aumenta, como se ve en la relación de proporcionalidad de la ecuación \eqref{pv} ; así, obtenemos el diagrama que se muestra en la figura 1.

Para encontrar las relaciones entre las variables, debemos usar la ley de los gases ideales dada en la ecuación \eqref{idealg} . Si denotamos con un subíndice (1,2,3,4), cada variable de estado, entonces para el punto 1 podemos escribir

\begin{equation}
\label{ideal1}
P_1V_1=nRT_1,
\end{equation}

donde la única incógnita es el volumen que se puede resolver desde \eqref{ideal1} para obtener

\begin{equation}
V_1=\frac{nRT_1}{P_1}.
\end{equation}

Entre los puntos 1 y 2 el volumen no cambia, por lo tanto

\begin{equation}
\label{v12}
V_1=V_2.
\end{equation}

En el punto 2 no conocemos la presión o la temperatura, por lo que no vamos a escribir alguna relación todavía. Entre los puntos 2 y 3 hay un proceso isotérmico, las temperaturas deben ser las mismas, es decir

\begin{equation}
T_2=T_3.
\end{equation}

Además, el problema establece que el volumen en el punto 3 es tres veces mayor que el volumen en el punto 1; luego,

\begin{equation}
\label{v31}
V_3=3V_1.
\end{equation}

Del punto 3 al punto 4 el gas no cambia su volumen; luego,

\begin{equation}
\label{v34}
V_3=V_4.
\end{equation}

Además, el problema dice que la presión se reduce a la mitad entre los puntos 3 y 4; luego,

\begin{equation}
\label{p34}
P_4=\frac{P_3}{2}.
\end{equation}

Finalmente, del punto 4 al punto 1 tenemos un proceso isotérmico; por tanto, la temperatura en estos dos puntos debe ser la misma. Explícitamente,

\begin{equation}
\label{t41}
T_4=T_1.
\end{equation}

b) Calcular el trabajo realizado por el gas \(W_{\text{cycle}}\) en un ciclo 1-2-3-4-1, podemos calcular el trabajo de cada proceso por separado y luego sumarlo; por lo tanto,

\begin{equation}
\label{workcycle}
W_{\text{cycle}}=W_{1\to2}+W_{2\to3}+W_{3\to4}+W_{4\to1}.
\end{equation}

Cada trabajo se calculará mediante la siguiente expresión

\begin{equation}
\label{workexp}
W=\int_{V_i}^{V_f}P dV,
\end{equation}

donde la integral se toma entre un volumen inicial \(V_i\) y un volumen final \(V_f\).

Comenzaremos calculando el término \(W_{1\to2}\) con la ecuación \eqref{workexp} . Explícitamente,

\begin{equation}
\label{int12}
W_{1\to2}=\int_{V_1}^{V_2}P dV.
\end{equation}

Porque, según la ecuación \eqref{v12} , los volúmenes son iguales; entonces, la integral en la ecuación \eqref{int12} es cero porque los límites inferior y superior son iguales, no se produce ningún cambio en el volumen \(dV \to 0\).

\begin{equation}
\label{work12}
W_{1\to2}=0.
\end{equation}

Ahora, calculemos \(W_{2\to3}\), usando \eqref{workexp} obtenemos

\begin{equation}
\label{int23}
W_{2\to3}=\int_{V_2}^{V_3}PdV.
\end{equation}

Usando la ley de los gases ideales \eqref{idealg} para resolver la presión \(P\), obtenemos

\begin{equation}
\label{idealP}
P=\frac{nRT}{V}.
\end{equation}

Usando la expresión en la ecuación \eqref{idealP} en la integral dada en la ecuación \eqref{int23} , obtenemos

\begin{equation}
\label{w23}
W_{2\to3}=\int_{V_2}^{V_3}\frac{nRT}{V}dV.
\end{equation}

Podemos sacar los términos constantes de la integral en la ecuación \eqref{w23} para obtener

\begin{equation}
\label{w231}
W_{2\to3}=nRT\int_{V_2}^{V_3}\frac{dV}{V}.
\end{equation}

Realizando la integral en la ecuación \eqref{w231} , obtenemos

\begin{equation}
\label{w232}
W_{2\to3}=nRT\ln\left(\frac{V_3}{V_2}\right),
\end{equation}

donde la temperatura \(T\) en la ecuación \eqref{w232} puede ser \(T_2\) o \(T_3\) porque son iguales. Entonces, podemos escribir explícitamente

\begin{equation}
\label{w233}
W_{2\to3}=nRT_3\ln\left(\frac{V_3}{V_2}\right).
\end{equation}

Usando la relación dada en las ecuaciones \eqref{v12} y \eqref{v31} , podemos reemplazar \(V_2\) y \(V_3\) en términos de \(V_1\) en la ecuación \eqref{w233} , es decir

\begin{equation}
\label{234}
W_{2\to3}=nRT_3\ln\left(\frac{3V_1}{V_1}\right)=nRT_3\ln(3),
\end{equation}

donde hemos cancelado el término \(V_1\). Ahora, usando la ley de los gases ideales de la ecuación \eqref{idealg} para el punto 3 podemos reemplazar el término \(nRT_3\) en la ecuación \eqref{234} por \(P_3V_3\), obteniendo así

\begin{equation}
W_{2\to3}=P_3V_3\ln(3).
\end{equation}

Para expresar este trabajo en valores conocidos dados por el problema, usaremos algunas relaciones deducidas en el inciso a). Primero usamos la ecuación \eqref{p34} para escribir \(P_3=2P_4\) y luego

\begin{equation}
\label{work23}
W_{2\to3}=2P_4V_3\ln(3).
\end{equation}

Usando la ecuación \eqref{v34} , podemos reemplazar \(V_3\) por \(V_4\) en la ecuación \eqref{work23} , obteniendo

\begin{equation}
\label{work232}
W_{2\to3}=2P_4V_4\ln(3).
\end{equation}

Ahora, encontraremos una expresión para \(P_4V_4\) en términos de variables conocidas. Usando la ley de los gases ideales, podemos resolver la temperatura para obtener la expresión

\begin{equation}
T=\frac{PV}{nR}.
\end{equation}

Usando la expresión anterior en la relación dada en el lado izquierdo de la ecuación \eqref{t41} para escribir

\begin{equation}
\frac{P_4V_4}{nR}=T_1,
\end{equation}

que, después de resolver \(P_4V_4\), se convierte en

\begin{equation}
\label{p4}
P_4V_4=nRT_1.
\end{equation}

Ahora, usamos el resultado para \(P_4V_4\) dado en la ecuación \eqref{p4} en la ecuación \eqref{work232} para obtener

\begin{equation}
\label{work23f}
W_{2\to3}=2nRT_1\ln(3),
\end{equation}

que se da enteramente en términos de variables conocidas.

Ahora, pasemos a calcular \(W_ {3\to4}\) usando la definición dada en la ecuación \eqref{workexp} , es decir

\begin{equation}
W_{3\to4}=\int_{V_3}^{V_4}PdV.
\end{equation}

Una vez más, debido a que no hay cambio en el volumen \(dV\to0\), el límite inferior y superior de la integral son iguales, por lo que el trabajo realizado es cero. Explícitamente,

\begin{equation}
\label{work34}
W_{3\to4}=0.
\end{equation}

Finalmente, calculamos \(W_ {4\to1}\) usando la definición de la ecuación \eqref{workexp} :

\begin{equation}
W_{4\to1}=\int_{V_4}^{V_1}PdV.
\end{equation}

Usando la expresión para \(P\) dada en la ecuación \eqref{idealP} , podemos calcular

\begin{equation}
\label{w41}
W_{4\to1}=\int_{V_4}^{V_1}\frac{nRT}{V}dV.
\end{equation}

Debido a que el proceso \(4\to1\) es isotérmico, la temperatura es constante en todo el proceso; así, podemos sacar las constantes fuera de la integral de la ecuación \eqref{w41} . Explícitamente,

\begin{equation}
\label{w41a}
W_{4\to 1}=nRT\int_{V_4}^{V_1}\frac{dV}{V},
\end{equation}

donde \(T\) puede ser \(T_1\) o \(T_4\). Por conveniencia, tomemos \(T=T_1\), la variable conocida. Realizando la integral en la ecuación \eqref{w41a}, obtenemos

\begin{equation}
\label{w41b}
W_{4\to1}=nRT_1\ln\left(\frac{V_1}{V_4}\right).
\end{equation}

De las ecuaciones \eqref{v31} y \eqref{v34} podemos deducir que \(V_4=3V_1\). Usando esto en la ecuación \eqref{w41b}, obtenemos

\begin{equation}
W_{4\to1}=nRT_1\ln\left(\frac{V_1}{3V_1}\right),
\end{equation}

que, después de cancelar \(V_1\), se convierte en

\begin{equation}
W_{4\to1}=nRT_1\ln\left(\frac{1}{3}\right).
\end{equation}

Usando las propiedades de los logaritmos, podemos reescribir la expresión para \(W_{4\to1}\) como

\begin{equation}
\label{work41}
W_{4\to1}=-nRT_1\ln(3).
\end{equation}

Poner todas las expresiones para el trabajo en cada proceso dadas por las ecuaciones \eqref{work12} , \eqref{work23f} , \eqref{work34} y \eqref{work41} en la ecuación \eqref{workcycle} , tenemos

\begin{equation}
W_{\text{cycle}}=0+2nRT_1\ln(3)+0-nRT_1\ln(3),
\end{equation}

que se reduce a

\begin{equation}
W_{\text{cycle}}=nRT_1\ln(3).
\end{equation}

Usando los valores numéricos, tenemos que

\begin{equation}
W_{\text{cycle}}=(2\,\text{mol})(8.314\,\text{J/mol K})(350\,\text{K})\ln(3),
\end{equation}

\begin{equation}
W_{\text{cycle}}\approx 6393.7\,\text{J}.
\end{equation}

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