¡Peso aparente!

a) Utilice la segunda ley de Newton para relacionar las fuerzas en el problema.

b) Usando las relaciones obtenidas, despeje la masa \(m_A \).

a) La fuerza de flotación es:

\begin{equation*}
\vec{F}_B = \rho_f V_{\text{sub}} g,
\end{equation*}

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La segunda ley de Newton en el bloque es:

\begin{equation*}
T + F_B – m_A g = 0.
\end{equation*}

Para el líquido y el recipiente tenemos:

\begin{equation*}
N – F_B – m_F g = 0.
\end{equation*}

Dado que \(T = m_B g\) y \(N = m_C g \), combinando ambas ecuaciones y despejando la densidad \(\rho_f\) obtenemos:

\begin{equation*}
\rho_f=\frac{m_C-m_f}{V},
\end{equation*}

que con valores numéricos es:

\begin{equation*}
\rho_f= 1275 \, \text{kg/m}^3.
\end{equation*}

b) Con la segunda ley de Newton para el bloque es:

\begin{equation*}
m_Bg+\rho_fVg -m_A g=0.
\end{equation*}

Resolviendo para \(m_A\) obtenemos:

\begin{equation*}
m_A = m_B+\rho_fV,
\end{equation*}

que con valores numéricos es:

\begin{equation*}
m_A = 2.51 \, \text{kg}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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a) Necesitamos encontrar la densidad del líquido. Para abordar la solución de este problema, examinaremos las fuerzas ejercidas sobre el bloque A y sobre el recipiente+líquido Luego, usaremos el principio de Arquímedes para evaluar la fuerza de flotabilidad y resolver las incógnitas.

Primero, identifiquemos las fuerzas ejercidas sobre el bloque. Tenemos el peso \(\vec{W} \), la tensión de la báscula B \(\vec{T} \) y la fuerza de flotación \(\vec{F}_B\), como se ve en el diagrama de cuerpo libre de la figura 1.

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

Figura 1: Bloque totalmente sumergido en equilibrio. Colocamos el sistema de coordenadas de manera que el eje Y apunte hacia arriba. Se muestran las fuerzas ejercidas sobre el bloque: la fuerza de flotación \(\vec{F} _B\), la tensión \(\vec{T}\) y el peso \(\vec{W}\).

Para el fluido+recipiente, tenemos el peso \(\vec{W} _F\), la fuerza de contacto con la báscula C \(\vec{N} \) y, según la tercera ley de Newton, la fuerza de flotación ejercida por el bloque sobre el fluido. Tiene la misma magnitud que \(\vec{F}_B\), pero tiene la dirección opuesta, como se ve en la figura 2.

Figura 2: Diagrama de cuerpo libre para el líquido y el recipiente. Colocamos el sistema de coordenadas de manera que el eje Y apunte hacia arriba. Se muestran las fuerzas ejercidas sobre el fluido: la fuerza de flotación \(\vec{F}_B\), la fuerza de contacto con la báscula C \(\vec{N}\) y el peso \(\vec{W}_F\).

Ahora podemos aplicar la segunda ley de Newton a ambos (bloque y fluido + recipiente). La segunda ley de Newton en el caso estático (en el caso de que la aceleración \(\vec{a}\) es cero) es

\begin{equation}
\sum \vec{F}=m\vec{a},
\end{equation}

\begin{equation}
\label{newton}
\sum \vec{F}=\vec{0},
\end{equation}

donde \(m\) es la masa del objeto, que estamos analizando y \(\sum \vec{F}\) es la suma de todas las fuerzas ejercidas sobre ese objeto.

Para el bloque, ecuación \eqref{newton} dice que:

\begin{equation}
\label{newtonblock}
\vec{W}+\vec{T}+\vec{F}_B=\vec{0}.
\end{equation}

Para la ecuación fluido + recipiente \eqref{newton} Se puede escribir como

\begin{equation}
\label{newtonfc}
\vec{W}_f+\vec{N}+\vec{F}_B’=\vec{0},
\end{equation}

donde \(\vec{F}_B’\) tiene la misma magnitud que la fuerza de flotación \(\vec{F}_B\) pero con dirección opuesta.

El peso en ambos casos está dirigido en el eje Y negativo y tiene magnitud \(mg\) donde \(m\) es la masa del objeto y \(g\) la aceleración gravitacional. Explícitamente,

\begin{equation}
\label{weightblock}
\vec{W}=-m_Ag\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}

donde \(m_A\) es la masa del bloque A. Para el fluido + recipiente

\begin{equation}
\label{weightfc}
\vec{W}_f=-m_f g\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}

donde \(m_f\) es la masa conjunta de fluido + recipiente.

Para la fuerza de flotación usamos el principio de Arquímedes para escribir

\begin{equation}
\label{buo}
\vec{F}_B=\rho_{f}V_{\text{sub}}g\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}

donde \(\rho_f\) es la densidad del fluido y \(V_{\text{sub}}\) es el volumen sumergido en el fluido, en este caso el volumen total \(V\), como se ve en la primera figura. Por lo tanto, debido a la tercera ley de Newton, la fuerza \(\vec{F}_B’\) es

\begin{equation}
\label{buop}
\vec{F}_{B}’=-\rho_fV_{\text{sub}}g\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Para encontrar la tensión \(\vec{T}\) ejercida por la báscula B, debemos multiplicar la masa aparente que se puede leer en la báscula por la constante gravitacional, es decir

\begin{equation}
\label{tension}
\vec{T}=m_Bg\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}

donde \(m_B\) es la masa reportada en la báscula B.

Una expresión para \(\vec{N}\) se puede encontrar de manera similar, multiplicando el valor de la masa reportada por la báscula \(m_C\) por la aceleración gravitacional \(g\), explícitamente

\begin{equation}
\label{normal}
\vec{N}=m_Cg\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Usando los resultados explícitos para las fuerzas de las ecuaciones \eqref{weightblock} , \eqref{buo} y \eqref{tension} en la ecuación \eqref{newtonblock} , obtenemos

\begin{equation}
-m_Ag\,\hat{\textbf{j}}+m_Bg\,\hat{\textbf{j}}+\rho_f Vg\,\hat{\textbf{j}}=\vec{0},
\end{equation}

donde notamos que todas las fuerzas están a lo largo del eje Y, entonces podemos omitir la notación vectorial y escribir

\begin{equation}
\label{newtonblock2}
-m_Ag+m_Bg+\rho_fVg=0.
\end{equation}

Usando el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el fluido + recipiente dado por las ecuaciones \eqref{weightfc} , \eqref{buop} y \eqref{normal} en la ecuación \eqref{newtonfc} , obtenemos

\begin{equation}
-m_fg\,\hat{\textbf{j}}+m_Cg\,\hat{\textbf{j}}+\rho_fVg\,\hat{\textbf{j}}=\vec{0},
\end{equation}

donde podemos omitir la notación vectorial ya que todas las fuerzas se ejercen a lo largo del mismo eje, por lo tanto

\begin{equation}
\label{newtonfc2}
-m_fg+m_Cg-\rho_fVg=0.
\end{equation}

La densidad del fluido se puede resolver con la ecuación \eqref{newtonfc2} como

\begin{equation}
\rho_f=\frac{m_Cg-m_fg}{Vg},
\end{equation}

donde podemos cancelar el término \(g\) en el numerador y denominador para obtener

\begin{equation}
\rho_f=\frac{m_C-m_f}{V}.
\end{equation}

Usando los valores numéricos en unidades SI (\(V=4\times 10^{-3}\,\text{m}^3.\)), Obtenemos

\begin{equation}
\rho_f=\frac{8.9\,\text{kg}-3.8\,\text{kg}}{4\times10^{-3}\,\text{m}^3},
\end{equation}

\begin{equation}
\rho_f=1275\,\text{kg/m}^3.
\end{equation}

b) La masa real del bloque A \(m_A\) se puede calcular a partir de la ecuación \eqref{newtonblock2} como

\begin{equation}
m_A=\frac{m_Bg+\rho_f Vg}{g},
\end{equation}

donde podemos simplificar el término \(g\) para escribir

\begin{equation}
m_A=m_B+\rho_fV.
\end{equation}

Usando los valores numéricos en unidades SI, obtenemos

\begin{equation}
m_A=2\,\text{kg}+(1275\,\text{kg/m}^3)(4\times 10^{-4}\,\text{m}^3),
\end{equation}

\begin{equation}
m_A=2.51\,\text{kg}.
\end{equation}

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