Trofeo deslizante!

La fuerza máxima de fricción estática es:

\begin{equation*}
fr_{max} = \mu N.
\end{equation*}

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La segunda ley de Newton a lo largo del eje \({x-} \) produce:

\begin{equation*}
mg \sin \theta – fr_{max}=0,
\end{equation*}

y la segunda ley de Newton a lo largo del eje \({y-} \) produce:

\begin{equation*}
N-mg\cos \theta=0.
\end{equation*}

Despejando \(\mu \) en la primera ecuación y luego usando las expresiones para \(fr_{max} \) y \(N \) de la segunda y tercera ecuación respectivamente, obtenemos:

\begin{equation*}
\tan \theta = \mu,
\end{equation*}

lo que da

\begin{equation*}
\theta = \arctan ( \mu ).
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

 

 

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Para encontrar el ángulo máximo \(\theta \) que el estante puede formar con el piso antes de que el trofeo comience a deslizarse, necesitamos relacionar ese ángulo con otras variables conocidas como \(\mu \) y \(g \). Para encontrar la relación entre estas variables, es útil comenzar con un diagrama de cuerpo libre que represente todas las fuerzas conocidas. Primero, elijamos un sistema de coordenadas. Como es común con los planos inclinados, usaremos una coordenada donde el eje \({x-} \) apunta a lo largo de la dirección del movimiento, y \({y} \) es perpendicular a la superficie (ver Figura 1).

 

Figura 1: Elegimos el sistema de coordenadas con la misma inclinación que el estante roto con el eje X apuntando hacia abajo del estante inclinado y el eje Y perpendicular al mismo.

 

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Hay tres fuerzas que actúan sobre el trofeo: el peso (que es vertical y hacia abajo), la fuerza normal (que es perpendicular a la superficie) y la fuerza debida a la fricción estática (que se opone a la tendencia del trofeo a moverse debido al peso). .) En este caso, el trofeo tiende a deslizarse a lo largo del eje \({x-}\) positivo debido a la componente \({x-} \) del peso, por lo que la fuerza debida a la fricción estática apunta en la dirección del eje \({x-} \), como se muestra en la Figura 2.

 

Figura 2: diagrama de cuerpo libre para el trofeo con las siguientes fuerzas mostradas: la fuerza de contacto con el estante \(N \), la fricción \(f_r \) y el peso \(W \).

 

En general, no existe una ecuación única para la fuerza debida a la fricción estática, ya que la fuerza debida a la fricción puede variar mucho. Por ejemplo, si el ángulo del estante es muy pequeño, el trofeo no se deslizará mucho. Por lo tanto, se necesita poca fricción para contrarrestar la tendencia a deslizarse del trofeo; por otro lado, a medida que aumenta el ángulo, más fuerte es la componente \({x-} \) del peso, que corresponde a un mayor potencial de deslizamiento. En ese caso, para evitar que el trofeo se deslice, el coeficiente de fricción estática debe ser alto. En este problema, queremos encontrar el ángulo máximo antes de que se deslice el trofeo. Por tanto, debemos considerar la máxima fricción estática posible. Esta fricción viene dada por

\begin{equation}
\label{Trophy_friccion}
fr_{max} = \mu N,
\end{equation}

donde \(\mu \) es el coeficiente de fricción estática y \(N \) la magnitud de la fuerza normal. De esto, obtenemos

\begin{equation}
\label{Trophy_mu}
\frac{fr_{max}}{N} = \mu
\end{equation}

Para encontrar el coeficiente de fricción estática, necesitamos encontrar \(fr_{max} \) y \(N\). Para \(fr_{max} \), podemos usar las ecuaciones a lo largo de \({x} \). Según el diagrama de cuerpo libre, hay dos fuerzas en ela dirección \({x-} \) dirección: la fuerza debida a la fricción estática (que es negativa) y la componente \({x-} \) del peso que es positiva:

\begin{equation}
W_x \, \hat{\textbf{i}} – fr_{max} \, \hat{\textbf{i}} = m a_x \, \hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Ahora bien, una condición importante en el mensaje es que el trofeo no se deslice. Esto significa que podemos establecer que \(a_x \) es 0:

\begin{equation}
W_x \, \hat{\textbf{i}} – fr_{max} \, \hat{\textbf{i}} = 0 \, \hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Además, podemos utulizar, del diagrama, que \(W_x = W \sin \theta \). Si usamos esto y nos enfocamos en las magnitudes, obtenemos

\begin{equation}
\label{Trophy_friccionParaReemplazar}
W \sin \theta = fr_{max},
\end{equation}

Lo último que necesitamos encontrar para poder usar la ecuación \eqref{Trophy_mu} es \(N \). Para hacerlo, considere nuevamente el diagrama de cuerpo libre. Solo hay dos fuerzas a lo largo del eje \({y} \): las componentes \({y-} \) del peso (que es negativo) y la fuerza normal (que es positiva). Por eso,

\begin{equation}
N \, \hat{\textbf{j}} – W_y \, \hat{\textbf{j}} = m a_y \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Pero no hay aceleración en la dirección \({y-} \), y así

\begin{equation}
N \, \hat{\textbf{j}} – W_y \, \hat{\textbf{j}} = 0 \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

En el diagrama de cuerpo libre vemos que \(W_y = W \cos \theta \). Si usamos eso y nos enfocamos en las magnitudes, obtenemos

\begin{equation}
N – W \cos \theta = 0,
\end{equation}

escrito más claramente como

\begin{equation}
N = W \cos \theta.
\end{equation}

Finalmente podemos usar este resultado junto con \eqref{Trophy_friccionParaReemplazar} en la ecuación \eqref{Trophy_mu}:

\begin{equation}
\frac{W \sin \theta}{W \cos \theta} = \mu,
\end{equation}

que es igual a

\begin{equation}
\tan \theta = \mu.
\end{equation}

O explícitamente,

\begin{equation}
\theta = \arctan ( \mu ).
\end{equation}

Este ángulo se conoce como ángulo crítico (es crítico porque cualquier ángulo mayor que este hará que el objeto se deslice). ¡Observe que no depende de la masa del objeto!

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