¡Coche de carreras!

a) La segunda ley de Newton en la dirección \({y-} \) se puede escribir como:

\begin{equation*}
N \cos \theta – mg = 0.
\end{equation*}
[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

La segunda ley de Newton en la dirección \({x-} \) es:

\begin{equation*}
N \sin \theta = m a,
\end{equation*}

donde \(a=\frac{v^2}{r}\). Despejando \(N \) en la primera ecuación, sustituyyendo en la última ecuación y usando algo de álgebra, obtenemos:

\begin{equation*}
\theta = \arctan \left( \frac{v^2}{rg} \right),
\end{equation*}

que, con valores numéricos, da:

\begin{equation*}
\theta = 17.74^\circ.
\end{equation*}

b) La segunda ley de Newton en la dirección \({y-} \) se puede escribir como:

\begin{equation*}
N \cos \theta – f_r \sin \theta -mg = 0.
\end{equation*}

Dado que \(f_r = \mu N \), podemos despejar \(N \) en la ecuación anterior para obtener:

\begin{equation*}
N = \frac{mg}{\cos \theta – \mu \sin \theta}.
\end{equation*}

La segunda ley de Newton en la dirección \({x-} \) se puede escribir como:

\begin{equation*}
N \sin \theta + f_r \cos \theta = m a.
\end{equation*}

Usando el resultado anterior para \(N \), y después de mucha álgebra, obtenemos:

\begin{equation*}
\theta = \arctan \left( \frac{ \frac{v^2}{rg} – \mu } {1+\frac{v^2 \mu}{rg} } \right),
\end{equation*}

que con valores numéricos es:

\begin{equation*}
\theta = 6.43^\circ.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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a) Para encontrar el ángulo de inclinación mínimo necesario para que el automóvil no se deslice, debemos relacionar ese ángulo con la masa del automóvil, la rapidez y el radio del circuito. Es clave tener en cuenta que estamos ante un objeto que se mueve en círculos; por lo tanto, el objeto tendrá una aceleración radial o “centrípeta”. Este tipo de aceleración apunta hacia el centro del círculo y proviene del hecho de que la dirección del objeto cambia constantemente. Esto se debe a que la aceleración es un cambio en la velocidad y la velocidad es un vector. Por tanto, siempre habrá aceleración si la dirección de la velocidad está cambiando Una vez que esté claro que este es un problema que involucra aceleración radial, sabemos que podemos usar la Segunda Ley de Newton para relacionar esta aceleración radial con las diferentes fuerzas, y al hacerlo, podremos encontrar el ángulo de inclinación lateral.

Para aplicar la Segunda Ley de Newton, comencemos por elegir un sistema de coordenadas. Como es común en problemas de movimiento circular, usaremos un sistema de coordenadas cuyo eje X (este es el eje radial, pero lo llamaremos X) apunta hacia el centro del círculo y cuyo eje Y apunta verticalmente, como se indica en Figura 1.

 

Figura 1: Elegimos el sistema de coordenadas con el eje X apuntando a todos los puntos en el centro de la pista circular y el eje Y positivo apuntando hacia arriba.

La razón para utilizar este sistema es que nos interesa la aceleración radial, que en este caso apunta a lo largo del eje X. Por supuesto, podríamos haber usado un sistema de coordenadas inclinado como los que se usan para situaciones de plano inclinado, pero si hubiéramos hecho esto entonces la aceleración radial no estaría alineada con el eje X y entonces tendríamos que encontrar los diferentes componentes de esta aceleración, lo que complica innecesariamente el problema.

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

Ahora, solo hay dos fuerzas que actúan sobre el automóvil, la fuerza normal producida por el piso, que es perpendicular al piso, y el peso que apunta hacia abajo. Tenga en cuenta que el peso está alineado con el eje Y, por lo que no hay necesidad de encontrar sus componentes; sin embargo, la fuerza normal no está alineada, por lo que tendrá un componente Y y X. Por lo tanto, el diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura 2.

 

Figura 2: diagrama de cuerpo libre para el carro. Las fuerzas mostradas son el peso \(\vec{W} \) y la fuerza de contacto \(\vec{N} \) que es perpendicular a la pista. El ángulo entre la fuerza de contacto y la vertical es el mismo ángulo de inclinación de la pista.

Ahora que tenemos el diagrama de cuerpo libre, podemos aplicar la Segunda Ley de Newton. A lo largo de X solo hay una fuerza, a saber, la componente X de la fuerza normal. Entonces obtenemos

\begin{equation}
\label{Slanted_FuerzasRadiales}
N_x \, \hat{\textbf{i}} = m a_x \, \hat{\textbf{i}},
\end{equation}

donde \(N_x \) es el componente x de la normal y \(a_x \) la aceleración en X (que apunta en la dirección positiva de X, hacia el centro del círculo).

Ahora, estamos buscando el ángulo de inclinación mínimo para que el automóvil no se deslice. El lector podría preguntarse si la condición para que el automóvil no se deslice significa que la aceleración \(a_x \) en la ecuación \eqref{Slanted_FuerzasRadiales} debe ser cero. Después de todo, cuando tenemos un plano inclinado (y nos dicen que el objeto no se desliza), siempre tomamos la aceleración del objeto como cero. Esta es una idea muy común que abordaremos ahora.

Cuando un objeto está simplemente sentado en un plano inclinado, no hay aceleración radial (el objeto no se mueve en círculos), por lo que la condición para no deslizarse significa que la aceleración es de hecho cero. En ese caso, el objeto no bajará por el plano inclinado. Pero si el objeto está en un plano inclinado y al mismo tiempo se mueve en círculos (como se ve desde ‘arriba’, como en el caso del automóvil), entonces el objeto siempre tendrá una aceleración distinta de cero, que es la aceleración radial que apunta hacia el centro del círculo. Pero incluso con un objeto que tiene esta aceleración, aún podría ser cierto que el objeto no se deslizará sobre el plano inclinado (esta es la diferencia crucial con respecto al caso en el que el objeto simplemente está sentado en el plano inclinado: en ese caso cualquier aceleración distinta de cero significa que el objeto se deslizará). Por ejemplo, si el objeto se mueve en círculos muy lentamente, sabemos que comenzará a descender, hacia la parte inferior de la curva. Y si el objeto comienza a bajar, entonces el radio del círculo que el objeto está trazando disminuye (el objeto se acerca al centro del círculo a medida que se mueve hacia la parte inferior de la curva). O si el objeto se mueve muy rápido, comenzará a deslizarse hacia afuera y el radio aumentará. Esto se ilustra en la figura 3.

 

Figura 3: Si el automóvil se desliza, el radio de la trayectoria circular aumentará o disminuirá.

 

Entonces, para un caso de movimiento circular, la condición para no deslizarse no es más que la condición de que el objeto sigue moviéndose en un círculo con un radio constante. En términos prácticos, esto significa que en un caso de movimiento circular, se nos permite usar el radio del círculo dado en la solicitud al calcular la aceleración radial (si el objeto se estuviera deslizando, entonces no se nos permitiría usar ese radio ). Tenga en cuenta que esto es muy diferente de la condición para no deslizarse en el caso de un objeto sentado en un plano inclinado, donde no deslizarse significa “aceleración cero”.

Dicho todo esto, podemos volver a la ecuación \eqref{Slanted_FuerzasRadiales} y tener en cuenta que la aceleración \(a_x \) es la aceleración radial, cuya magnitud está dada por

\begin{equation}
a_r=\frac{v^2}{r},
\end{equation}

donde \(r \) es el radio del círculo y \(v \) la rapidez del objeto. Como acabamos de explicar, la condición para no deslizar significa que estamos justificados en suponer que el radio \(r \) usado en esta ecuación no cambia, por lo que es precisamente el radio del circuito dado en la solicitud (250 metros). Entonces, si usamos este resultado en la ecuación \eqref{Slanted_FuerzasRadiales}, obtenemos

\begin{equation}
\label{Slanted_FuerzasRadiales2}
N_x \, \hat{\textbf{i}} = m \left( \frac{v^2}{r} \right) \, \hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Ahora, observe que el ángulo de la curva inclinada que necesitamos encontrar no aparece en ninguna parte de esta ecuación. Pero esto se debe a que ese ángulo está “oculto” en \(N_x \). En el diagrama de cuerpo libre , vemos que

\begin{equation}
N_x = N \sin \theta,
\end{equation}

donde \(\theta \) es el ángulo que queremos encontrar. Entonces usemos esto en la ecuación \eqref{Slanted_FuerzasRadiales2} y centrémonos en las magnitudes para obtener

\begin{equation}
\label{Slanted_FuerzaRadialParaReemplazar}
N \sin \theta = m \frac{v^2}{r} .
\end{equation}

Conocemos la masa, la rapidez y el radio, pero aún necesitamos encontrar \(N \) para poder encontrar el ángulo. Entonces necesitamos más ecuaciones.

Considere las ecuaciones en Y. A lo largo de Y hay dos fuerzas, la componente Y de la fuerza normal, que es positiva, y el peso, que es negativa. Entonces, la segunda ley de Newton en Y da

\begin{equation}
N_y \, \hat{\textbf{j}} – W \, \hat{\textbf{j}} = m a_y \, \hat{\textbf{j}},
\end{equation}

donde \(N_y \) es el componente Y de la normal, \(W \) el peso y \(a_y \) la aceleración vertical. Ahora bien, no deslizarse significa que el automóvil no sube ni baja. Esto es lo mismo que no cambiar el radio del círculo. Si subiera, el radio aumentaría; si bajara, disminuiría. Entonces, dado que nuestro automóvil no va a ninguna parte, podemos usar que \(a_y \) es cero:

\begin{equation}
\label{Slanted_fuerzasY}
N_y \, \hat{\textbf{j}} – W \, \hat{\textbf{j}} = 0 \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Ahora, del diagrama de cuerpo libre, vemos que

\begin{equation}
N_y = N \cos \theta,
\end{equation}

y entonces la ecuación \eqref{Slanted_fuerzasY} se convierte en

\begin{equation}
\label{Slanted_fuerzasY2}
N \cos \theta \, \hat{\textbf{j}} – W \, \hat{\textbf{j}} = 0 \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Ahora usemos el hecho de que \(W = mg \), y centrémonos en las magnitudes:

\begin{equation}
N \cos \theta – mg = 0 .
\end{equation}

Esto es lo mismo que

\begin{equation}
N \cos \theta = mg.
\end{equation}

Si dividimos por \(\cos \theta \), obtenemos
\begin{equation}
N = \frac{mg}{\cos \theta}.
\end{equation}

Entonces podemos insertar este resultado en la ecuación \eqref{Slanted_FuerzaRadialParaReemplazar} para obtener

\begin{equation}
\left( \frac{mg}{\cos \theta} \right) \sin \theta = m \frac{v^2}{r}
\end{equation}

Dado que \( \sin \theta/ \cos \theta\) es \(\tan \theta\), esto es lo mismo que

\begin{equation}
mg \tan \theta = m \frac{v^2}{r}.
\end{equation}

Si cancelamos la masa y dividimos por \(g \) en ambos lados, obtenemos

\begin{equation}
\tan \theta = \frac{v^2}{rg}.
\end{equation}

Por lo tanto, el ángulo es
\begin{equation}
\theta = \arctan \left( \frac{v^2}{rg} \right)
\end{equation}

Si insertamos los valores numéricos

\begin{equation}
\theta = \arctan \left( \frac{(28 \, \text{m/s})^2}{(250 \, \text{m})(9.8 \, \text{m/s}^2)} \right)
\end{equation}

obtenemos

\begin{equation}
\theta = 17.74 ^\circ.
\end{equation}

b) Ahora necesitamos encontrar el ángulo de inclinación mínimo asumiendo que hay un fricción estática 0.4 entre los neumáticos y el pavimento. Debido a este coeficiente, sabemos que, a diferencia de (a), habrá una fuerza de fricción actuando sobre el automóvil. ¿En qué dirección apunta esta fuerza de fricción?

Bueno, si el automóvil se mueve muy rápido, sabemos que el automóvil tenderá a deslizarse “hacia afuera” (y si va aún más rápido, se desviará y tendrá un accidente). Dado que la fricción estática opone a la dirección en la que el objeto tiende a moverse, inferimos que si el automóvil se mueve muy rápido, la fricción estática apuntará hacia abajo en paralelo al plano, como se ilustra en la figura 4.

Figura 4: Si el automóvil va muy rápido, se desviará hacia afuera y la fricción apuntará hacia adentro paralelamente a la pista.

Por otro lado, si el automóvil se mueve lentamente, tenderá a deslizarse hacia la parte inferior de la curva y, por lo tanto, la fricción en ese caso apuntará hacia arriba paralelamente al plano (ver figura 5).

 

Figura 5: Si el automóvil va muy lento, se deslizará hacia adentro y la fricción será hacia afuera paralela a la pista.

 

Dicho esto, ¿cuál es la dirección de la fricción que nos preocupa en el problema actual?

Bueno, notemos que nos piden el ángulo de inclinación mínimo. Cuanto menor sea el ángulo, más fácil será que el objeto se deslice hacia afuera (esta es la razón por la que los circuitos para autos de carreras tienen curvas muy pronunciadas). Por ejemplo, si el ángulo es cero, el objeto se desviará fácilmente. A medida que aumentamos el ángulo, permitimos que el automóvil se mueva cada vez más rápido sin deslizarse, hasta llegar a un punto en el que el automóvil se mueve tan rápido que todavía se desviará. Entonces, necesitamos encontrar ese ángulo de manera que, para la rapidez dada, el automóvil aún no se deslice hacia afuera. Con esta información, podemos inferir que la fricción estática apuntará hacia abajo en paralelo al plano. Entonces, el diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura 6.

 

Figura 6: diagrama de cuerpo libre para el automóvil a una rapidez tal que el automóvil tiende a deslizarse hacia afuera pero la fricción ejercida lo mantiene en su lugar. Las fuerzas mostradas son el peso \(\vec{W} \), la fuerza de contacto \(\vec{N} \) y la fricción \(\vec{f} _r \). Cada fuerza se descompone a lo largo de los ejes X y Y dados usando el ángulo \(\theta \).

 

Observe en el diagrama que la fricción tiene un componente X.

 

A partir de este punto, todo es muy similar a lo que hicimos en (a). Primero, escribamos la Segunda Ley de Newton en X, pero ahora teniendo en cuenta la nueva fuerza de fricción. En X, esta fuerza tiene un componente positivo, como se muestra en la figura. Por lo tanto, obtenemos

\begin{equation}
\label{primeraS}
N_x \, \hat{\textbf{i}} + f_{rx} \, \hat{\textbf{i}} = m a_x \, \hat{\textbf{i}},
\end{equation}

donde \(N_x \) es el componente X de \(N \), \(fr_x \) es el componente X de la fricción y \(a_x \) el componente X de la aceleración. Ahora, del diagrama de cuerpo libre vemos que

\begin{equation}
N_x=N \sin \theta,
\end{equation}

y tambien que

\begin{equation}
fr_x=fr \cos \theta.
\end{equation}

Usando estas dos expresiones en \eqref{primeraS}, obtenemos

\begin{equation}
N \sin \theta \, \hat{\textbf{i}} + f_r \cos \theta \, \hat{\textbf{i}} = m \frac{v^2}{r} \, \hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Ahora, la magnitud de la fricción estática puede variar según la situación, pero la magnitud máxima de dicha fuerza viene dada por \(fr = \mu N \). Aquí estamos interesados en esa fuerza máxima porque nos interesa el caso en el que el automóvil está a punto de deslizarse hacia afuera (y también en el caso en el que la fricción con el pavimento es máxima). Si usamos esto aquí y nos enfocamos en las magnitudes, obtenemos:

\begin{equation}
N \sin \theta + \mu N \cos \theta = m \frac{v^2}{r}.
\end{equation}

Tome el factor común de \(N \):

\begin{equation}
\label{Slanted_FuerzaRadialConFriccionParaReemplazar}
N ( \sin \theta + \mu \cos \theta ) = m \frac{v^2}{r}.
\end{equation}

Para continuar, necesitamos encontrar una expresión para la fuerza normal (que es diferente de la fuerza normal en (a) porque tenemos fricción). En el diagrama vemos que en Y hay dos fuerzas, la componente Y de la normal, apuntando hacia arriba, y la componente Y de la fricción, apuntando hacia abajo. Entonces, la segunda ley de Newton en Y produce:

\begin{equation}
\label{segundaS}
N_y \, \hat{\textbf{j}} – f_{ry} \, \hat{\textbf{j}} – W \, \hat{\textbf{j}} = m a_y \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

También en el diagrama, vemos que

\begin{equation}
N_y=N \cos \theta,
\end{equation}

y tambien que

\begin{equation}
fr_y=fr \sin \theta.
\end{equation}

Usamos esto en \eqref{segundaS}, y también que la aceleración en Y es cero

\begin{equation}
N \cos \theta \, \hat{\textbf{j}} – f_{r} \sin \theta \, \hat{\textbf{j}} – W \, \hat{\textbf{j}} = 0 \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Ahora, teniendo que \(fr = \mu N \), \(mg = W \), y centrándonos en las magnitudes:

\begin{equation}
N \cos \theta – \mu N \sin \theta – mg = 0.
\end{equation}

Movemos el término \(mg \) al otro lado y tomamos el factor común de \(N \):

\begin{equation}
N ( \cos \theta – \mu \sin \theta ) = mg.
\end{equation}

Ahora dividimos por \( ( \cos \theta – \mu \sin \theta ) \):

\begin{equation}
\label{Slanted_NormalConFriccion}
N = \frac{mg}{ \cos \theta – \mu \sin \theta }.
\end{equation}

Ahora que tenemos una expresión para \(N \), la utilizamos en la ecuación \eqref{Slanted_FuerzaRadialConFriccionParaReemplazar}:

\begin{equation}
\left( \frac{mg}{ \cos \theta – \mu \sin \theta } \right) (\sin \theta + \mu \cos \theta ) = m \frac{v^2}{r}.
\end{equation}

Dividamos por \(g \) y cancelemos la masa:

\begin{equation}
\frac{\sin \theta + \mu \cos \theta}{\cos \theta – \mu \sin \theta} = \frac{v^2}{rg}.
\end{equation}

Necesitamos poder extraer \(\mu \) de esta ecuación, pero en este momento la ecuación parece demasiado complicada. Será útil explotar algunas identidades trigonométricas. Para hacerlo, divida tanto el numerador como el denominador en el lado izquierdo por \(\cos \theta \):

\begin{equation}
\frac{\tan \theta + \mu}{1 – \mu \tan \theta} = \frac{v^2}{rg},
\end{equation}

donde aprovechamos que \(\tan \theta= \sin \theta / \cos \theta\).

Ahora multipliquemos ambos lados por \( (1 – \mu \tan \theta)\):

\begin{equation}
\tan \theta + \mu = \frac{v^2}{rg} (1 – \mu \tan \theta).
\end{equation}

Abrimos el paréntesis de la derecha:

\begin{equation}
\tan \theta + \mu = \frac{v^2}{rg} – \frac{v^2}{rg} \mu \tan \theta.
\end{equation}

Movemos el término \(\frac {v^2}{rg}\mu \tan \theta \) a la izquierda y el término \(\mu \) a la derecha:

\begin{equation}
\tan \theta + \frac{v^2}{rg} \mu \tan \theta = \frac{v^2}{rg} – \mu.
\end{equation}

Ahora tomamos el factor común de \(\tan \theta \):

\begin{equation}
\tan \theta \left( 1 + \frac{v^2\mu}{rg} \right) = \frac{v^2}{rg} – \mu.
\end{equation}

Dividimos todo por \( \left( 1 + \frac{v^2\mu}{rg} \right) \):

\begin{equation}
\tan \theta = \frac{\frac{v^2}{rg} – \mu}{ 1 + \frac{v^2\mu}{rg} }
\end{equation}

Entonces tenemos una expresión para \(\theta \). Luego,

\begin{equation}
\theta = \arctan \left( \frac{\frac{v^2}{rg} – \mu}{ 1 + \frac{v^2\mu}{rg} } \right).
\end{equation}

Finalmente, insertamos los valores numéricos.

\begin{equation}
\theta = \arctan \left( \frac{\frac{(28 \, \text{m/s})^2}{(250 \, \text{m})(9.8 \, \text{m/s}^2)} – (0.2)}{ 1 + \frac{(28 \, \text{m/s})^2(0.2)}{(250 \, \text{m})(9.8 \, \text{m/s}^2)} }\right)
\end{equation}

El resultado es \(\theta = 6.43 ^ \circ \).[/mepr-show]

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