¡Masa flotando!

Utilice la segunda ley de Newton con la fuerza eléctrica para obtener la masa.

La Segunda Ley de Newton establece:

\begin{equation*}
\sum{\vec{F}}=m\vec{a},
\end{equation*}

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donde, en equilibrio, \(a = 0 \). Luego, usando el hecho de que la fuerza eléctrica \(F = qE \), y aplicando la Segunda Ley de Newton a lo largo del eje \({y-} \), obtenemos:

\begin{equation*}
qE – mg=0.
\end{equation*}

Despejando \(m \):

\begin{equation*}
m = \frac{qE}{g},
\end{equation*}

que, con valores numéricos, nos da:

\begin{equation*}
m \approx 3.67 \times 10^{-3} \, \text{kg}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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El problema nos pide que encontremos la masa del objeto. Empecemos escribiendo

\begin{equation}
\label{efield}
\vec{E}=E\,\hat{\textbf{k}},
\end{equation}

donde \(E \) es la magnitud del campo eléctrico, una cantidad dada por el enunciado.

Si queremos que el objeto esté en equilibrio, aplicamos la segunda ley de Newton e imponemos que la aceleración \(\vec{a} \) es cero. La segunda ley de Newton dice:

\begin{equation}
\label{newton}
\sum{\vec{F}}=m\vec{a},
\end{equation}

donde \(\sum \vec{F} \) es la suma de todas las fuerzas ejercidas sobre el objeto. Las fuerzas relevantes son el peso \(\vec{W} \) y la fuerza eléctrica \(\vec{F} _e \), como se ve en la figura 1.

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Figura 1: diagrama de cuerpo libre para el objeto con la fuerza eléctrica \(\vec{F}_{E} \) hacia arriba en la misma dirección que el campo eléctrico \(\vec{E} \) y el peso \(\vec{W} \) hacia abajo, a lo largo del eje Y negativo.

Entonces, la ecuación \eqref{newton} se escribe como:

\begin{equation}
\label{newton2}
\vec{W}+\vec{F}_e=m\vec{a}.
\end{equation}

Ya que el objeto está en equilibrio, podemos exigir que la aceleración sea cero en la ecuación \eqref{newton2}; por lo tanto, obtenemos

\begin{equation}
\label{newton3}
\vec{W}+\vec{F}_e=\vec{0}.
\end{equation}

La fuerza eléctrica se puede expresar en términos del campo eléctrico \(\vec{E} \) y la carga del objeto \(q \) como

\begin{equation}
\label{eforce}
\vec{F}_e=q\vec{E}.
\end{equation}

Usando el resultado de la ecuación \eqref{efield} en la ecuación \eqref{eforce}, obtenemos

\begin{equation}
\label{eforce2}
\vec{F}_e=qE\,\hat{\textbf{k}}.
\end{equation}

Además, como se ve en la figura, la fuerza del peso \(\vec{W} \) apunta hacia el eje Z negativo, por lo que podemos escribir

\begin{equation}
\label{weight}
\vec{W}=-W\,\hat{\textbf{k}},
\end{equation}

donde \(W \) es la magnitud del peso, dada por el producto de la masa del objeto \(m \) y la aceleración gravitacional de la tierra \(g \). Entonces, la ecuación \eqref{weight} se convierte en

\begin{equation}
\label{weight2}
\vec{W}=-mg\,\hat{\textbf{k}}.
\end{equation}

Usando las expresiones explícitas para la fuerza eléctrica y el peso dadas en las ecuaciones \eqref{eforce2} y \eqref{weight2} en la ecuación \eqref{newton3}, obtenemos

\begin{equation}
\label{newton4}
-mg\,\hat{\textbf{k}}+qE\,\hat{\textbf{k}}=\vec{0}.
\end{equation}

Centrándonos en los componentes vectoriales en la ecuación \eqref{newton4} llegamos a la siguiente expresión

\begin{equation}
-mg+qE=0.
\end{equation}

Despejando \(m \), obtenemos

\begin{equation}
m=\frac{qE}{g}.
\end{equation}

Usando los valores numéricos de cada variable, podemos escribir

\begin{equation}
m=\frac{(30\,\mu\text{C})(1200\,\text{N/C})}{9.81\,\text{m/s}^2},
\end{equation}

\begin{equation}
m\approx 3.67\times10^{-3}\,\text{kg}=3.67\,\text{g}.
\end{equation}

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