Gato y Lana

Tenga en cuenta que hay una diferencia de tiempo entre la bola de lana y el gato. Además, observe que el gato tiene una aceleración constante y la bola de lana una rapidez constante.

Para que el gato atrape la bola de lana, debemos exigir que en cierto momento \(t\) (que viene dado por el problema) los vectores de posición final del gato y de la bola de lana sean los mismos, es decir

\begin{equation*}
\vec{x}_c=\vec{x}_w.
\end{equation*}

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La bola de lana no tiene aceleración y la posición inicial es cero. Para la posición del gato, tenga en cuenta que en el momento \(t=3\) s comienza a moverse. Podemos usar \(t-t_d\), donde \(t_d=3\,\text{s}\). Por tanto, para esas ecuaciones tenemos:

\begin{equation*}
\vec{v}_{w}t=\frac{1}{2}\vec{a}_c(t-t_d)^2,
\end{equation*}

de donde obtenemos:

\begin{equation*}
a_c=5\,\text{m/s}^2.
\end{equation*}

En el segundo caso, \(t-t_d=1\,\text{s}\). Entonces:

\begin{equation*}
a_c=16\,\text{m/s}^2.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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Necesitamos encontrar la aceleración mínima que necesita el gato para atrapar la bola de lana en no más de 2 segundos. Para resolver este problema, primero debemos identificar el tipo de movimiento del gato y el de la bola de lana. Sabemos que el gato tendrá una aceleración constante y la bola de lana una velocidad constante (aceleración cero) porque no hay fricción entre ella y el piso. Ahora, para que el gato atrape la bola de lana, debemos exigir que en cierto momento \(t\) (que viene dado por el problema) los vectores de posición final del gato y de la bola de lana sean los mismos, es decir

\begin{equation}
\vec{x}_{\text{cat}}=\vec{x}_{\textbf{wool ball}}.
\end{equation}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

Usando una notación más corta, tenemos

\begin{equation}
\label{catwool}
\vec{x}_c=\vec{x}_w.
\end{equation}

Ahora usaremos la ecuación de movimiento para un objeto con aceleración constante, que dice

\begin{equation}
\label{kinematic}
\vec{x}=\vec{x}_i+\vec{v}_i t+\frac{1}{2}\vec{a} t^2,
\end{equation}

donde \(\vec{x}_i\) es el vector de posición inicial, \(\vec{v}_i\) es el velocidad inicial y \(\vec{a}\) es el vector de aceleración. Para aplicar esta ecuación, debemos elegir un sistema de coordenadas. El origen de nuestro sistema de coordenadas será el lugar donde duerme el gato y el tiempo \(t=0\) será el momento en que la bola de lana pasa por el gato dormido, como se muestra en la figura 1.

Figura 1: Colocamos un sistema de coordenadas en el lugar donde la bola pasa por el gato. Asumiremos que el tiempo comienza a contar en ese instante, por lo que la posición inicial de la bola y del gato son cero.

Entonces podemos escribir la siguiente ecuación de movimiento para la bola de lana, usando la ecuación \eqref{kinematic} y el hecho de que la bola de lana no tiene aceleración y la posición inicial es cero (dada nuestra elección de coordenadas):

\begin{equation}
\vec{x}_{w}=\vec{v}_{w}t,
\end{equation}

donde \(\vec{v}_w\) es la velocidad de la bola de lana.

Para el gato, podemos escribir una expresión similar, teniendo en cuenta que en el momento \(t=3\) s comienza a moverse. Para incluir este tiempo en la ecuación de movimiento, podemos usar \(t-t_d \) en lugar de sólo \(t \) en la ecuación \eqref{kinematic}, donde \(t_d=3\,\text{s}\) (en otras palabras, debemos tener en cuenta el retraso entre el momento en que la bola de lana pasa frente al gato y el momento en que el gato comienza a moverse). Por lo tanto, para la posición del gato, podemos escribir lo siguiente:

\begin{equation}
\vec{x}_c=\vec{x}_{i,c}+\vec{v}_{i,c}(t-t_d)+\frac{1}{2}\vec{a}_c(t-t_d)^2,
\end{equation}

que, sabiendo que la velocidad del gato en \(t=t_d\) es cero y su posición en ese momento también es cero, se puede simplificar. Por eso,

\begin{equation}
\vec{x}_c=\frac{1}{2}\vec{a}_c(t-t_d)^2.
\end{equation}

Usando las ecuaciones vectoriales para la posición del gato y la posición de la bola de lana en la ecuación \eqref{catwool}, obtenemos

\begin{equation}
\label{condition}
\vec{v}_w t=\frac{1}{2}\vec{a}_c(t-t_d)^2.
\end{equation}

De la ecuación \eqref{condition} , sabemos que el vector de aceleración del gato debe apuntar en la misma dirección que la velocidad de la bola de lana, como esperábamos. Entonces podemos trabajar sólo con las magnitudes en la ecuación \eqref{condition} y obtener la relación

\begin{equation}
v_wt=\frac{1}{2}a_c(t-t_d)^2,
\end{equation}

donde podemos resolver para que la magnitud de la aceleración del gato sea

\begin{equation}
a_c=\frac{2v_w t}{(t-t_d)^2}.
\end{equation}

Si queremos que el gato atrape la bola de lana en no más de 2 segundos, contando desde el momento en que el gato comienza a acelerar. Es decir, requerimos que \(t-t_d=2\,\text{s}\), por lo que debemos usar el tiempo \(t=2\,\text{s}+t_d=5\,\text{s}\) (en palabras, 2 segundos desde el momento en que el gato comienza a acelerar son 5 segundos desde el momento en que la bola de lana pasa frente al gato). Usando este y los otros valores numéricos dados por el problema, obtenemos nuestra respuesta:

\begin{equation}
a_c=\frac{2(2\,\text{m/s})(5\,\text{s})}{(2\,\text{s})^2},
\end{equation}

es decir,

\begin{equation}
a_c=5\,\text{m/s}^2.
\end{equation}

Por lo tanto, para atrapar la bola de lana en no más de 2 segundos, la aceleración del gato debe ser de al menos \(5\,\text{m/s}^2\).

Ahora, si queremos que el gato atrape la bola de lana en no más de 1 segundo, contado desde el momento en que el gato comienza a acelerar, debemos usar \(t-t_d=1\,\text{s}\) de manera que el tiempo para usar en la ecuación es \(t=1\,\text{s}+t_d=4\,\text{s}\). Por lo tanto, usando este tiempo y los otros valores numéricos dados en la solicitud, obtenemos nuestra respuesta:

\begin{equation}
a_c=\frac{2(2\,\text{m/s})(4\,\text{s})}{(1\,\text{s})^2},
\end{equation}

es decir,

\begin{equation}
a_c=16\,\text{m/s}^2.
\end{equation}

Por lo tanto, la aceleración del gato debe ser de al menos \(16\,\text{m/s}^2\) para atrapar la bola de lana en no más de 1 segundo.

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