¡Partícula en un campo eléctrico uniforme!

a) Calcule el tiempo que le toma al protón recorrer la distancia horizontal y luego calcule su aceleración en la dirección \({y-} \). Utilice la segunda ley de Newton para encontrar el campo eléctrico.

b) Recuerde que la carga de un electrón es solo la carga negativa de un protón, por lo que las ecuaciones serán las mismas ({excepto por un cambio de signo} \). Encuentre el desplazamiento horizontal del electrón.

a) En la dirección \({x-} \), tenemos:

\begin{equation*}
x_f-x_i=v_{0x}t.
\end{equation*}

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En la dirección \({y-} \), tenemos:

\begin{equation*}
y_f\,\hat{\textbf{j}}-y_i\,\hat{\textbf{j}}=v_{0y} t \,\hat{\textbf{j}}+\frac{1}{2}a_yt^2 \,\hat{\textbf{j}},
\end{equation*}

Sustituyendo el tiempo y despejando \(a \), obtenemos:

\begin{equation*}
a = \frac{2(y_f – y_i) v_{0x}^2}{ (x_f-x_i)^2 }.
\end{equation*}

Usando la segunda ley de Newton, obtenemos:

\begin{equation*}
qE = ma,
\end{equation*}

donde, despejando \(E \) y reemplazando la aceleración encontrada anteriormente, obtenemos:

\begin{equation*}
E = \frac{2m(y_f – y_i) v_{0x}^2}{ q (x_f-x_i)^2 },
\end{equation*}

que con valores numéricos da:

\begin{equation*}
E \approx 5.36 \times 10^{4} \, \text{N/C}.
\end{equation*}

b) La aceleración es:

\begin{equation*}
a = \frac{e}{m} E.
\end{equation*}

Usando la ecuación cinemática para la posición a lo largo del eje \({y-} \), obtenemos:

\begin{equation*}
y_f-y_i=\frac{1}{2} \frac{e}{m} E t^2,
\end{equation*}

donde, despejando \(t \), obtenemos:

\begin{equation*}
t=\sqrt{\frac{2m(y_f-y_i)}{eE}}.
\end{equation*}

Reemplazando el tiempo en la ecuación de desplazamiento horizontal, tenemos:

\begin{equation*}
d=x_i+v_{0x}\sqrt{\frac{2m(y_f-y_i)}{eE}},
\end{equation*}

que, con valores numéricos, nos da:

\begin{equation*}
d=7\times 10^{-3}\,\text{m}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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a) Nos han pedido que encontremos la magnitud del campo eléctrico en la región. Para solucionar este problema, primero encontraremos la aceleración que se le induce al protón debido a la fuerza que ejerce el campo eléctrico. Con la aceleración, podremos encontrar la trayectoria, usando las ecuaciones cinemáticas para los ejes X e Y.

Comencemos por escribir la segunda ley de Newton para el protón cuando está dentro de las placas; a saber,

\begin{equation}
\label{newton2l}
\sum \vec{F}=m\vec{a},
\end{equation}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

donde \(\sum \vec{F} \) es la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el protón, \(\vec{a} \) es la aceleración generada por tales fuerzas y \(m \) es la masa del protón, que toma el valor numérico \(m_p = 1.67 \times 10^{-27} \,\text{kg} \).

La única fuerza relevante que actúa sobre el protón es la fuerza eléctrica.

\begin{equation}
\vec{F}_E=q\vec{E},
\end{equation}

donde \(q \) es la carga de la partícula, en este caso la carga del protón, y \(\vec{E} \) es el campo eléctrico. Entonces, la ecuación \eqref{newton2l} se convierte en

\begin{equation}
\label{newton2l2}
q\vec{E}=m\vec{a}.
\end{equation}

Si definimos el eje horizontal como el eje X y el vertical como el eje Y, como se ve en la siguiente figura, podemos escribir el campo eléctrico como

\begin{equation}
\label{efieldplates}
\vec{E}=-E\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}

donde \(E \) es la magnitud del campo eléctrico entre las placas.

Figura 1: Colocamos el sistema de coordenadas en la posición inicial del protón con el campo eléctrico entre las placas a lo largo del eje Y negativo. La trayectoria parabólica del protón está indicada por la línea discontinua. La única fuerza relevante es la fuerza eléctrica \(\vec{F}_E\).

Usando la expresión que está en la ecuación \eqref{efieldplates} en la ecuación \eqref{newton2l2}, obtenemos

\begin{equation}
-q\vec{E}\,\hat{\textbf{j}}=m\vec{a}.
\end{equation}

Despejando \(\vec{a} \), obtenemos

\begin{equation}
\label{ec:acelplates}
\vec{a}=-\frac{q}{m}E\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Vemos que esta aceleración es constante y se dirige hacia el eje Y negativo; entonces, podemos escribir las ecuaciones cinemáticas para los ejes X y Y en el caso de aceleración constante:

\begin{equation}
\label{kinemx}
x_f\,\hat{\textbf{i}}-x_i\,\hat{\textbf{i}}=v_{0x} t \,\hat{\textbf{i}}+\frac{1}{2}a_xt^2 \,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}

y

\begin{equation}
\label{kinemy}
y_f\,\hat{\textbf{j}}-y_i\,\hat{\textbf{j}}=v_{0y} t \,\hat{\textbf{j}}+\frac{1}{2}a_yt^2 \,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}

donde \(x_f, \, y_f \) son las coordenadas finales en X y Y, respectivamente, después de que haya pasado un tiempo \(t \); \(v_{0x}, \, v_{0y} \) son las velocidades iniciales en los ejes X y Y, respectivamente, y \(a_x, a_y \) son las aceleraciones en los ejes X y Y.

Primero, centrémonos en la ecuación del eje X. Según la aceleración dada por la ecuación \eqref{ec:acelplates} , no hay aceleración en el eje X, entonces \(a_x = 0 \), lo que simplifica la ecuación \eqref{kinemx} a

\begin{equation}
\label{kinemx2}
x_f\,\hat{\textbf{i}}-x_i\,\hat{\textbf{i}}=v_{0x} t \,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}

o, centrándonos en las magnitudes, obtenemos

\begin{equation}
\label{kinemx3}
x_f-x_i=v_{0x}t.
\end{equation}

Ahora, llevemos nuestra atención a la ecuación cinemática para Y, ecuación \eqref{kinemy}. Usando el resultado de la ecuación \eqref{ec:acelplates}, podemos reemplazar \(a_y \) por \(-\frac{q}{m}E\). Explícitamente,

\begin{equation}
y_f\,\hat{\textbf{j}}-y_i\,\hat{\textbf{j}}=v_{0y} t \,\hat{\textbf{j}}-\frac{1}{2}\frac{q}{m}Et^2, \,\hat{\textbf{j}}
\end{equation}

o enfocándonos solo en las magnitudes

\begin{equation}
\label{kinemy2}
y_f-y_i=v_{0y}t-\frac{1}{2}\frac{q}{m}Et^2.
\end{equation}

Observe que cuando el protón entra en la región con campo eléctrico, el velocidad es solo horizontal, por lo que la velocidad inicial en el eje Y \(v_{0y} \) es cero, lo que simplifica aún más la ecuación \eqref{kinemy2} a

\begin{equation}
\label{kinemy3}
y_f-y_i=-\frac{1}{2}\frac{q}{m}Et^2.
\end{equation}

Las coordenadas iniciales \((x_i\,,\,y_i)\) y las coordenadas finales \((x_f\,,\,y_f)\) se pueden deducir de la primera figura de la solución. Las coordenadas iniciales son \((x_i\,,\,y_i)=(0\,,\,0)\) si ubicamos el origen de nuestro sistema de coordenadas en el comienzo de la trayectoria. LAs coordenadas finales son \((x_f\,,\,y_f)=(30\,\text{cm}\,,\,-2\,\text{cm})=(0.3\,\text{m}\,,\,-0.02\,\text{m})\).

Usaremos las ecuaciones \eqref{kinemx3} y \eqref{kinemy3} para resolver las incógnitas: el tiempo entre la situación inicial y final \(t \) y el campo eléctrico \(E \). De la ecuación \eqref{kinemx3} podemos resolver fácilmente el tiempo \(t \); a saber,

\begin{equation}
\label{timeplates}
t=\frac{x_f-x_i}{v_{0x}}.
\end{equation}

Aquí, la velocidad \(v_{0x} \) es la que da el problema, entonces \(v_{0x} = 3.4 \times 10^6 \, \text{m/s} \). Poniendo el resultado de la ecuación \eqref{timeplates} en la ecuación \eqref{kinemy3}, obtenemos

\begin{equation}
\label{casidespejeplates}
y_f-y_i=-\frac{1}{2}\frac{q}{m}E\left(\frac{x_f-x_i}{v_{0x}}\right)^2.
\end{equation}

Despejando \(E \) en la ecuación \eqref{casidespejeplates}, finalmente obtenemos

\begin{equation}
E=\frac{2m(y_i-y_f)}{q}\left(\frac{v_{0x}}{x_f-x_i}\right)^2.
\end{equation}

Ahora, si usamos la carga del protón \(q = e \), donde \(e \) es la carga elemental \(e = 1.602 \times 10^{-19} \,\text{C} \), obtenemos

\begin{equation}
E=\frac{2m(y_i-y_f)}{e}\left(\frac{v_{0x}}{x_f-x_i}\right)^2.
\end{equation}

Usando los valores numéricos de cada variable, obtenemos

\begin{equation*}
E=\frac{2(1,67\times 10^{-27}\,\text{kg})(0-(-0.02\,\text{m}))}{1.602\times 10^{-19}\,\text{C}}\left(\frac{3.4\times10^{6}\,\text{m/s}}{0.3\,\text{m}-0}\right)^2,
\end{equation*}

\begin{equation}
E\approx 5.36\times 10^4\,\text{N/C}.
\end{equation}

b) Ahora, en lugar de un protón, consideremos un electrón y calculemos su desplazamiento horizontal final. Si se lanza hacia las placas con la misma velocidad, seguirá una trayectoria diferente, como se muestra en la siguiente figura. Ya que el electrón es menos masivo que el protón, la aceleración del electrón en el eje Y será mayor. Como consecuencia, el electrón golpeará una de las placas, como se ve en la siguiente figura. La dirección de la deflexión es hacia arriba, ya que la aceleración es positiva en el eje Y.

Figura 2: Colocamos el sistema de coordenadas en la posición inicial del electrón con el campo eléctrico entre las placas a lo largo del eje Y negativo. La trayectoria parabólica del electrón está indicada por la línea discontinua. La única fuerza relevante es la fuerza eléctrica \(\vec{F}_E \), que apunta hacia arriba.

Podemos calcular la aceleración a partir de la ecuación \eqref{ec:acelplates} , pero esta vez con \(q = -e \), obteniendo

\begin{equation}
\label{acelelectron}
\vec{a}=\frac{e}{m}E\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}

donde ahora la masa \(m \) es la masa del electrón: \(m_e = 9.11 \times 10^{-31} \,\text{kg} \). Todavía podemos usar la ecuación \eqref{kinemx3} para el eje X pero ahora, la incógnita es \(x_f \), que llamaremos \(d \); entonces, podemos escribir para el electrón

\begin{equation}
d-x_i=v_{0x}t,
\end{equation}

y despejando \(d \), obtenemos

\begin{equation}
\label{despejed}
d=x_i+v_{0x}t.
\end{equation}

Por lo tanto, primero debemos encontrar el tiempo entre las coordenadas inicial y final para encontrar \(d \). Podemos encontrar este tiempo examinando la cinemática en el eje Y.

Para la ecuación del eje Y, todavía podemos usar la ecuación \eqref{kinemx3}, solo que esta vez la carga es \(q = -e \) y el valor numérico de \(y_f \) cambia debido a la nueva curvatura de la trayectoria. Si el electrón golpea la placa superior, entonces \(y_f=2\,\text{cm}=0.02\,\text{m}\). Reemplazando \(q = -e \) en la ecuación \eqref{kinemy3}, obtenemos

\begin{equation}
\label{kinemelec}
y_f-y_i=\frac{1}{2}\frac{e}{m}Et^2.
\end{equation}

Despejando el tiempo en la ecuación \eqref{kinemelec} al multiplicar ambos lados por \(2m \) y dividir por \(eE \), obtenemos

\begin{equation}
\label{tiempcuad}
t^2=\frac{2m(y_f-y_i)}{eE},
\end{equation}

tomando la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación \eqref{tiempcuad}, ahora obtenemos

\begin{equation}
\label{tiempoelec}
t=\sqrt{\frac{2m(y_f-y_i)}{eE}}.
\end{equation}

Usando el resultado de la ecuación \eqref{tiempoelec} en \eqref{despejed}, finalmente obtenemos una expresión para \(d \), la coordenada de la posición final en el eje X del electrón; a saber,

\begin{equation}
d=x_i+v_{0x}\sqrt{\frac{2m(y_f-y_i)}{eE}}.
\end{equation}

Usando los valores numéricos, obtenemos

\begin{equation}
d=0+(3.4\times 10^6\,\text{m/s})\sqrt{\frac{2(9.11\times 10^{-31}\,\text{kg})(0.02\,\text{m}-0)}{(1.602\times10^{-19}\,\text{C})(5.36\times 10^4\,\text{N/C})}},
\end{equation}

\begin{equation}
d=7\times 10^{-3}\,\text{m}.
\end{equation}

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