Leo dice que construyó un motor térmico muy eficiente y afirma que tiene una eficiencia de \(67 \% \). La temperatura más baja que obtiene el motor es -4\(^\circ\)C, y la temperatura más alta que alcanza es 190\(^\circ\)C.

(a) ¿Cómo saber si Leo está diciendo la verdad?

(b) El trabajo realizado por el motor es de 2400 J por ciclo. ¿Cuánta energía se transfirió al motor y cuánta sale en el mejor escenario posible?

a) Trate de encontrar la eficiencia de la máquina teóricamente más eficiente.

b) Con el trabajo y la eficiencia conocidos, encuentre el calor que ingresa al sistema y luego use la fórmula del trabajo para encontrar el calor que sale del sistema.

a) Teóricamente, la máquina más eficiente es una de Carnot. Entonces:

\begin{equation*}
\eta_{\text{Carnot}}=1-\frac{T_c}{T_h},
\end{equation*}

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y con valores numéricos:

\begin{equation*}
\eta_{\text{Carnot}} \approx 0.42.
\end{equation*}

Entonces, Leo está mintiendo.

b) Resolviendo \(Q_h\) a partir de la fórmula de la eficiencia (con la eficiencia real):

\begin{equation*}
Q_h=\frac{W}{\eta},
\end{equation*}

o:

\begin{equation*}
Q_h \approx 5714 \, \text{J}.
\end{equation*}

El trabajo es:

\begin{equation*}
W= Q_h+Q_c.
\end{equation*}

Resolviendo \(Q_c\) con valores numéricos:

\begin{equation*}
Q_c\approx -3314\,\text{J}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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(a) Para verificar si Leo dice la verdad, debemos comparar la supuesta eficiencia del motor térmico de Leo con el más eficiente: el motor térmico de Carnot.

Recuerde que un motor térmico de Carnot es el motor térmico más eficiente que opera entre dos depósitos a diferentes temperaturas.

En un motor térmico de Carnot, la eficiencia \(\eta\) se puede calcular de acuerdo con la siguiente expresión,

\begin{equation}
\label{carnot}
\eta_{\text{Carnot}}=1-\frac{T_c}{T_h},
\end{equation}

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donde \(T_c\) es la temperatura absoluta del depósito frío y \(T_h\) es la temperatura absoluta del depósito caliente. El problema indica que el motor térmico de Leo funciona entre un depósito frío a \(- 4\,^{\circ}\text{C}\) y un depósito caliente a \(190\,^{\circ}\text{C}\). Para encontrar las temperaturas absolutas de los depósitos, debemos escribirlas en Kelvin usando la conversión adecuada; explícitamente,

\begin{equation}
\label{tc}
T_c=(-4+273.15)\,\text{K}=269.15\,\text{K},
\end{equation}

y

\begin{equation}
\label{th}
T_h=(190+273.15)\,\text{K}=463.15\,\text{K}.
\end{equation}

Usando los valores de las ecuaciones \eqref{tc} y \eqref{th} en \eqref{carnot} , encontramos que la mayor eficiencia posible es

\begin{equation}
\label{effcar}
\eta_{\text{Carnot}}=1-\frac{269.15\,\text{K}}{463.15\,\text{K}}\approx0.42.
\end{equation}

Por lo tanto, la eficiencia más alta es \(42\%\). Leo afirma que su eficiencia es \(67\%\), lo cual es mentira. Esto se debe al hecho de que ningún motor térmico que funcione entre dos depósitos de calor puede ser más eficiente que un motor térmico de Carnot que funcione entre los mismos depósitos.

(b) Ahora el problema nos da el trabajo realizado por el motor térmico en el mejor escenario posible. Es decir, debemos considerar que el motor térmico de Leo es un motor térmico de Carnot. Entonces podemos escribir la definición de eficiencia \(\eta\) en un motor térmico; es decir,

\begin{equation}
\label{eff}
\eta=\frac{W}{Q_h},
\end{equation}

donde \(W\) es el trabajo realizado por el motor y \(Q_h\) es la cantidad de energía que ingresa al motor. Dado que estamos considerando el mejor escenario posible, la eficiencia será la misma que la calculada en \eqref{effcar} . Resolviendo \(Q_h\) en la ecuación \eqref{eff} , tenemos

\begin{equation}
\label{qh}
Q_h=\frac{W}{\eta},
\end{equation}

que se puede calcular fácilmente

\begin{equation}
Q_h\approx\frac{2400\,\text{J}}{0.42}\approx 5714\,\text{J}.
\end{equation}

Ahora usamos el teorema de conservación de energía para motores térmicos que establece que la energía que ingresa al motor térmico \(Q_h\) más la energía que sale del motor térmico \(Q_c\) es igual al trabajo realizado por el motor térmico ; explícitamente,

\begin{equation}
\label{firstlaw}
Q_h+Q_c=W.
\end{equation}

Resolviendo \(Q_c\) en la ecuación \eqref{firstlaw} obtenemos

\begin{equation}
Q_c=W-Q_h.
\end{equation}

Usando los valores numéricos previamente calculados, obtenemos

\begin{equation}
Q_c\approx 2400\,\text{J}-5714\,\text{J},
\end{equation}

\begin{equation}
\label{qc}
Q_c\approx -3314\,\text{J}.
\end{equation}

La cantidad en la ecuación \eqref{qc} es negativa, lo que indica que esta cantidad de energía sale del motor térmico.

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