¡Móvil de Juguete!

El torque total en equilibrio debe ser cero. Comience con la masa conocida y use la suma de los pares y la segunda ley de Newton para encontrar las otras masas.

La suma de los pares de torsión con la segunda ley de Newton para rotaciones nos da:

\begin{equation*}
\sum \vec{\tau}=I\vec{\alpha}.
\end{equation*}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

Se puede dibujar un diagrama de cuerpo libre como:

Usando la suma de los torques para despejar la masa desconocida, podemos escribir:

\begin{equation*}
(3 \, \text{cm}) M_1 g – (6 \, \text{cm})m g = 0,
\end{equation*}

donde despejando \( M_1 \), tenemos:

\begin{equation*}
M_1 = 0.2 \, \text{kg}.
\end{equation*}

Según la segunda ley de Newton en la dirección \({y-} \) para obtener \( T_1 \):

\begin{equation*}
T_1 – M_1 g – m g =0.
\end{equation*}

Estableciendo la suma de torques cerca de \( M_2 \):

\begin{equation*}
(4 \, \text{cm}) M_2 g – (8 \, \text{cm}) T_1 = 0.
\end{equation*}

Despejando \( M_2 \), tenemos:

\begin{equation*}
M_2 = 0.6 \, \text{kg}.
\end{equation*}

Aplicando la segunda ley de Newton en la dirección \({y-} \) para obtener \( T_2 \):

\begin{equation*}
T_2 – M_2 g – T_1 =0.
\end{equation*}

Estableciendo la suma de torques cerca de \( M_3 \):

\begin{equation*}
-(6 \, \text{cm}) M_3 g + (14 \, \text{cm}) T_2 = 0.
\end{equation*}

Despejando \( M_3 \), tenemos:

\begin{equation*}
M_3 = 2.1 \, \text{kg}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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Necesitamos calcular los valores para las masas desconocidas en el sistema, de modo que el móvil esté en equilibrio. Para abordar la solución de este problema, dividiremos todo el móvil en 3 partes y exigiremos equilibrio de traslación y rotación para cada una utilizando la segunda ley de Newton. Comencemos haciendo la división del sistema e identificando todas las fuerzas, como se ve en la figura 1.

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

En esta figura, representamos la parte más baja del juguete con tres fuerzas sobre la barra: el peso de la estrella de cinco puntas \(-M_1g\,\hat{\textbf{j}}\), el peso de la estrella de cuatro puntas \(-m_2g\,\hat{\textbf{j}}\), y la tensión en el cable \(T_1\,\hat{\textbf{j}}\). Aquí \(g\) es la aceleración gravitacional, y \(M_1\) y \(m_2\) son las masas de la estrella a la izquierda y a la derecha, respectivamente. Observe que las direcciones se dan con respecto al sistema de coordenadas dibujado en la figura.

Entonces podemos aplicar la segunda ley de Newton para rotaciones

\begin{equation}
\sum \vec{\tau}=I\vec{\alpha},
\end{equation}

que en el caso estático es

\begin{equation}
\label{newtonrot}
\sum \vec{\tau}=\vec{0},
\end{equation}

donde \(\sum \vec{\tau}\) es la suma de todos los torques alrededor de un punto, \(I\) es el momento de inercia y \(\vec{\alpha}\) es la aceleración angular, que es cero. Para calcular el torque \(\vec{\tau} \) alrededor de un punto P ejercido por una fuerza \(\vec{F}\), debemos usar la definición

\begin{equation}
\label{torque}
\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F},
\end{equation}

donde \(\vec{r}\) es el vector de distancia cuya magnitud es la distancia entre el punto P y el punto donde se aplica la fuerza. La dirección de \(\vec{r}\) es de P a la fuerza \(\vec{F}\).

Entonces podemos usar la definición dada en \eqref{torque} para calcular el torque que ejerce cada fuerza sobre el punto P, donde P es el punto donde se aplica la tensión \(T_1\). Esta elección de P es arbitraria y elegimos el punto donde \(T_1\) se aplica por conveniencia porque el vector \(\vec{r}\) para esta fuerza será \(\vec{0}\). Por tanto, la tensión no ejercerá torque sobre el punto P, por lo que debemos calcular el torque ejercido por el peso de las estrellas colgantes.

Comencemos calculando el torque ejercido por el peso de la masa \(M_1\). En este caso, el vector \(\vec{r}\) tendrá una magnitud de \(3\,\text{cm}\) y su dirección será a lo largo del eje X negativo, por lo tanto

\begin{equation}
\vec{r}_{M_1}=-3\,\text{cm}\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Usando la ecuación \eqref{torque} y la expresión explícita para el peso, podemos escribir el torque como

\begin{equation}
\vec{\tau}_{M_1}=(-3\,\text{cm}\,\hat{\textbf{i}})\times(-M_1g\,\hat{\textbf{j}}),
\end{equation}

que es igual a

\begin{equation}
\vec{\tau}_{M_1}=(3\,\text{cm})M_1g\,\hat{\textbf{i}}\times \hat{\textbf{j}},
\end{equation}

\begin{equation}
\label{taum1}
\vec{\tau}_{M_1}=(3\,\text{cm})M_1g\,\hat{\textbf{k}},
\end{equation}

donde hemos usado en la última línea el hecho de que \(\hat{\textbf{i}}\times\hat{\textbf{j}}=\hat{\textbf{k}}\).

Ahora calculemos el torque ejercido por el peso de la masa \(m_2\). En este caso, el vector \(\vec{r}\) tendrá una magnitud de \(6\,\text{cm}\) y su dirección será a lo largo del eje X positivo, por lo tanto

\begin{equation}
\vec{r}_{m_2}=6\,\text{cm}\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Usando la ecuación \eqref{torque} y la expresión explícita para el peso, podemos escribir el torque como

\begin{equation}
\vec{\tau}_{m_2}=(6\,\text{cm}\,\hat{\textbf{i}})\times(-m_2g\,\hat{\textbf{j}}),
\end{equation}

que es igual a

\begin{equation}
\vec{\tau}_{m_2}=-(6\,\text{cm})m_2g\,\hat{\textbf{i}}\times \hat{\textbf{j}},
\end{equation}

\begin{equation}
\label{taum2}
\vec{\tau}_{m_2}=-(6\,\text{cm})m_2g\,\hat{\textbf{k}},
\end{equation}

donde hemos usado en la última línea el hecho de que \(\hat{\textbf{i}}\times\hat{\textbf{j}}=\hat{\textbf{k}}\).

Usando los resultados para los torques de los pesos dados por las ecuaciones \eqref{taum1} y \eqref{taum2} en la ecuación para la condición estática de rotación (ecuación \eqref{newtonrot} ), obtenemos

\begin{equation}
(3\,\text{cm})M_1g\,\hat{\textbf{k}}-(6\,\text{cm})m_2g\,\hat{\textbf{k}}=\vec{0}.
\end{equation}

Eliminando la notación vectorial de la ecuación anterior porque todos los términos están a lo largo del mismo eje, obtenemos

\begin{equation}
(3\,\text{cm})M_1g-(6\,\text{cm})m_2g=0,
\end{equation}

que se pued despejar \(M_1\) para obtener

\begin{equation}
M_1=\frac{(6\,\text{cm})m_2g}{(3\,\text{cm})g}.
\end{equation}

Después de cancelar \(g\) y simplificar la relación de distancia, obtenemos

\begin{equation}
M_1=2m_2,
\end{equation}

que numéricamente es

\begin{equation}
M_1=2(100\,\text{g})=200\,\text{g}.
\end{equation}

Encontremos ahora el equilibrio traslacional de demanda, a partir del cual podremos encontrar la tensión \(T_1\). La segunda ley de Newton para la traducción dice

\begin{equation}
\sum\vec{F}=m\vec{a},
\end{equation}

que en el caso estático es

\begin{equation}
\label{newton}
\sum \vec{F}=\vec{0},
\end{equation}

donde \(\sum\vec{F}\) es la suma de todas las fuerzas ejercidas sobre la barra, \(m\) es la masa de la barra y \(\vec{a}\) su aceleración. Usando la expresión explícita para todas las fuerzas ejercidas sobre la barra, como se ve en la segunda figura, en la ecuación \eqref{newton} , obtenemos

\begin{equation}
-M_1g\,\hat{\textbf{j}}-m_2g\,\hat{\textbf{j}}+T_1\,\hat{\textbf{j}}=\vec{0}.
\end{equation}

En la ecuación anterior, podemos eliminar la notación vectorial ya que todas las fuerzas están a lo largo del mismo eje, por lo tanto

\begin{equation}
-M_1g-m_2g+T_1=0,
\end{equation}

donde podemos despejar \(T_1\) para obtener

\begin{equation}
T_1=M_1g+m_2g,
\end{equation}

y numéricamente, con unidades SI

\begin{equation}
T_1=(0.2\,\text{kg})(9.81\,\text{m/s}^2)+(0.1\,\text{kg})(9.81\,\text{m/s}^2),
\end{equation}

\begin{equation}
\label{t1}
T_1=2.943\,\text{N}.
\end{equation}

Continuemos tomando otra sección del sistema e identificando todas las fuerzas como se ve en la figura 2.

En esta figura, mostramos la parte media del móvil con tres fuerzas sobre la barra: el peso del objeto a la izquierda \(-M_2g\,\hat{\textbf{j}}\), la tensión a la derecha \(-T_1\,\hat{\textbf{j}}\) y la tensión en el cable superior \(T_2\,\hat{\textbf{j}}\). Observe que las direcciones se dan con respecto al sistema de coordenadas que se encuentra en la figura anterior.

Entonces podemos aplicar la segunda ley de Newton para las rotaciones dadas por la ecuación \eqref{newtonrot} sobre el punto donde se calcula la tensión \(T_2\)

Entonces podemos usar la definición dada en \eqref{torque} para calcular el torque que ejerce cada fuerza sobre el punto P, donde P es el punto ahora donde se aplica la tensión \(T_2\). Recuerde: la elección de P es arbitraria y elegimos el punto donde \(T_2\) se aplica por conveniencia porque el vector \(\vec{r}\) para esta fuerza será \(\vec{0}\). Por tanto, la tensión \(T_2\) no ejercerá torque en el punto P. Entonces debemos calcular el torque ejercido por el peso del objeto colgante y la tensión \(T_1\).

Comencemos calculando el torque ejercido por el peso de la masa \(M_2\). En este caso, el vector \(\vec{r}\) tendrá una magnitud de \(4\,\text{cm}\) y su dirección será a lo largo del eje X negativo; por lo tanto,

\begin{equation}
\vec{r}_{M_2}=-4\,\text{cm}\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Usando la ecuación \eqref{torque} y la expresión explícita para el peso, podemos escribir el torque como

\begin{equation}
\vec{\tau}_{M_2}=(-4\,\text{cm}\,\hat{\textbf{i}})\times(-M_2g\,\hat{\textbf{j}}),
\end{equation}

que es igual a

\begin{equation}
\vec{\tau}_{M_2}=(4\,\text{cm})M_2g\,\hat{\textbf{i}}\times \hat{\textbf{j}},
\end{equation}

\begin{equation}
\label{taum3}
\vec{\tau}_{M_2}=(4\,\text{cm})M_2g\,\hat{\textbf{k}},
\end{equation}

donde hemos usado en la última línea el hecho de que \(\hat{\textbf{i}}\times\hat{\textbf{j}}=\hat{\textbf{k}}\).

Ahora calculemos el torque ejercido por la tensión \(T_1\). En este caso, el vector \(\vec{r}\) tendrá una magnitud de \(8\,\text{cm}\) y su dirección será a lo largo del eje X positivo; por lo tanto,

\begin{equation}
\vec{r}_{T_1}=8\,\text{cm}\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Usando la ecuación \eqref{torque} y la expresión explícita de la tensión, podemos escribir el torque como

\begin{equation}
\vec{\tau}_{T_1}=(8\,\text{cm}\,\hat{\textbf{i}})\times(-T_1\,\hat{\textbf{j}}),
\end{equation}

que es igual a

\begin{equation}
\vec{\tau}_{T_1}=-(8\,\text{cm})T_1\,\hat{\textbf{i}}\times \hat{\textbf{j}},
\end{equation}

\begin{equation}
\label{taum4}
\vec{\tau}_{T_1}=-(8\,\text{cm})T_1\,\hat{\textbf{k}},
\end{equation}

donde hemos usado en la última línea el hecho de que \(\hat{\textbf{i}}\times\hat{\textbf{j}}=\hat{\textbf{k}}\).

Usando los resultados para los torques del peso y la tensión \(T_1\) dados por las ecuaciones \eqref{taum3} y \eqref{taum4} en la ecuación para la condición estática de rotación (ecuación \eqref{newtonrot}), obtenemos

\begin{equation}
(4\,\text{cm})M_2g\,\hat{\textbf{k}}-(8\,\text{cm})T_1\,\hat{\textbf{k}}=\vec{0}.
\end{equation}

Eliminando la notación vectorial de la ecuación anterior porque todos los términos están a lo largo del mismo eje, obtenemos

\begin{equation}
(4\,\text{cm})M_2g-(8\,\text{cm})T_1=0,
\end{equation}

que se puede despejar para \(M_2\) para obtener

\begin{equation}
M_2=\frac{(8\,\text{cm})T_1}{(4\,\text{cm})g}.
\end{equation}

Simplificando la relación de distancia, obtenemos

\begin{equation}
M_2=\frac{2T_1}{g},
\end{equation}

que numéricamente (usando el resultado de la ecuación \eqref{t1}) es

\begin{equation}
M_2=\frac{2(2.943\,\text{N})}{9.81\,\text{m/s}^2},
\end{equation}

\begin{equation}
M_2=0.6\,\text{kg}.
\end{equation}

Exigamos ahora equilibrio traslacional, a partir del cual podremos encontrar la tensión \(T_2\). Poniendo la expresión explícita para todas las fuerzas ejercidas sobre la barra en la ecuación \eqref{newton} , obtenemos

\begin{equation}
-M_2g\,\hat{\textbf{j}}-T_1\,\hat{\textbf{j}}+T_2\,\hat{\textbf{j}}=\vec{0}.
\end{equation}

En la ecuación anterior, podemos eliminar la notación vectorial ya que todas las fuerzas están a lo largo del mismo eje; por lo tanto,

\begin{equation}
-M_2g-T_1+T_2=0,
\end{equation}

donde podemos despejar \(T_2\) para obtener

\begin{equation}
T_2=M_2g+T_1,
\end{equation}

y numéricamente, con unidades SI

\begin{equation}
T_2=(0.6\,\text{kg})(9.81\,\text{m/s}^2)+2.943\,\text{N},
\end{equation}

\begin{equation}
\label{t2}
T_2=8.829\,\text{N}.
\end{equation}

Terminemos tomando la sección superior del sistema e identificando todas las fuerzas, como se ve en la figura 3.

En esta figura, la parte superior del juguete se muestra con tres fuerzas sobre la barra: el peso del objeto a la derecha \(-M_3g\,\hat{\textbf{j}}\), la tensión a la derecha \(-T_1\,\hat{\textbf{j}}\), y la tensión en el cable superior \(T_2\,\hat{\textbf{j}}\).

Entonces podemos aplicar la segunda ley de Newton para las rotaciones dadas por la ecuación \eqref{newtonrot} sobre el punto donde se calcula la tensión \(T_2\)

Entonces podemos usar la definición dada en \eqref{torque} para calcular el torque que ejerce cada fuerza sobre el punto P, donde P es el punto ahora donde se aplica la tensión \(T_2\). Por tanto, la tensión \(T_2\) no ejercerá torque en el punto P. Entonces debemos calcular el torque ejercido por el peso del objeto colgante y la tensión \(T_1\).

Comencemos calculando el torque ejercido por el peso de la masa \(M_3\). En este caso, el vector \(\vec{r}\) tendrá una magnitud de \(6\,\text{cm}\), y su dirección será a lo largo del eje X positivo; por lo tanto,

\begin{equation}
\vec{r}_{M_3}=-6\,\text{cm}\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Usando la ecuación \eqref{torque} y la expresión explícita para el peso, podemos escribir el torque como

\begin{equation}
\vec{\tau}_{M_3}=(6\,\text{cm}\,\hat{\textbf{i}})\times(-M_3g\,\hat{\textbf{j}}),
\end{equation}

que es igual a

\begin{equation}
\vec{\tau}_{M_3}=-(6\,\text{cm})M_3g\,\hat{\textbf{i}}\times \hat{\textbf{j}},
\end{equation}

\begin{equation}
\label{taum5}
\vec{\tau}_{M_3}=-(6\,\text{cm})M_3g\,\hat{\textbf{k}},
\end{equation}

donde hemos usado en la última línea el hecho de que \(\hat{\textbf{i}}\times\hat{\textbf{j}}=\hat{\textbf{k}}\).

Ahora, calculemos el torque ejercido por la tensión \(T_2\). En este caso, el vector \(\vec{r}\) tendrá una magnitud de \(14\,\text{cm}\), y su dirección será a lo largo del eje X negativo; por lo tanto,

\begin{equation}
\vec{r}_{T_2}=-14\,\text{cm}\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Usando la ecuación \eqref{torque} y la expresión explícita de la tensión, podemos escribir el torque como

\begin{equation}
\vec{\tau}_{T_2}=(-14\,\text{cm}\,\hat{\textbf{i}})\times(-T_2\,\hat{\textbf{j}}),
\end{equation}

que es igual a

\begin{equation}
\vec{\tau}_{T_2}=(14\,\text{cm})T_2\,\hat{\textbf{i}}\times \hat{\textbf{j}},
\end{equation}

\begin{equation}
\label{taum6}
\vec{\tau}_{T_2}=(14\,\text{cm})T_2\,\hat{\textbf{k}},
\end{equation}

donde hemos usado en la última línea el hecho de que \(\hat{\textbf{i}}\times\hat{\textbf{j}}=\hat{\textbf{k}}\).

Usando los resultados de los torques del peso y la tensión \(T_2\) dados por las ecuaciones \eqref{taum5} y \eqref{taum6} en la ecuación para la condición estática de rotación (ecuación \eqref{newtonrot} ), obtenemos

\begin{equation}
-(6\,\text{cm})M_3g\,\hat{\textbf{k}}+(14\,\text{cm})T_2\,\hat{\textbf{k}}=\vec{0}.
\end{equation}

Eliminando la notación vectorial de la ecuación anterior porque todos los términos están a lo largo del mismo eje, obtenemos

\begin{equation}
-(6\,\text{cm})M_3g+(14\,\text{cm})T_2=0,
\end{equation}

que se puede resolver para \(M_3\) para obtener

\begin{equation}
M_3=\frac{(14\,\text{cm})T_2}{(6\,\text{cm})g}.
\end{equation}

Simplificando la relación de distancia, obtenemos

\begin{equation}
M_3=\frac{7T_1}{3g},
\end{equation}

que numéricamente (usando el resultado de la ecuación \eqref{t2}) es

\begin{equation}
M_3=\frac{7(8.829\,\text{N})}{3(9.81\,\text{m/s}^2)},
\end{equation}

\begin{equation}
M_3=2.1\,\text{kg}.
\end{equation}

Y así, hemos encontrado todos los valores de masa desconocidos \(M_1\), \(M_2\) y \(M_3\).

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