Torre de Cali!

(a) Observe que el tiempo total que transcurre entre el momento en que se suelta la primera pelota y el momento en que las pelotas se encuentran se puede escribir en términos de los otros dos intervalos de tiempo que necesita encontrar. Observe también que este tiempo total es diferente del tiempo total que transcurre entre el momento en que se suelta la segunda pelota y el momento en que las pelotas se encuentran de nuevo. Además, si las pelotas se encuentran, sus posiciones finales deben ser las mismas. Finalmente, observe que ambas pelotas caen con una aceleración constante.

(b) Use el tiempo calculado para la segunda pelota para encontrar la altura.

(a) Defina \(t_g\) y \(t_b\) como el tiempo que tarda la primera pelota en llegar al suelo y rebotar para encontrarse con la segunda pelota, respectivamente. Llamemos a este tiempo total ‘\(t_{m1}\)’:

\begin{equation*}
t_{m1} = t_g + t_b.
\end{equation*}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

Defina también \(t_d\) el tiempo de retraso y \(t_{m2}\) el tiempo para que la segunda pelota se encuentre con la primera pelota:

\begin{equation*}
t_{m2} = t_{m1} – t_d = t_g + t_b – t_d.
\end{equation*}

El movimiento de un objeto con aceleración gravitacional constante se describe mediante la ecuación:

\begin{equation*}
\vec{y}_f = \frac{1}{2} \vec{a} t^2 + \vec{v}_i t + \vec{y}_i.
\end{equation*}

Usando los valores correspondientes, despejando \( t_g \) tenemos:

\begin{equation*}
t_g = \sqrt{\frac{2 y_i}{g}}.
\end{equation*}

Para encontrar \(t_b\) necesitamos encontrar la rapidez inicial de la parte que rebota y reemplazarla en la ecuación de movimiento descrita anteriormente. Relacionamos las posiciones finales de las pelotas así:

\begin{equation*}
\vec{y}_{f1}(t_b)=\vec{y}_{f2}(t_b),
\end{equation*}

y usando el tiempo \(t_{m2}\) en términos de \(t_g, t_b\) y \(t_d\), después de mucha álgebra podemos obtener:

\begin{equation*}
t_b = \frac{1}{2} t_d,
\end{equation*}

lo que nos lleva a:

\begin{equation*}
t_{m2} = \sqrt{\frac{2 y_i}{g}} – \frac{1}{2} t_d,
\end{equation*}

que con valores numéricos es:

\begin{equation*}
t_{m2} = 4.11 \, \text{s}.
\end{equation*}

(b) Encontrar la altura a la que se encuentran las pelotas es muy fácil una vez que sabemos el momento en el que esto sucede. Usando el tiempo en la ecuación de movimiento obtenemos:

\begin{equation*}
y_{f1} = 100.18 \, \text{m}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

[/mepr-show]

(a) Necesitamos encontrar el tiempo entre el momento en que se suelta la segunda pelota y el momento en que las dos pelotas se encuentran. Por supuesto, las pelotas sólo se encontrarán después de que la primera pelota de tenis rebote en el suelo y comience a subir. Tenga en cuenta que es importante distinguir entre el movimiento de la primera pelota al bajar, su movimiento después de que rebota en el suelo y el movimiento de la segunda pelota al bajar. También es muy importante distinguir entre los diferentes intervalos de tiempo en cuestión. De hecho, hay cuatro intervalos de tiempo diferentes que debemos distinguir:

(1) Un intervalo de tiempo, que se puede llamar \(t_g\), corresponde al tiempo que transcurre entre el momento en que se suelta la primera pelota y el momento en que la pelota toca el suelo.

(2) Un intervalo de tiempo diferente, que se puede llamar \(t_b\), corresponde al tiempo que pasa entre el momento en que la primera pelota toca el suelo y el momento en que se encuentra con la segunda pelota (se encuentran cuando la primera pelota sube después de rebotar y la segunda pelota va hacia abajo).

(3) Claramente, si sumamos \(t_g\) y \(t_b\), obtenemos el tiempo total que transcurre entre el momento en que se suelta la primera pelota y el momento en que las dos pelotas se encuentran. Llamemos a este tiempo total ‘\(t_{m1}\)’:

\begin{equation}
\label{KinBuilding_tiempoTotalBola1}
t_{m1} = t_g + t_b.
\end{equation}

(4) Un cuarto intervalo de tiempo que debemos tener en cuenta corresponde al tiempo que realmente necesitamos encontrar: el tiempo total que transcurre entre el momento en que se suelta la segunda pelota y el momento en que las pelotas se vuelven a encontrar. Esta vez, llamémoslo `\(t_{m2}\) ‘, es diferente de \(t_{m1}\) (explicado arriba) porque la segunda pelota se suelta cuatro segundos después de la primera. Por ejemplo, si el tiempo total que transcurre desde el momento en que se suelta la primera pelota hasta el momento en que las dos pelotas se encuentran es diez segundos (esto es \(t_{m1}\)), luego el tiempo total que pasa desde el momento en que \textit{second} la pelota se suelta hasta el momento en que las dos pelotas se encuentran son sólo seis segundos (esto es \(t_{m2}\)). Más precisamente, estos tiempos están relacionados mediante la siguiente ecuación:

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

\begin{equation}
\label{KinBuilding_tiempoTotalBola2}
t_{m2} = t_{m1} – t_d,
\end{equation}

donde \(t_d \) es el retraso entre las dos pelotas (sabemos que son cuatro segundos, pero usaremos el valor numérico al final).

Puede resultar útil crear un dibujo que ilustre los diferentes momentos en cuestión (consulte la figura 1).

Figura 1: Las tres figuras muestran la posición de las bolas en diferentes momentos. A la izquierda, mostramos la posición en el tiempo \( t_g \). En la figura central, mostramos la posición en el tiempo \( t_b \). En la figura de la derecha, mostramos la posición en el tiempo \( t_{m1} \) para la primera pelota de tenis y \( t_{m2} \) para la segunda pelota de tenis.

Usemos la ecuación \eqref{KinBuilding_tiempoTotalBola1} en la ecuación \eqref{KinBuilding_tiempoTotalBola2}:

\begin{equation}
\label{KinBuilding_tiempoM2}
t_{m2} = t_g + t_b – t_d.
\end{equation}

De acuerdo con esta ecuación, para encontrar \(t_{m2}\) necesitamos encontrar \(t_g \) y \(t_b\) (sabemos \(t_d\)). Entonces, concentrémonos en \(t_g\) primero.

El tiempo que tarda la primera pelota en tocar el suelo se puede encontrar a partir de su ecuación de movimiento. Como queremos \(t_g\) primero, empezaremos por concentrarnos en la ecuación de movimiento para el intervalo entre el momento en que se suelta la pelota y el momento en que la pelota toca el suelo. Para escribir la ecuación de movimiento, comencemos por elegir un sistema de coordenadas. Colocaremos el origen en el suelo, exactamente en el punto donde rebotará la pelota.

Figura 2: Colocamos el sistema de coordenadas en la base de la torre de Cali.

Dado que la pelota está en caída libre, su movimiento en Y es el de un objeto con aceleración gravitacional constante. En general, la ecuación de movimiento para un objeto con aceleración constante es

\begin{equation}
\label{KinBuilding_posicionVectores}
\vec{y}_f = \frac{1}{2} \vec{a} t^2 + \vec{v}_i t + \vec{y}_i,
\end{equation}

donde \(\vec{y} _f\) es la posición final, \(\vec{y}_i\) es la posición inicial, \(\vec{v}_i\) es la velocidad inicial, \(a\) es la aceleración y \(t\) es el tiempo.

En las circunstancias actuales, según nuestro sistema de coordenadas, la posición inicial es positiva en Y (y es de 183 metros), la velocidad inicial es cero (porque el objeto se suelta, no se lanza), la aceleración es la gravitacional que es negativa, y la posición final es cero porque nos estamos concentrando en el tiempo que tarda la pelota en tocar el suelo (esta vez es \(t_g\)). Por lo tanto, obtenemos

\begin{equation}
\label{KinBuilding_caso1}
0 \, \hat{\textbf{j}} = -\frac{1}{2} g t_g^2 \, \hat{\textbf{j}} + (0) t_g \, \hat{\textbf{j}} + y_i \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Si nos enfocamos solo en las magnitudes y movemos \(-\frac{1}{2}g t_g^2\) al otro lado, obtenemos

\begin{equation}
\frac{1}{2} g t_g^2 = y_i.
\end{equation}

Dividamos todo por \(\frac{1}{2}g\) para conseguir

\begin{equation}
t_g^2 = \frac{2 y_i}{g}.
\end{equation}

Por lo tanto, tomando la raíz cuadrada, encontramos

\begin{equation}
\label{KinBuilding_tiempoTG}
t_g = \sqrt{\frac{2 y_i}{g}}.
\end{equation}

Luego podemos insertar este resultado en la ecuación \eqref{KinBuilding_tiempoM2} para obtener

\begin{equation}
\label{KinBuilding_tiempoM2ConTM1}
t_{m2} = \sqrt{\frac{2 y_i}{g}} + t_b – t_d.
\end{equation}

La única variable desconocida ahora es \(t_b\), así que concentremos nuestro esfuerzo en encontrarla.

Recuerde que \(t_b\) es el tiempo que pasa medido desde el momento en que la primera pelota toca el suelo y el momento en que ambas pelotas se encuentran. Esto significa que sus posiciones en el tiempo \(t_b\) son las mismas (se encuentran):

\begin{equation}
\label{KinBuilding_velocidades}
\vec{y}_{f1}(t_b)=\vec{y}_{f2}(t_b),
\end{equation}

donde \(\vec{y}_{f1}(t_b)\) es la posición de la primera pelota en el tiempo \(t_b\) y \(\vec{y}_{f2}(t_b)\) la posición de la segunda pelota al mismo tiempo. Estas posiciones vienen dadas por las ecuaciones de movimiento, así que consideremos estas ahora.

Anteriormente, encontramos la ecuación de movimiento para la primera pelota (ver ecuación \eqref{KinBuilding_caso1} ), pero esa ecuación fue solo para los momentos entre el lanzamiento de la pelota y el momento en que tocó el suelo. Ahora consideraremos la ecuación de movimiento para el intervalo entre el momento en que la pelota rebota en el suelo y el momento en que se encuentra con la otra pelota. Por supuesto, sigue siendo un movimiento con aceleración constante dada por la gravedad (y sigue siendo negativo, según nuestro sistema), por lo que la ecuación \eqref{KinBuilding_posicionVectores} todavía se aplica. Pero ahora un par de cosas son diferentes. Primero, la posición inicial es el piso, por lo que es cero según nuestro sistema de coordenadas. En segundo lugar, la rapidez inicial ya no es cero, ya que la pelota rebota en el suelo con cierta velocidad inicial positiva (aún no conocemos esta velocidad). Y tercero, el tiempo que nos importa es \(t_b\). Por tanto, la ecuación de movimiento de esta bola en la situación actual es

\begin{equation}
\label{KinBuilding_caso2}
y_{f1} \, \hat{\textbf{j}} = -\frac{1}{2} g t_b^2 \, \hat{\textbf{j}} + v_i t_b \, \hat{\textbf{j}} + 0 \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

El siguiente paso es encontrar \(v_i\). Nos dicen que no se pierde energía mientras la pelota rebota en el suelo. Esto significa que cualquier energía cinética que tuviera la pelota al tocar el suelo por primera vez, aún debe tener esa misma energía cinética cuando “despega” el suelo al rebotar. Es decir, \(\frac{1}{2}mv_g^2 = \frac{1}{2}mv_i^2 \), donde \(v_g\) es la rapidez justo al llegar al suelo y \(v_i\) es la rapidez al dejar el suelo al rebotar. Dado que la masa de la pelota es obviamente la misma, esta ecuación muestra que \(v_g =v_i\). Entonces la pregunta es: ¿Cómo encontramos \(v_g\) (que es la velocidad al llegar al piso)?

\(v_g\) es fácil de encontrar dado que conocemos la aceleración y el tiempo. En particular, para un objeto que se mueve con aceleración constante, sabemos que

\begin{equation}
\vec{v}_f = \vec{a} t + \vec{v}_i.
\end{equation}

En nuestro caso, queremos la velocidad al tocar el suelo sabiendo que la pelota se suelta (por lo que la velocidad inicial es cero). El tiempo es \(t_g\) y la aceleración es negativa y está dada por \(g\). Entonces obtenemos

\begin{equation}
\vec{v}_g = – g t_g \, \hat{\textbf{j}} + 0 \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Nótese que el signo indica que la velocidad es negativa, ya que en este momento la pelota está cayendo. Pero solo necesitamos la rapidez (la magnitud), que es

\begin{equation}
v_g = g t_g.
\end{equation}

Ahora, usemos el hecho de que \(t_b\) viene dado por la ecuación \eqref{KinBuilding_tiempoTG}:

\begin{equation}
v_g = g \sqrt{\frac{2 y_i}{g}}.
\end{equation}

Dado que esta es la misma que la rapidez al dejar el suelo (porque la energía se conserva), entonces podemos usar este resultado en la ecuación \eqref{KinBuilding_caso2}:

\begin{equation}
\label{KinBuilding_caso22}
y_{f1} \, \hat{\textbf{j}} = -\frac{1}{2} g t_b^2 \, \hat{\textbf{j}} + \left( g \sqrt{\frac{2 y_i}{g}} \right) t_b \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Ahora, insertemos este resultado en la ecuación \eqref{KinBuilding_velocidades}:

\begin{equation}
\label{KinBuilding_velocidadesIgualadas}
-\frac{1}{2} g t_b^2 \, \hat{\textbf{j}} + \left( g \sqrt{\frac{2 y_i}{g}} \right) t_b \, \hat{\textbf{j}} = y_{f2} \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

El siguiente paso es considerar la ecuación de movimiento de la segunda pelota. La segunda pelota también se mueve con aceleración constante (dada por la gravedad), por lo que mucho de lo que ya dijimos sobre la primera pelota se aplica a la segunda pelota. Por ejemplo, la rapidez inicial es cero porque se suelta la pelota, la altura inicial es la misma que la altura inicial de la primera pelota, es decir, \(y_{i} \, \hat{\textbf{j}}\) (que es \(183\) metros), y la aceleración de la gravedad es negativa según nuestro sistema. Por tanto, la ecuación de movimiento de la segunda pelota sería

\begin{equation}
\label{KinBuilding_y2}
y_{f2} \, \hat{\textbf{j}} = -\frac{1}{2} g {t^*}^2 \, \hat{\textbf{j}} + v_i {t^*} \, \hat{\textbf{j}} + y_{i}\, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

A pesar de las similitudes, existe una diferencia importante al compararla con la ecuación \eqref{KinBuilding_caso2}: los tiempos para estas ecuaciones no son los mismos. La razón es que \(t_b\) es el tiempo que tarda la primera bola en encontrarse con la segunda desde el momento en que la primera rebota. Pero \(t^*\) es el tiempo que tarda la segunda bola en encontrarse con la primera desde el momento en que se suelta la segunda. Recuerde que esto es precisamente lo que llamamos \(t_{m2}\) más temprano. Entonces, para continuar, debemos asegurarnos de que las ecuaciones de movimiento se den en términos de la misma variable de tiempo (no tendría mucho sentido comparar las posiciones finales de estas pelotas si estas posiciones se dan en términos de diferentes variables de tiempo).

Afortunadamente, ya sabemos cómo relacionar \(t_b\) y \(t_{m2}\) usando la ecuación \eqref{KinBuilding_tiempoM2}. Para repetir,

\begin{equation}
\label{KinBuilding_tiempoM2ParaRelacionarTiempos}
t_{m2} = t_g + t_b – t_d.
\end{equation}

Entonces usemos este resultado en la ecuación \eqref{KinBuilding_y2} :

\begin{equation}
\label{KinBuilding_y22}
y_{f2} \, \hat{\textbf{j}} = -\frac{1}{2} g (t_g + t_b – t_d)^2 \, \hat{\textbf{j}} + (0) (t_g + t_b – t_d) \, \hat{\textbf{j}} + y_{i} \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Ahora que esta ecuación de movimiento está en términos de \(t_b\), (\(t_g\) y \(t_d\) ya se conocen), podemos usarla en la ecuación \eqref{KinBuilding_velocidadesIgualadas} . Obtenemos que

\begin{equation}
-\frac{1}{2} g t_b^2 \, \hat{\textbf{j}} + \sqrt{2 g y_i} t_b \, \hat{\textbf{j}} = -\frac{1}{2} g (t_g + t_b – t_d)^2 \, \hat{\textbf{j}} + y_{i} \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Necesitamos encontrar \(t_b\) a partir de esta ecuación. Primero, mueva todos los términos al lado izquierdo y enfóquese solo en las magnitudes para obtener

\begin{equation}
-\frac{1}{2} g t_b^2 + \sqrt{2 g y_i} t_b + \frac{1}{2} g (t_g + t_b – t_d)^2 – y_{i} = 0
\end{equation}

Ahora podemos operar explícitamente el término \((t_g + t_b – t_d)^2\):

\begin{equation}
-\frac{1}{2} g t_b^2 + \sqrt{2 g y_i} t_b + \frac{1}{2} g (t_b^2 + 2 t_b (t_g – t_d) + (t_g – t_d)^2) – y_{i} = 0.
\end{equation}

Entonces, si distribuimos el tercer término (contado desde la izquierda), obtenemos:

\begin{equation}
-\frac{1}{2} g t_b^2 + \sqrt{2 g y_i} t_b + \frac{1}{2} g t_b^2 + g t_b (t_g – t_d) + \frac{1}{2}g(t_g – t_d)^2 – y_{i} = 0.
\end{equation}

Ahora vemos que los términos \(\frac{1}{2} g t_b^2\) se puede cancelar. Muevamos todos los términos que no involucran \(t_b\) al lado derecho:

\begin{equation}
\sqrt{2 g y_i} t_b + g t_b (t_g – t_d) = y_i – \frac{1}{2}g(t_g – t_d)^2.
\end{equation}

En el lado izquierdo, \(t_b\) se puede factorizar,

\begin{equation}
t_b ( \sqrt{2 g y_i} + g (t_g – t_d) ) = y_i – \frac{1}{2}g(t_g – t_d)^2,
\end{equation}

y luego podemos dividir todo por \( (\sqrt{2 g y_i} + g (t_g – t_d) ) \) para obtener

\begin{equation}
\label{KinBuilding_tBSinSimplificar}
t_b = \frac{y_i – \frac{1}{2}g(t_g – t_d)^2}{ \sqrt{2 g y_i} + g (t_g – t_d) }.
\end{equation}

El lector ahora puede insertar los valores numéricos en esta ecuación si lo desea. Sin embargo, simplificaremos aun más (porque, ¿por qué no?). Multipliquemos todo por \(2g/2g\) (esto es como multiplicar por uno para que la ecuación no cambie). La razón por la que hacemos esto es que nos ayudará a simplificar el álgebra, como mostraremos enseguida.

\begin{equation}
t_b = \left( \frac{2g}{2g} \right) \frac{y_i – \frac{1}{2}g(t_g – t_d)^2}{ \sqrt{2 g y_i} + g (t_g – t_d) }.
\end{equation}

Ahora podemos distribuir el factor \(2g\) en el numerador

\begin{equation}
t_b = \left( \frac{1}{2g} \right) \frac{2gy_i – g^2(t_g – t_d)^2}{ \sqrt{2 g y_i} + g (t_g – t_d) }.
\end{equation}

Observe que el numerador ahora es una diferencia de dos términos al cuadrado, por lo que podemos usar \(a^2-b^2=(a+b)(ab)\). En nuestro caso, \(2gy_i=a^2\) and \(g^2(t_g – t_d)^2=b^2\). Si usamos esto, obtenemos

\begin{equation}
t_b = \left( \frac{1}{2g} \right) \frac{[\sqrt{2gy_i} – g(t_g – t_d)][\sqrt{2gy_i} + g(t_g – t_d)]}{ \sqrt{2 g y_i} + g (t_g – t_d) }.
\end{equation}

El segundo factor en el numerador se cancela con el denominador y obtenemos

\begin{equation}
t_b = \left( \frac{1}{2g} \right) \left[\sqrt{2gy_i} – g(t_g – t_d) \right].
\end{equation}

Entonces podemos distribuir el otro factor \(2g\):

\begin{equation}
t_b = \frac{\sqrt{2gy_i}}{2g} – \frac{g}{2g}(t_g – t_d).
\end{equation}

Aquí se puede cancelar \(g\) y \(\frac{\sqrt{2g}}{2g} = \frac{1}{\sqrt{2g}} \) (because \( \frac{\sqrt{2g}}{2g} =\frac{(2g)^{0.5}}{2g}=(2g)^{0.5-1}\), que es lo mismo que \(\frac{1}{\sqrt{2g}}\)). Por eso,

\begin{equation}
t_b = \sqrt{\frac{y_i}{2g}} – \frac{1}{2}(t_g – t_d).
\end{equation}

Ahora, usemos la ecuación \eqref{KinBuilding_tiempoTG}:

\begin{equation}
t_b = \sqrt{\frac{y_i}{2g}} – \frac{1}{2}\left(\sqrt{\frac{2 y_i}{g}} – t_d\right).
\end{equation}

Al distribuir el factor 1/2 e insertarlo dentro de la raíz cuadrada (para hacerlo, tenemos que insertarlo como 1/4), obtenemos

\begin{equation}
t_b = \sqrt{\frac{y_i}{2g}} – \sqrt{\frac{y_i}{2g}} + \frac{1}{2} t_d.
\end{equation}

Entonces, finalmente, obtenemos

\begin{equation}
\label{KinBuilding_tBConSimplificar}
t_b = \frac{1}{2} t_d.
\end{equation}

Tomó mucho trabajo, pero observe que esta es una ecuación mucho más simple que la se obtuvo antes (\eqref{KinBuilding_tBSinSimplificar}). A veces, un poco más de álgebra puede resultar gratificante.

Ahora que encontramos \(t_b\) y \(t_g\) (ver ecuación \eqref{KinBuilding_tiempoTG}), finalmente podemos encontrar \(t_{m2}\) usando la ecuación \eqref{KinBuilding_tiempoM2ParaRelacionarTiempos}. El resultado es

\begin{equation}
t_{m2} = \sqrt{\frac{2 y_i}{g}} + \frac{1}{2} t_d – t_d.
\end{equation}

Si sumamos los dos últimos términos, obtenemos

\begin{equation}
t_{m2} = \sqrt{\frac{2 y_i}{g}} – \frac{1}{2} t_d.
\end{equation}

Finalmente, podemos insertar aquí los valores numéricos:

\begin{equation}
t_{m2} = \sqrt{\frac{2 (183 \, \text{m})}{(9.8 \, \text{m/s}^2)}} – \frac{1}{2} (4 \, \text{s}).
\end{equation}

La respuesta final es

\begin{equation}
t_{m2} = 4.11 \, \text{s}.
\end{equation}

(b) Encontrar la altura a la que se encuentran las pelotas es muy fácil una vez que sabemos el momento en el que esto sucede. Usemos la ecuación obtenida anteriormente (ecuación \eqref{KinBuilding_caso22}), y concentrémonos solo en las magnitudes:

\begin{equation}
y_{f1} = -\frac{1}{2} g t_b^2 + \left( g \sqrt{\frac{2 y_i}{g}} \right) t_b .
\end{equation}

Ahora, usando \(t_b\) de la ecuación \eqref{KinBuilding_tBConSimplificar} e insertando el término \(g\) dentro de la raíz cuadrada (necesitamos insertarlo como \(g^2)\)), obtenemos

\begin{equation}
y_{f1} = -\frac{1}{2} g \left( \frac{1}{2} t_d \right)^2 + \sqrt{2 g y_i} \left( \frac{1}{2} t_d \right)
\end{equation}

Finalmente, usando los valores numéricos, obtenemos

\begin{equation}
y_{f1} = -\frac{1}{2} (9.8 \, \text{m/s}^2) \left( \frac{1}{2} (4 \, \text{s}) \right)^2 + \sqrt{2 (9.8 \, \text{m/s}^2) (183 \, \text{m})} \left( \frac{1}{2} (4 \, \text{s}) \right).
\end{equation}

El resultado es

\begin{equation}
y_{f1} = 100.18 \, \text{m}.
\end{equation}

Entonces las pelotas se encuentran a una altura aproximada de 100 metros.

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