¡Billar!

Calcule la distancia entre la bola y la tronera. Aplique la conservación de la conservación del momento y tenga cuidado con las velocidades de cada bola y sus ángulos correspondientes.

Dados \(L_1 \) y \(L_2 \), podemos escribir el ángulo \(\theta \) como:

\begin{equation*}
\frac{L_2}{L_1} = \tan \theta,
\end{equation*}

Despejando \(\theta \):

\begin{equation*}
\theta = 34.99^\circ.
\end{equation*}

La conservación de momento da \(\vec{P} _{i} = \vec{P} _{f} \), o explícitamente:

\begin{equation}
m_w \vec{v}_{iw}+m_r \vec{v}_{ir}= m_w \vec{v}_{fw}+m_r \vec{v}_{fr},
\end{equation}

donde \(\vec{v}_{ir} = 0 \) y las masas son las mismas. Entonces, para ambos componentes \({x} \) y \({y} \):

\begin{equation*}
\vec{v}_{iw} = \vec{v}_{fw}+ \vec{v}_{fr}.
\end{equation*}

Las dos velocidades en la dirección \({y-} \) se pueden escribir en términos de las variables dadas y el ángulo desconocido como \(v_{fw_y} = v \cos \theta \) y \(v_{fr_y} = v \cos \alpha \), respectivamente. Despejando el componente \({y-} \) y el ángulo desconocido (llamémoslo \(\alpha \)):

\begin{equation}
\frac{v_{iw_y} – v_{fw} \cos ( \theta)}{v_{fr}} = \cos \alpha.
\end{equation}

que con valores numéricos es:

\begin{equation*}
\alpha = 16.10 ^\circ.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

Para determinar si la bola roja entra al agujero superior derecho, necesitamos encontrar la dirección en la que se mueve después de ser golpeada por la bola blanca. Más precisamente, la bola roja solo entraría en el agujero en cuestión si se mueve en la dirección del ángulo \(\theta \) en la figura 1.

 

Figura 1: A la izquierda, vemos el momento justo antes de la colisión donde la bola roja está estática y la bola blanca tiene una velocidad vertical. A la derecha, vemos la trayectoria deseada para la bola roja en términos de las distancias horizontal y vertical \(L_2 \) y \(L_1 \), y el ángulo \(\theta \) requerido para que la bola roja entre en el agujero.

 

Claramente, con \(L_1 \) y \(L_2 \) podemos escribir el ángulo \(\theta \) como:

\begin{equation}
\frac{L_2}{L_1} = \tan \theta.
\end{equation}

Si usamos los valores numéricos para \(L_1 \) y \(L_2 \), obtenemos:

\begin{equation}
\frac{(0.7 \, \text{m})}{(1 \, \text{m})} = \tan \theta.
\end{equation}

Por lo tanto, el ángulo es

\begin{equation}
\arctan{ \frac{0.7}{1} } = \theta,
\end{equation}

o

\begin{equation}
\theta = 34.99^\circ.
\end{equation}

Entonces, todo se reduce a encontrar si la dirección de movimiento de la bola roja, después de la colisión, viene dada por un ángulo de \(34,99^\circ \).

Dado que ya conocemos las velocidades inicial y final de la bola blanca, usaremos la conservación del momento lineal para encontrar la dirección de movimiento de la bola roja.

El momento lineal de un sistema se conserva si la fuerza externa total sobre el sistema es cero. Particularmente para nuestro caso, el momento lineal de un sistema a lo largo de una cierta dirección se conserva si la fuerza externa total sobre el sistema en esa dirección es cero. Es conveniente tratar las dos bolas como un solo sistema porque la fuerza externa total sobre las dos bolas es cero (asumimos que no hay fricción). Observe que si tuviéramos que elegir solo una bola como sistema, el momento lineal no se conservaría porque la otra bola ejercería una fuerza externa durante la colisión. Pero en conjunto, las fuerzas durante la colisión entre las bolas son internas al sistema, y no hay nada de qué preocuparse (el momento lineal se conservaría).

La conservación del momento lineal establece que

\begin{equation}
\label{first}
\vec{P}_{i}=\vec{P}_{f},
\end{equation}

donde \(\vec{P} _{i} \) es el momento inicial del sistema y \(\vec{P} _{f} \) es el momento final. Usando la definición de momento lineal, tenemos

\begin{equation}
m_w \vec{v}_{iw}+m_r \vec{v}_{ir}= m_w \vec{v}_{fw}+m_r \vec{v}_{fr},
\end{equation}

donde hemos utilizado el subíndice ‘w’ para la masa, velocidad inicial y la velocidad final de la bola blanca, y ‘r’ para la masa, velocidad inicial y la velocidad final de la bola roja.

Ahora podemos usar el hecho de que la velocidad inicial de la bola roja es cero, y también podemos usar el hecho de que las masas son las mismas. Entonces, podemos cancelarlas:

\begin{equation}
\vec{v}_{iw}= \vec{v}_{fw}+\vec{v}_{fr}.
\end{equation}

Ahora, dado que este es un problema bidimensional (las bolas pueden moverse en diferentes direcciones sobre la mesa), es importante distinguir entre el momento en X y el momento en Y. En ambos casos, se conserva, por lo que

\begin{equation}
\vec{v}_{iw_x}= \vec{v}_{fw_x}+\vec{v}_{fr_x},
\end{equation}

y

\begin{equation}
\vec{v}_{iw_y}= \vec{v}_{fw_y}+\vec{v}_{fr_y}.
\end{equation}

Para usar estas ecuaciones, insertemos un sistema de coordenadas con el eje Y apuntando en la dirección en la que se mueve inicialmente la bola blanca, como se muestra en la figura 2.

 

Figura 2: Colocamos el sistema de coordenadas en la mesa de manera que el eje Y sea vertical y el eje X horizontal. La velocidad inicial de la bola blanca es a lo largo del eje Y.

 

Según este sistema, las velocidades finales de la bola blanca y la bola roja tendrán una componente X y una componente Y, como se ilustra en la figura 3.

 

Figura 3: Velocidades finales de ambas bolas y sus componentes. A la izquierda, vemos las velocidades de la bola blanca y a la derecha las velocidades de la bola roja.

 

Observe que en el sistema de coordenadas utilizado, la velocidad inicial de la bola blanca es positiva en Y, y la componente Y de su velocidad final también es positiva. Por otra parte, la bola roja comenzará a moverse con cierta velocidad positiva en Y y una cierta velocidad (positiva o negativa) en X. Por lo tanto, para el momento lineal en Y, tenemos

\begin{equation}
\label{Billiard_conservacionX}
v_{iw_y} \, \hat{\textbf{i}} =v_{fw_y} \, \hat{\textbf{j}} +v_{fr_y} \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Ahora, en el diagrama anterior, vemos que la componente Y de las velocidades finales está dada por

\begin{equation}
\label{Billiard_vf_wx}
v_{fw_y} = v_{fw} \cos (30 ^\circ),
\end{equation}

y

\begin{equation}
\label{Billiard_vf_rx}
v_{fr_y} = v_{fr} \cos \alpha,
\end{equation}

donde \(v_{fw} \) es la rapidez final de la bola blanca y \(v_{fr} \) la rapidez final de la bola roja. Además, hemos llamado \(\alpha \) el ángulo que forma la bola roja con el eje Y (este es el ángulo que queremos comparar con \(\theta = 34.99^\circ \)).

 

Si utilizamos las ecuaciones \eqref{Billiard_vf_wx} y \eqref{Billiard_vf_rx} en la ecuación \eqref{Billiard_conservacionX} y nos centramos solo en magnitudes, obtenemos

\begin{equation}
v_{iw_y} = v_{fw} \cos (30 ^\circ) + v_{fr} \cos \alpha .
\end{equation}

 

Entonces movamos el término \(v_{fw} \cos 30 \) al lado izquierdo para obtener

\begin{equation}
v_{iw_y} – v_{fw} \cos (30 ^\circ) = v_{fr} \cos \alpha.
\end{equation}

Si dividimos por \(v_{fr} \), obtenemos

\begin{equation}
\frac{v_{iw_y} – v_{fw} \cos (30 ^\circ)}{v_{fr}} = \cos \alpha.
\end{equation}

Si insertamos los valores numéricos, obtenemos

\begin{equation}
\frac{(1 \,\text{m/s}) – (0.6 \,\text{m/s}) \cos (30 ^\circ)}{(0.5 \,\text{m/s})} = \cos \alpha.
\end{equation}

Es decir,

\begin{equation}
\arccos ( 0.96 ) = \alpha,
\end{equation}

para finalmente obtener

\begin{equation}
\alpha = 16.10 ^\circ.
\end{equation}

Observe que \(\alpha \) no es igual a \(\theta = 34.99^\circ \), por lo que podemos inferir que la bola roja no entra en el agujero.

 

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