¡Gas ideal en un ciclo adiabático!

a) Utilice la ley de los gases ideales para obtener los estados que faltan. Tenga cuidado con el proceso adiabático ya que la relación de estados se modifica ligeramente.

b) Utilice la definición de trabajo y energía interna para obtener esas variables. Luego, use la primera ley termodinámica para obtener el calor.

c) Sume todos los trabajos realizados por cada proceso.

d) Utilice directamente la fórmula de eficiencia con los valores encontrados en b) y c).

a) La ley de los gases ideales establece:

\begin{equation*}
PV = nRT,
\end{equation*}

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Estado B: Con los valores dados, despejando \(V_B\) obtenemos:

\begin{equation*}
V_B = 0.022 \, \text{m}^3.
\end{equation*}

Estado A: El volumen es el mismo que en A. Entonces:

\begin{equation*}
V_A = 0.022 \, \text{m}^3.
\end{equation*}

Resolviendo \(T_A\) a partir de la ley de los gases ideales obtenemos:

\begin{equation*}
T_A = 133.3 \, \text{K}.
\end{equation*}

Estado C: Para un proceso adiabático:

\begin{equation*}
P_B V_B^{\gamma} = P_C V_C^{\gamma}.
\end{equation*}

Resolviendo para \(V_C\) obtenemos:

\begin{equation*}
V_C = \left(\frac{P_B}{P_C} \right)^{\frac{1}{\gamma}} V_B,
\end{equation*}

que con valores numéricos es:

\begin{equation*}
V_C = 0.049 \, \ \text{m}^3.
\end{equation*}

Resolviendo \(T_C\) a partir de la ley de los gases ideales obtenemos:

\begin{equation*}
T_C = 292.2 \, \text{K}.
\end{equation*}

b) La definición de trabajo es:

\begin{equation*}
W = \int_{V_i}^{V_f} P dV.
\end{equation*}

El cambio de energía interna es:

\begin{equation*}
\Delta U = \frac{5}{2} nR \Delta T.
\end{equation*}

La primera ley de la termodinámica establece:

\begin{equation*}
\Delta U = Q – W.
\end{equation*}

Usando esas ecuaciones para cada proceso obtenemos:

Proceso A \(\rightarrow\) B.

\begin{equation*}
\Delta U_{A \rightarrow B} = 11086\, \text{J}.
\end{equation*}

\begin{equation*}
W_{A \rightarrow B} = 0.
\end{equation*}

\begin{equation*}
Q_{A \rightarrow B} = 11086\, \text{J}.
\end{equation*}

Proceso B \(\rightarrow\) C.

\begin{equation*}
\Delta U_{B \rightarrow C} = -4481.5\, \text{J}.
\end{equation*}

\begin{equation*}
W_{B \rightarrow C} = 4481.5\, \text{J}.
\end{equation*}

\begin{equation*}
Q_{B \rightarrow C} = 0.
\end{equation*}

Proceso C \(\rightarrow\) A.

\begin{equation*}
\Delta U_{C \rightarrow A} = -6604.5\, \text{J}.
\end{equation*}

\begin{equation*}
W_{C \rightarrow A} = -2700 \, \text{J}.
\end{equation*}

\begin{equation*}
Q_{C \rightarrow A} = -9304\, \text{J}.
\end{equation*}

c) Por la suma de los tres trabajos encontrados en b) obtenemos:

\begin{equation*}
W_{ \text{Total}} = 1782 \, \text{J}.
\end{equation*}

d) La eficiencia se puede escribir como:

\begin{equation*}
\epsilon = \frac{W_{ \text{Total}}}{Q_{\text{abs}}}.
\end{equation*}

Ya se encontró el trabajo total. El calor absorbido es \(Q_{A \rightarrow B}\). Entonces:

\begin{equation*}
\epsilon = 0.16.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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Sea \(n = 2\) el número de moles de gas. Además, sea \(P_0 = 10^{5}\ \text{Pa}\) sea la presión en los estados A y C.

a) Algunas de las variables de estado (presión, volumen y temperatura) ya están dadas en el problema de la figura. Podemos encontrar el resto utilizando la ley de los gases ideales y las relaciones entre las variables de estado para un proceso adiabático.

La ley de los gases ideales establece que para n moles de un gas ideal, su presión \(P\), volumen \(V\) y temperatura \(T\) están relacionados por la ecuación:

\begin{equation}
\label{EQ:GAS}
PV = nRT,
\end{equation}

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donde R es la constante del gas ideal. Consideremos cada estado por separado.

Estado B: Se nos da la temperatura \(T_B = 400 \ \text{K}\) y la presión \(P_B = 3 P_0 = 3\cdot 10^5 \) Pa. Si dividimos la ecuación. \eqref{EQ:GAS} por \(P\), encontramos que el volumen de un gas ideal está dado por

\begin{equation}
\label{EQ:V}
V = \frac{nRT}{P},
\end{equation}

y sustituyendo \(T_B\) y \(P_B\) obtenemos

\begin{equation}
\label{EQ:VB}
V_B = \frac{nRT_B}{P_B}
= \frac{nRT_B}{3P_0}
= \left(2 \, \text{mol}\right) \left(8.3145 \, \frac{{\text{J}}}{\text{mol} \, \text{K}}\right)\frac{400 \ \ \text{K}}{3\times10^5 \ \text{Pa}}
= 0.022 \, \text{m}^3.
\end{equation}

Estado A: Mirando el problema de la figura, sabemos que \(P_A = P_0 = 10^5\) Pa. Además, podemos notar que \(V_A\) = \(V_B\). Por tanto, de la ecuación. \eqref{EQ:VB} , obtenemos

\begin{equation}
\label{EQ:VA}
V_A = \frac{nRT_B}{3P_0}
= 0.022 \, \text{m}^3,
\end{equation}

y ahora podemos encontrar la temperatura \(T_A\) usando la ley de los gases ideales. Si dividimos la ecuación. \eqref{EQ:GAS} por \(nR\), obtenemos que la temperatura para un gas ideal está dada por

\begin{equation}
\label{EQ:T}
T = \frac{PV}{nR}.
\end{equation}

Sustituyendo la ecuación \eqref{EQ:VA} y \(P_A = P_0\) obtenemos

\begin{equation}
\label{EQ:TA}
T_A = P_0 \frac{nRT_B}{3P_0}\frac{1}{nR}
= \frac{T_B}{3}
= \frac{400 \, \text{K}}{ 3} = 133.3 \, \text{K}.
\end{equation}

Estado C: Para este estado, solo sabemos que \(P_B = P_0\). Dado que el proceso \(B \rightarrow C\) es adiabático, se entiende que

\begin{equation}
PV^{\gamma} = \text{constant},
\end{equation}

donde \(\gamma = \frac{7}{5}\) para un gas diatómico. Esta relación se mantiene durante todo el proceso adiabático. En particular, si comparamos los estados B y C, obtenemos

\begin{equation}
P_B V_B^{\gamma} = P_C V_C^{\gamma}.
\end{equation}

La única variable que no conocemos en esta ecuación es \(V_C\), así que resolvamos para ésta. Si dividimos por \(P_C\), obtenemos

\begin{equation}
V_C^{\gamma} = \frac{P_B}{P_C} V_B^{\gamma},
\end{equation}

y si elevamos ambos lados a la \(\frac{1}{\gamma}\) potencia, obtenemos

\begin{equation}
\left(V_C^{\gamma}\right)^{\frac{1}{\gamma}} = \left(\frac{P_B}{P_C} V_B^{\gamma}\right)^{\frac{1}{\gamma}},
\end{equation}

que podemos escribir de forma equivalente como

\begin{equation}
V_C^{\gamma \frac{1}{\gamma}} = \left(\frac{P_B}{P_C}\right)^{\frac{1}{\gamma}} V_B^{\gamma \frac{1}{\gamma}}.
\end{equation}

Finalmente, \(\gamma \frac{1}{\gamma} = 1\). Por lo tanto,

\begin{equation}
V_C = \left(\frac{P_B}{P_C} \right)^{\frac{1}{\gamma}} V_B.
\end{equation}

Ahora, del problema de la figura \(P_B = 3 P_0, P_C = P_0\). Por eso,

\begin{equation}
V_C = \left(3 \frac{P_0 }{P_0} \right)^{\frac{1}{\gamma}} V_B = 3^{\frac{1}{\gamma}} V_B,
\end{equation}

y sustituyendo la ecuación \eqref{EQ:VB} obtenemos

\begin{equation}
\label{EQ:VC}
V_C = 3^{\frac{1}{\gamma}} \frac{nRT_B }{3P_0}
= 3^{\frac{5}{7}} \left(2\ \text{mol}\right)\left(8.3145\ \frac{\text{J} }{\text{mol} \ \text{K}}\right)\frac{400 \ \text{K}}{3\times10^5 \ \ \text{Pa}}
= 0.049 \ \, \text{m}^3.
\end{equation}

Ahora podemos usar la ley de los gases ideales para encontrar la temperatura. Si dividimos la ecuación. \eqref{EQ:GAS} por \(nR\), obtenemos

\begin{equation}
T = \frac{PV}{nR},
\end{equation}

En particular, en el estado C, tenemos

\begin{equation}
T_C = \frac{P_CV_C}{nR},
\end{equation}

y sustituyendo \(P_C = P_0\) y la ecuación \eqref{EQ:VC} se cumple que

\begin{equation}
\label{EQ:TC}
T_C = \frac{P_0}{nR} 3^{\frac{1}{\gamma}} \frac{nRT_B }{3P_0} = 3^{\frac{1}{\gamma}} \frac{T_B}{3} = 3^{\frac{1}{\gamma}} 3^{-1} T_B
= 3^{\frac{1}{\gamma} -1} T_B
= 3^{\frac{5}{7} – 1}(400 \, \text{K})
= 292.2 \, \text{K}.
\end{equation}
b) Podemos encontrar la energía interna de cada estado directamente a partir de las temperaturas encontradas en el inciso a usando el teorema de equipartición. Luego, podemos usar estas energías internas para encontrar el cambio en la energía interna durante cada proceso. A continuación, podemos usar el área bajo la curva del diagrama PV para encontrar el trabajo realizado por el gas durante cada proceso. Finalmente, podemos usar la primera ley de la termodinámica para encontrar el calor intercambiado durante cada proceso.

Energía interna

El teorema de equipartición establece que para \(n\) moles de un gas en equilibrio, hay una energía interna promedio de \(\frac{1}{2} nRT\) para cada grado de libertad. Un gas diatómico tiene 5 grados de libertad porque para cada molécula hay energía cinética de traslación en tres dimensiones y energía cinética de rotación sobre dos ejes de rotación. Por lo tanto, la energía interna \(U\) de \(n\) moles de un gas diatómico está dada por

\begin{equation}
\label{EQ:U}
U = 5 \left(\frac{1}{2} nRT\right) = \frac{5}{2} nRT.
\end{equation}

Podemos sustituir las temperaturas encontradas en el inciso a en esta ecuación para obtener expresiones para la energía interna en los cuatro estados. Consideremos cada proceso por separado:
Proceso A \(\rightarrow\) B: El cambio en la energía interna se define como

\begin{equation}
\label{EQ:pre_DUAB}
\Delta U_{A \rightarrow B} = U_B – U_A.
\end{equation}

Ahora, de acuerdo con la ecuación. \eqref{EQ:U} , las energías internas \(U_B\) y \(U_A\) están dadas por

\begin{equation}
U_A = \frac{5}{2} nRT_A,
\end{equation}

y

\begin{equation}
U_B = \frac{5}{2} nRT_B.
\end{equation}

Sustituyendo la ecuación \eqref{EQ:TA} y \(T_B = 400 \ \text{K}\) se cumple que

\begin{equation}
\label{EQ:UA}
U_A = \frac{5}{2} nR \frac{T_B}{3} =\frac{5}{6} nR T_B
= 5543\ \text{J} .
\end{equation}

y

\begin{equation}
\label{EQ:UB}
U_B = \frac{5}{2} nR T_B
= \frac{5}{2} \left(2\ \text{mol}\right)\left(8.3145\ \frac{\text{J} }{\text{mol} \ \text{K}}\right)\left(400 \ \text{K}\right)
= 16629\ \text{J} .
\end{equation}

Por lo tanto, al insertar estas ecuaciones en la ecuación. \eqref{EQ:pre_DUAB} obtenemos

\begin{equation}
\label{EQ:DUAB}
\Delta U_{A \rightarrow B} = 16629 \ \text{J} – 5543\ \text{J}
= 11086\ \text{J} .
\end{equation}

Proceso B \(\rightarrow\) C: De la ecuación \eqref{EQ:U} , la energía interna en el estado C es

\begin{equation}
\label{EQ:UC}
U_C = \frac{5}{2} nRT_C
\end{equation}

e insertando la ecuación \eqref{EQ:TC} , obtenemos

\begin{equation}
U_C = \frac{5}{2} \left(2\ \text{mol}\right)\left(8.3145\ \frac{\text{J} }{\text{mol} \ \text{K}}\right) \left(292.2 \ \text{K}\right)
= 12147.5 \ \text{J}
\end{equation}

Por lo tanto, a partir de esta ecuación y la ecuación. \eqref{EQ:UB} , obtenemos que el cambio de energía interna para este proceso es

\begin{equation}
\label{EQ:DUBC}
\Delta U_{B\rightarrow C} = U_C – U_B = 12147.5 \ \text{J} – 16629\ \text{J}
= -4481.5\ \text{J} .
\end{equation}

Proceso C \(\rightarrow\) A: De las ecuaciones \eqref{EQ:UA} y \eqref{EQ:UC} , obtenemos

\begin{equation}
\label{EQ:DUCA}
\Delta U_{C\rightarrow A} = U_A – U_C = 5543 \ \text{J} – 12147.5\ \text{J}
= -6604.5\ \text{J} .
\end{equation}

Trabajo

Ahora calculemos el trabajo realizado durante cada proceso. Se puede demostrar que el trabajo realizado por el gas W durante un proceso es igual al área bajo la curva de la línea que describe el proceso en un diagrama PV. Esto se puede escribir formalmente como

\begin{equation}
\label{EQ:W}
W = \int_{V_i}^{V_f} P dV.
\end{equation}

Consideremos cada proceso por separado.

Proceso A \(\rightarrow\) B: El área bajo la curva descrita por este proceso es cero (es decir, el volumen no cambia durante este proceso), como se puede ver en la figura 1.

Por eso,

\begin{equation}
\label{EQ:WAB}
W_{A \rightarrow B} = 0.
\end{equation}

Estos resultados también se pueden obtener de la ecuación \eqref{EQ:W} porque ambos límites de integración son iguales y, por tanto, la integral es cero.

Proceso B \(\rightarrow\) C: Dado que este proceso es adiabático, tenemos \(Q_{B\rightarrow C} = 0\). Podemos usar este hecho junto con la primera ley de la termodinámica para encontrar el trabajo realizado por el gas.

La primera ley de la termodinámica establece que para una sustancia que se somete a un proceso termodinámico, el cambio en la energía interna es igual al calor \(Q\) absorbido por la sustancia menos el trabajo \(W\) que realiza. Esto se puede escribir como

\begin{equation}
\label{EQ:1LT}
\Delta U = Q – W,
\end{equation}

donde un signo positivo para \(Q\) indica que la sustancia absorbió calor y un signo negativo indica que irradió calor. Del mismo modo, cuando \(W> 0\), la sustancia realizó trabajo durante el proceso, y cuando \(W< 0\), el trabajo fue realizado sobre la sustancia. Resolviendo para \(W\) se obtiene \begin{equation} W = Q – \Delta U, \end{equation} y para este proceso en particular esta ecuación se puede escribir como \begin{equation} W_{B \rightarrow C} = Q_{B\rightarrow C} – \Delta U_{B\rightarrow C}. \end{equation} Ahora, como mencionamos anteriormente, \(Q_{B\rightarrow C} = 0\), y por tanto \begin{equation} W_{B \rightarrow C} = – \Delta U_{B\rightarrow C}. \end{equation} sustituyendo la ecuación \eqref{EQ:DUBC} obtenemos \begin{equation} \label{EQ:WBC} W_{B \rightarrow C} = -(-4481.5\ \text{J} ) = 4481.5\ \text{J} . \end{equation} Como era de esperar, dado que no se transfiere calor, toda la energía interna perdida por el gas se utiliza para trabajar a medida que se expande.

Proceso C \(\rightarrow\) A: Durante este proceso, el volumen cambia de \(V_i = V_C\) a \(V_f = V_A\) a una presión constante de \(P_0\).

Por tanto, de la ecuación. \eqref{EQ:W} obtenemos \begin{equation} W_{C \rightarrow A} = \int_{V_C}^{V_A} P_0 dV = P_0 \int_{V_C}^{V_A} dV = P_0 V|_{V_C}^{V_A} = P_0 (V_A – V_C), \end{equation} y sustituyendo \(P_0 = 10^5 \ \ \text{Pa}\) en la ecuación \eqref{EQ:VA} y la ecuación \eqref{EQ:VC} se cumple que \begin{equation} \label{EQ:WCA} W_{C \rightarrow A} = (10^5 \ \ \text{Pa}) ((0.022 \ \text{m}^3) – (0.049 \ \text{m}^3)) = -2700\ \text{J} . \end{equation}

Calor

Ahora deberíamos encontrar el calor intercambiado durante los tres procesos. Dado que ya hemos encontrado el trabajo y el cambio en la energía interna de todos los procesos, podemos encontrar fácilmente el calor intercambiado utilizando la primera ley de la termodinámica. Resolviendo para \(Q\) en la ecuación. \eqref{EQ:1LT} se cumple que \begin{equation} \label{EQ:1LT_Q} Q = \Delta U + W. \end{equation} apliquemos esta ecuación a cada proceso

Proceso A \(\rightarrow\) B: Sustituyendo las ecuaciones \eqref{EQ:DUAB} y \eqref{EQ:WAB} en la ecuación \eqref{EQ:1LT_Q} obtenemos \begin{equation} \label{EQ:QAB} Q_{A\rightarrow B} = 11086 \ \text{J} + 0 = 11086\ \text{J} . \end{equation}

Proceso B \(\rightarrow\) C: Este proceso es adiabático. Por lo tanto, \begin{equation} \label{EQ:QBC} Q_{B\rightarrow C} = 0. \end{equation}

Proceso C \(\rightarrow\) A: Sustituyendo las ecuaciones \eqref{EQ:DUCA} y \eqref{EQ:WCA} en la ecuación \eqref{EQ:1LT_Q} obtenemos \begin{equation} \label{EQ:QCA} Q_{C\rightarrow A} = -6604 \ \text{J} + (-2700\ \text{J} ) = -9304\ \text{J} . \end{equation}

c) El trabajo total W realizado por el gas durante un ciclo es simplemente la suma de los trabajos realizados por el gas durante cada proceso. Esto se puede escribir como \begin{equation} W_{\text{Total}} = W_{A\rightarrow B} + W_{B\rightarrow C} + W_{C\rightarrow A}, \end{equation} y sustituyendo las ecuaciones \eqref{EQ:WAB}, \eqref{EQ:WBC}y \eqref{EQ:WCA} obtenemos \begin{equation} \label{EQ:WTOTAL} W = 0 + 4482 \ \text{J} + (-2700 \ \text{J}) = 1782\ \text{J} . \end{equation}

d) La eficiencia \(\epsilon\) de un motor que realiza un ciclo termodinámico se define como el trabajo neto realizado \(W\) dividido por el calor absorbido por el gas \(Q_{\text{abs}}\). Esto podemos escribirlo como: \begin{equation} \label{EQ:EFF} \epsilon = \frac{W}{Q_{\text{abs}}}. \end{equation} En este caso, W viene dado por la ecuación. \eqref{EQ:WTOTAL}. Para encontrar \(Q_{\text{abs}}\), debemos identificar en qué procesos el gas absorbió calor y sumar la cantidad de calor absorbido en cada uno de estos procesos. De las ecuaciones \eqref{EQ:QAB}, \eqref{EQ:QBC} y \eqref{EQ:QCA}, podemos notar que \(Q_{A\rightarrow B} > 0, Q_{B\rightarrow C} = 0\) y \(Q_{C \rightarrow A} < 0\). Como se explicó en la parte (b), definimos nuestras convenciones de signos de modo que \(Q> 0\) indica que el gas absorbió calor. Por lo tanto,

\begin{equation}
Q_{\text{abs}} = Q_{A\rightarrow B},
\end{equation}

e insertando la ecuación \eqref{EQ:QAB} obtenemos

\begin{equation}
Q_{\text{abs}} = 11086\ \text{J} .
\end{equation}

Por lo tanto, sustituyendo esta ecuación y la ecuación. \eqref{EQ:WTOTAL} en la ecuación \eqref{EQ:EFF} se cumple que

\begin{equation}
\epsilon = \frac{W_{ \text{Total}}}{Q_{\text{abs}}} = \frac{1782\ \text{J}}{11086\ \text{J}}
= 0.16 = 16.1 \%.
\end{equation}

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