Salto con Pértiga

a) La Ley de Conservación de la Energía se puede escribir como:

\begin{equation*}
E_{m_i} = E_{m_f}.
\end{equation*}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

En este caso:

\begin{equation*}
\frac{1}{2} m v_i^2 = mgh.
\end{equation*}

Despejando para \(v \), tenemos:

\begin{equation*}
v = \sqrt{2gh},
\end{equation*}

que con valores numéricos es:

\begin{equation*}
v = 10.87 \, \text{m/s}.
\end{equation*}

b) La velocidad encontrada no está en función de la masa \(m \). Entonces:

\begin{equation*}
v = 10.87 \, \text{m/s}.
\end{equation*}

c) Con la misma ecuación para la conservación de energía que se escribió en el inciso a), pero despejando \(h \), obtenemos:

\begin{equation*}
h = \frac{v_i^2}{2g}.
\end{equation*}

Al introducir valores numéricos se obtiene:

\begin{equation*}
h = 7.97 \, \text{m}.
\end{equation*}

[/mepr-show]

a) Para encontrar la rapidez mínima que Thiago necesitaba tener justo antes de usar la pértiga, debemos usar la conservación de energía. ¿Por qué? Porque la energía en el punto en que Thiago comienza a usar la pértiga debe ser la misma que la energía en el punto más alto del salto (nos dicen que no se pierde energía en el salto). Por eso,

\begin{equation}
\label{Olympics_energias}
E_{m_i} = E_{m_f}.
\end{equation}

Ahora, usemos un sistema de coordenadas ubicado en el piso (ver figura 1), de modo que inicialmente Thiago no tenga energía potencial gravitacional (su altura \(h \) sea cero, entonces \(mgh = 0 \)):

Figura 1: Colocamos el sistema de coordenadas en el suelo en la posición inicial de Thiago.

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

Dado que no hay energía potencial gravitacional, inicialmente la energía mecánica es

\begin{equation}
\label{Olympics_energiaInicial}
E_{m_i} = \frac{1}{2} m v_i^2.
\end{equation}

Cuando Thiago esté en el punto máximo del salto, tendrá energía potencial gravitacional (la altura ya no es cero). En general, se moverá con cierta rapidez y, por lo tanto, también tendrá algo de energía cinética. Sin embargo, tenga en cuenta que nos piden la rapidez mínima inicial. Claramente, hay muchas velocidades iniciales posibles (teóricamente infinitas) que permitirían a Thiago alcanzar los 6.03 metros de altura. Una rapidez inicial muy alta le dará a Thiago una rapidez considerable en el punto de la marca de 6.03 metros. Una rapidez inicial menor resultará en una rapidez menor en la marca de 6.03 metros. La rapidez inicial mínima corresponde a una rapidez con la que Thiago apenas se mueve en el punto donde alcanza los 6.03 metros (si la rapidez inicial fuera aún más lenta que esta mínima, Thiago no tendría la energía suficiente para saltar tan alto). Para esa rapidez mínima, podemos tomar la rapidez de Thiago en la marca de 6.03 metros como aproximadamente cero (especialmente en comparación con la rapidez inicial), por lo que su energía cinética en ese punto también será cero (\(\frac{1}{2}mv_f^2 = 0 \) porque \(v_f = 0 \)). Entonces, la energía mecánica final es únicamente energía potencial gravitacional.

\begin{equation}
E_{m_f} = mgh.
\end{equation}

Usando este resultado y \eqref{Olympics_energiaInicial} en la ecuación \eqref{Olympics_energias} , obtenemos

\begin{equation}
\label{Olympics_ConservacionEnergia}
\frac{1}{2} m v_i^2 = mgh.
\end{equation}

Si dividimos por \(m \) en todas partes y multiplicamos por 2, obtenemos

\begin{equation}
v^2 = 2gh.
\end{equation}

Finalmente, sacamos la raíz cuadrada:

\begin{equation}
\label{Olympics_velocidad}
v = \sqrt{2gh}.
\end{equation}

Todo lo que tenemos que hacer es insertar los valores numéricos:

\begin{equation}
v = \sqrt{2(9.8 \, \text{m/s}^2) (6.03 \, \text{m})}.
\end{equation}

El resultado es

\begin{equation}
v = 10.87 \, \text{m/s}.
\end{equation}

Tenga en cuenta que la ecuación \(v = \sqrt{2gh} \) es también la ecuación para la rapidez de un objeto que se libera desde una altura \(h \).

b) Thiago pesa 5 kilogramos más ahora, ¿qué tan rápido tiene que correr para dar el salto? De la ecuación \eqref{Olympics_velocidad} vemos que la rapidez inicial solo depende de la altura del salto y \(g \). Entonces, ¡la masa de Thiago es irrelevante! En otras palabras, la rapidez mínima para realizar el salto es exactamente la misma sin importar cuán masiva sea la persona.

El lector podría pensar que esto es extraño: ¿no sería más difícil para una persona más pesada saltar una cierta altura que para una persona más liviana? Pues resulta que lo que importa es la rapidez al momento de usar la pértiga, no la masa. Por supuesto, para una persona más pesada podría ser más difícil alcanzar una rapidez dada en la misma cantidad de tiempo, después de todo, la aceleración es inversamente proporcional a la masa (según la Segunda Ley de Newton). Pero suponiendo que los atletas más pesados y más ligeros tengan la misma rapidez en el momento de iniciar el salto, ambos deberían poder alcanzar la misma altura (asumiendo, por supuesto, que no se pierda energía durante el salto).

c) Ahora, averigüemos la altura del salto en el caso de que la rapidez inicial fuera la de alguien corriendo tan rápido como Usain Bolt. Para hacer esto, comenzamos con la ecuación \eqref{Olympics_ConservacionEnergia} . Escribámosla aquí de nuevo

\begin{equation}
\label{Olympics_ConservacionEnergia2}
\frac{1}{2} m v_i^2 = mgh.
\end{equation}

Ahora cancele la masa y divida por \(g \),

\begin{equation}
\frac{v_i^2}{2g} = h.
\end{equation}

Si insertamos los valores numéricos

\begin{equation}
\frac{(12.5 \, \text{m/s})^2}{2 (9.8 \, \text{m/s}^2)} = h
\end{equation}

obtenemos

\begin{equation}
7.97 \, \text{m} = h.
\end{equation}

¡Tenga en la cuenta que esto es casi dos metros más alto que el récord de Thiago!

[/mepr-show]

You need to be registered and logged in to take this quiz. Log in