¡Cubitos de hielo en un vaso!

Por calorimetría, combine la ecuación de calor para los 3 objetos involucrados y resuelva para la temperatura final.

La cantidad de calor requerida para que un objeto aumente su temperatura viene dada por:

\begin{equation*}
Q = m c (T_f – T_i),
\end{equation*}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

donde en este caso el intercambio de calor para los tres objetos involucrados (el agua, el vaso y el hielo) se puede escribir como:

\begin{equation*}
Q_w + Q_g + Q_{\text{ice}} = 0.
\end{equation*}

Todos los objetos tendrán la temperatura final como \(T_f\). Escribiendo cada calor como la primera ecuación y despejando \(T_f\) después de mucho álgebra obtenemos:

\begin{equation*}
T_f = \frac{m_w c_w T_{i,w} + m_g c_g T_{i,g} + m_{\text{ice}} c_{\text{ice}} T_{i, ice}}{m_w c_w + m_g c_g + m_{\text{ice}} c_{\text{ice}}}.
\end{equation*}

Con valores numéricos:

\begin{equation*}
T_f = 6.53\, ^{\circ} \text{C}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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El problema nos pide que encontremos la temperatura final del sistema después de que haya alcanzado el equilibrio térmico. Cuando el vaso y el agua entren en contacto con los cubitos de hielo, habrá una transferencia neta de calor entre estos objetos hasta que todos alcancen la misma temperatura. Para encontrar la temperatura final del sistema, necesitamos relacionar el calor liberado o absorbido por todos los componentes del sistema. Luego, podemos relacionar el calor con el cambio de temperatura de cada material usando sus masas y capacidades caloríficas específicas. Finalmente, podemos resolver las temperaturas finales a partir de esta expresión.

Primero, asumiremos que el sistema compuesto por el agua, el vaso y los cubitos de hielo está aislado. En otras palabras, no hay intercambio de calor entre estos objetos y el entorno. Esto se puede escribir como

\begin{equation}
\label{EQ:1}
Q = 0,
\end{equation}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

donde Q es el calor intercambiado por todos los componentes del sistema y, por lo tanto, se puede escribir como

\begin{equation}
Q = Q_w + Q_g + Q_{\text{ice}},
\end{equation}

donde \(Q_w, Q_g\) y \(Q_{\text{ice}}\) representan el calor intercambiado por el agua, el vidrio y el hielo, respectivamente. Después de insertar esto en la ecuación. \eqref{EQ:1} , obtenemos

\begin{equation}
\label{EQ:2}
Q_w + Q_g + Q_{\text{ice}} = 0.
\end{equation}

Esta ecuación se puede interpretar de la siguiente manera: dado que no hay intercambio de calor con el entorno, solo puede haber intercambio de calor entre los componentes del sistema. En otras palabras, si un objeto en el sistema libera calor, debe ser absorbido por otros objetos en el sistema. Aquí, el calor liberado por el vaso y el agua serán absorbidos por los cubitos de hielo. Además, dado que ambos cubitos de hielo están a la misma temperatura, podemos considerarlos como un solo componente con su masa correspondiente a la masa agregada de ambos cubitos de hielo.

Ahora, debemos relacionar el calor intercambiado por cada componente con su cambio de temperatura. La cantidad de calor que se requiere que un objeto de masa \(m\) absorba (o libere) de modo que su temperatura aumente (o disminuya) de \(T_i\) a \(T_f\) está dada por

\begin{equation}
\label{EQ:3}
Q = m c (T_f – T_i),
\end{equation}

donde \(c\) es la capacidad calorífica específica del objeto. Es una constante que depende del tipo de material.

Ahora, debemos escribir el calor intercambiado por cada elemento en términos de sus temperaturas inicial y final usando la ecuación. \eqref{EQ:3}. Antes de saltar a eso, observe que habrá intercambio de calor entre los componentes del sistema hasta que alcancen el equilibrio térmico. En este punto, sus temperaturas finales serán las mismas. Por lo tanto, usaremos \(T_f\) para denotar la temperatura final de todos los componentes. Esta es la variable que deberíamos resolver.

Ahora, para el vaso, la ecuación \eqref{EQ:3} Se puede escribir como

\begin{equation}
\label{EQ:4}
Q_g = m_g c_g (T_f – T_{i,g}),
\end{equation}

donde \(m_g\) es la masa del vidrio, \(c_g\) es su calor específico y \(T_f\) y \(T_{i,g}\) son las temperaturas del vidrio después y antes de que el agua sea agregada, respectivamente. Del mismo modo, para los cubitos de hielo tenemos

\begin{equation}
\label{EQ:5}
Q_{\text{ice}} = m_{\text{ice}} c_{\text{ice}} (T_f – T_{i, ice}),
\end{equation}

donde \(m_{\text{ice}}\) representa la masa combinada de ambos cubitos de hielo, \(c_{\text{ice}}\) es el calor específico del hielo (¡que es diferente al calor específico del agua líquida!), \(T_f\) es la temperatura final del sistema y \(T_{i,ice}\) es la temperatura inicial temperatura de los cubitos de hielo. Finalmente, para el agua, podemos escribir la ecuación. \eqref{EQ:3} como

\begin{equation}
\label{EQ:6}
Q_w = m_w c_w (T_f – T_{i,w}),
\end{equation}

donde \(m_w\) es la masa del agua, \(c_w\) es su calor específico y \(T_{i,w}\) es su temperatura inicial, respectivamente.

Si sustituimos las ecuaciones. \eqref{EQ:4} , \eqref{EQ:4} y \eqref{EQ:6} en la ecuación \eqref{EQ:2} , obtenemos

\begin{equation}
m_w c_w (T_f – T_{i,w}) + m_g c_g (T_f – T_{i,g}) + m_{\text{ice}} c_{\text{ice}} (T_f – T_{i, ice}) = 0.
\end{equation}

Deberíamos resolver esta ecuación para \(T_f\). Si distribuimos los productos sobre las restas de temperaturas, obtenemos

\begin{equation}
m_w c_w T_f – m_w c_w T_{i,w} + m_g c_g T_f – m_g c_g T_{i,g} + m_{\text{ice}} c_{\text{ice}} T_f – m_{\text{ice}} c_{\text{ice}} T_{i, ice} = 0.
\end{equation}

Ahora, reordenando la ecuación para que solo los términos que contengan \(T_f\) estén en un lado de la ecuación, se obtiene

\begin{equation}
m_w c_w T_f + m_g c_g T_f + m_{\text{ice}} c_{\text{ice}} T_f = m_w c_w T_{i,w} + m_g c_g T_{i,g} + m_{\text{ice}} c_{\text{ice}} T_{i, ice}.
\end{equation}

Factorizando \(T_f\) nos da

\begin{equation}
(m_w c_w + m_g c_g + m_{\text{ice}} c_{\text{ice}}) T_f = m_w c_w T_{i,w} + m_g c_g T_{i,g} + m_{\text{ice}} c_{\text{ice}} T_{i, ice},
\end{equation}

y después de dividir por el término entre paréntesis, obtenemos

\begin{equation}
T_f = \frac{m_w c_w T_{i,w} + m_g c_g T_{i,g} + m_{\text{ice}} c_{\text{ice}} T_{i, ice}}{m_w c_w + m_g c_g + m_{\text{ice}} c_{\text{ice}}}.
\end{equation}

Ahora, observe que antes de agregar el agua, los cubitos de hielo y el vaso estaban en contacto. Dado que no se proporciona más información, asumiremos que estuvieron en contacto el tiempo suficiente como para estar en equilibrio térmico cuando se agregó el agua. Bajo este supuesto, sus temperaturas iniciales son las mismas, es decir

\begin{equation}
T_{i, ice} = T_{i,g} = -5\, ^{\circ} C.
\end{equation}

Además, la densidad del agua es \(1 \frac{\text{g}}{\text{mL}}\). Por lo tanto, la masa de 100 ml de agua es \(100 \ \text{g}= 0.1 \ \text{kg},\). Teniendo esto en cuenta, si insertamos valores numéricos, obtenemos

\begin{equation}
T_f = \frac{((0.1 \ \text{kg})(4180 \ \frac{\ \text{J}}{\ \text{kg} \, ^{\circ}{\text{C}>(10 \, ^{\circ}{\text{C> + (0.1 \ \text{kg})(840\ \frac{\, \text{J} }{\ \text{kg} \, ^{\circ}{\text{C}}} \, ^{\circ}{\text{C>)(-5 \, ^{\circ}{\text{C> + 2(0.01 \ \text{kg})(2093 \frac{\ \text{J}}{\ \text{kg} \, ^{\circ}{\text{C}>)(-5 \, ^{\circ}{\text{C> )}{((0.1 \ \text{kg})(4180\ \ \frac{\ \text{J}}{\ \text{kg} \, ^{\circ}{\text{C}}} \, ^{\circ}{\text{C>) + (0.1 \ \text{kg})(840\ \frac{\ \text{J}}{\ \text{kg} \, ^{\circ}{\text{C}}} \, ^{\circ}{\text{C>) + 2(0.01 \ \text{kg})(2093\ \frac{\ \text{J}}{\ \text{kg} \, ^{\circ}{\text{C}}} \, ^{\circ}{\text{C>},
\end{equation}

que es equivalente a

\begin{equation}
T_f = 6.53\, ^{\circ} \text{C}.
\end{equation}

Como era de esperar, la temperatura final está entre la temperatura inicial del vaso y los cubitos de hielo (-5 \(\, ^{\ circ}\)C), y la temperatura inicial del agua (10 \(\, ^{\circ}\)C).

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