¡Contenedor en una chimenea!

Utilice la ley de los gases ideales para relacionar la presión final con la temperatura y la presión inicial.

La ley de los gases ideales se puede escribir como:

\begin{equation*}
PV=nRT,
\end{equation*}

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donde para dos estados se puede escribir como:

\begin{equation*}
\frac{n_i R T_i}{P_i}=\frac{n_f R T_f}{P_f}.
\end{equation*}

Resolviendo para \(P_f\) obtenemos:

\begin{equation*}
P_f=P_i \frac{T_f}{T_i},
\end{equation*}

que con valores numéricos es:

\begin{equation*}
P_f \approx 2.7\,\text{atm}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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Necesitamos calcular la presión dentro del recipiente después de que alcanza una temperatura de 127\(^\circ\)C. Para resolver esto, primero debemos identificar el proceso termodinámico entre la condición inicial y la condición final. Debido a que el problema ya nos dijo que se descuida cualquier cambio en el volumen, entonces estamos tratando con un proceso de volumen constante. Para obtener la respuesta a este problema debemos utilizar la ley de los gases ideales

\begin{equation}
\label{gasideal}
PV=nRT,
\end{equation}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

donde \(P\) es la presión absoluta dentro del recipiente, \(V\) su volumen, \(n\) el número de moles de gas dentro del recipiente, \(R\) la constante del gas ideal y \(T\) la temperatura absoluta del gas.

Ahora podemos escribir la ecuación \eqref{gasideal} , teniendo en cuenta la condición inicial (recipiente a temperatura ambiente), para lo cual usaremos el subíndice \(i\) de la siguiente manera

\begin{equation}
\label{gasi}
P_iV_i=n_iRT_i.
\end{equation}

También podemos escribir una expresión similar para la condición final (recipiente en la chimenea), donde usaremos el subíndice \(f\), entonces

\begin{equation}
\label{gasf}
P_fV_f=n_fRT_f.
\end{equation}

A partir de la indicación, sabemos que el volumen entre la condición inicial y final no cambia, por lo que podemos expresarlo como

\begin{equation}
\label{igualdad}
V_i=V_f.
\end{equation}

De la ecuación \eqref{gasi} , podemos resolver \(V_i\) para obtener

\begin{equation}
\label{vi}
V_i=\frac{n_iRT_i}{P_i}.
\end{equation}

Lo mismo puede hacerse para resolver \(V_f\) de la ecuación \eqref{gasf} ; explícitamente

\begin{equation}
\label{vf}
V_f=\frac{n_f R T_f}{P_f}.
\end{equation}

Sustituyendo los resultados de las ecuaciones \eqref{vi} y \eqref{vf} en la ecuación \eqref{igualdad}, obtenemos la siguiente expresión

\begin{equation}
\label{expf}
\frac{n_i R T_i}{P_i}=\frac{n_f R T_f}{P_f}.
\end{equation}

Debido a que no sale ni entra gas del recipiente durante el proceso termodinámico, el número de moles en la condición inicial y en la condición final es el mismo; por eso,

\begin{equation}
\label{moles}
n_i=n_f.
\end{equation}

Usando la condición dada en la ecuación \eqref{moles} para simplificar la ecuación \eqref{expf} , obtenemos:

\begin{equation}
\frac{RT_i}{P_i}=\frac{R T_f}{P_f},
\end{equation}

donde podemos cancelar la constante \(R\) para finalmente obtener

\begin{equation}
\label{expf2}
\frac{T_i}{P_i}=\frac{T_f}{P_f},
\end{equation}

una expresión válida para cualquier gas ideal que se someta a un proceso termodinámico a volumen constante. El problema pregunta por la presión dentro del recipiente cuando está sobre la chimenea, es decir \(P_f\). Resolviendo a partir de la ecuación \eqref{expf2} para \(P_f\), tenemos que

\begin{equation}
P_f\frac{T_i}{P_i}=T_f,
\end{equation}

\begin{equation}
\label{expf3}
P_f=P_i \frac{T_f}{T_i}.
\end{equation}

Ahora, podemos usar los valores numéricos dados en el problema para calcular explícitamente \(P_f\). Recuerde que \(T_i\) y \(T_f\) son temperaturas absolutas, por lo que deben expresarse en Kelvin. Calculando cada temperatura usando la conversión entre Celsius y Kelvin, tenemos

\begin{equation}
\label{t1}
T_1=(23+273.15)\,\text{K}=296.15\,\text{K},
\end{equation}

y

\begin{equation}
\label{t2}
T_2=(127+273.15)\,\text{K}=400.15\,\text{K}.
\end{equation}

Usando los valores numéricos de las ecuaciones \eqref{t1} y \eqref{t2} en la ecuación \eqref{expf3} , obtenemos

\begin{equation}
P_f=(2\,\text{atm})\frac{400.15\,\text{K}}{296.15\,\text{K}}\approx 2.7\,\text{atm}.
\end{equation}

Por tanto, la presión aumentó aproximadamente \(0.7\,\text{atm}\).

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