¡Esferas en el agua!

a) Utilice la segunda ley de Newton y considere las densidades tanto del fluido como de los objetos para ver si habrá condiciones para flotar o hundirse.

b) Si cualquier objeto flota, use nuevamente la segunda ley de Newton para agregar una fuerza aplicada para sumergir el objeto.

c) Nuevamente, use la segunda ley de Newton y considere que la fuerza de flotación tiene solo la mitad del volumen del objeto.

a) La segunda ley de Newton para un objeto flotante establece:

\begin{equation*}
\sum F > 0,
\end{equation*}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

que en este caso:

\begin{equation*}
F_B – m_s g > 0.
\end{equation*}

Entonces

\begin{equation*}
\rho_f > \rho_s,
\end{equation*}

que es el caso de la esfera de madera con densidad \(\rho_s = 700 \, \text{kg/m}^3 \). Entonces, la esfera de madera flota.

Lo contrario sucede con la esfera de cobre (\(\rho_s = 8940 \, \text{kg/m}^3 \)), luego se hunde.

b) Para la esfera de madera:

\begin{equation*}
F_B – m_s g – F_D = 0.
\end{equation*}

Resolviendo para \(F_D\) obtenemos:

\begin{equation*}
F_D=\frac{4\pi r^3g}{3}(\rho_f-\rho_s),
\end{equation*}

que con valores numéricos es:

\begin{equation*}
F_D \approx 3385 \, \text{N}.
\end{equation*}

c) Para ambas esferas:

\begin{equation*}
F_B +F_U – m_s g = 0.
\end{equation*}

Resolviendo para \(F_U\) obtenemos:

\begin{equation*}
F_U=\frac{4\pi r^3g}{3}\left(\rho_s-\frac{\rho_f}{2}\right).
\end{equation*}

Para la esfera de cobre:

\begin{equation*}
F_U^{\text{copper}}\approx 9.52\times 10^{4}\,\text{N}.
\end{equation*}

Para la esfera de madera:

\begin{equation*}
F_U^{\text{wooden}}\approx 2257\,\text{N}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

[/mepr-show]

a) Nos han pedido que determinemos si las esferas flotan cuando se sumergen en el agua. Para acercarnos a la solución, debemos examinar las dos fuerzas principales que se ejercen sobre las esferas cuando se sumergen en un fluido: el peso y la fuerza de flotación. Dibujemos un diagrama de cuerpo libre para la esfera cuando está parcial o totalmente sumergida en un fluido, como se muestra en la figura 1.

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

A partir del sistema de coordenadas establecido en la figura 1, podemos ver que el peso se dirige en la dirección Y negativa, su magnitud es \(mg\), donde \(m\) es la masa de la esfera y \(g\) es la aceleración gravitacional. Por eso,

\begin{equation}
\label{w}
\vec{W}=-mg\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Podemos escribir la masa de la esfera en términos de su densidad \(\rho_s\) y su volumen \(V\) como

\begin{equation}
\label{mass}
m=\rho_s V.
\end{equation}

Entonces la expresión para \eqref{w} se convierte (usando el resultado de \(m\) dado en la ecuación \eqref{mass} ):

\begin{equation}
\label{w2}
\vec{W}=-\rho_s V g\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

La fuerza de flotación \(\vec{F}_{B}\) se dirige hacia arriba, hacia el eje Y positivo y con magnitud, según el principio de Arquímedes, \(\rho_f V_{\text{sub}}g\). Por lo tanto,

\begin{equation}
\label{fb}
\vec{F}_B=\rho_f V_{\text{sub}}g\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}

donde \(\rho\) es la densidad del fluido en el que está sumergida la esfera y \(V_{\text{sub}}\) es la cantidad de volumen de la esfera sumergida. Observe que el valor máximo de la fuerza de flotación es cuando todo el volumen está sumergido (\(V_{\text{sub}}=V\)), entonces

\begin{equation}
\label{fbmax}
\vec{F}_{B \text{max}}=\rho_f Vg\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Ahora hagamos el siguiente análisis: si la magnitud del peso es mayor que la magnitud de la fuerza de flotación máxima, la esfera se hundirá. Usando las magnitudes en las ecuaciones \eqref{w2} y \eqref{fbmax} , podemos poner en ecuaciones el análisis anterior de la siguiente manera:

\begin{equation}
\label{exp1}
\text{if}\quad \rho_sVg>\rho_fVg \quad \text{the sphere sinks}.
\end{equation}

La desigualdad dada en la ecuación \eqref{exp1} se puede simplificar a

\begin{equation}
\label{exp2}
\text{if}\quad \rho_s>\rho_f \quad \text{the sphere sinks}.
\end{equation}

Análogamente

\begin{equation}
\label{exp3}
\text{if} \quad \rho_s<\rho_f \quad \text{the sphere floats}.
\end{equation}

Debido a que el fluido es agua con densidad \(\rho_f=1000\,\text{kg/m}^3\), podemos deducir de la ecuación \eqref{exp2} que la esfera de cobre con densidad \(\rho_s=8940\,\text{kg/m}^3\) se hunde, por lo que se puede sumergir completamente sin fuerza adicional.

De la ecuación \eqref{exp3} , podemos deducir que la esfera de madera con densidad \(\rho_s=700\,\text{kg/m}^3\) flota, por lo que puede sumergirse si se le aplica una fuerza adicional hacia abajo.

b) Para la segunda parte del problema, necesitamos determinar la fuerza necesaria para sumergir las esferas por completo. Tenga en cuenta que esta pregunta solo se aplicará a la esfera que no se hunde, es decir, la de madera. Como dijimos antes, una fuerza \(\vec{F}_D\) debe aplicarse hacia abajo para sumergir completamente la esfera, como se ve en la figura 2.

Usamos la segunda ley de Newton en el caso estático, es decir, aceleración nula \(\vec{a}=\vec{0}\), explícitamente
\begin{equation}
\sum \vec{F}=m\vec{a},
\end{equation}
\begin{equation}
\label{newton}
\sum \vec{F}=\vec{0},
\end{equation}
donde \(\sum \vec{F}\) es la suma de todas las fuerzas ejercidas sobre la esfera. A partir del diagrama de cuerpo libre de la figura 2, podemos escribir la ecuación \eqref{newton} como
\begin{equation}
\label{newton2}
\vec{W}+\vec{F}_B+\vec{F}_D=\vec{0}.
\end{equation}
Porque la fuerza \(\vec{F}_D\) es una fuerza hacia abajo con magnitud \(F_D\), podemos escribir
\begin{equation}
\label{fd}
\vec{F}_D=-F_D\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}
Usando las expresiones explícitas para \(\vec{W}\), \(\vec{F}_B\) y \(\vec{F}_D\) dado por las ecuaciones \eqref{w2}, \eqref{fb} y \eqref{fd} respectivamente en la ecuación \eqref{newton2}, obtenemos
\begin{equation}
-\rho_sVg\,\hat{\textbf{j}}+\rho_fV_{\text{sub}}g\,\hat{\textbf{j}}-F_D\,\hat{\textbf{j}}=\vec{0}.
\end{equation}
Debido a que todas las fuerzas están en la misma dirección, podemos olvidarnos de la notación vectorial para escribir la ecuación anterior como
\begin{equation}
\label{newton3}
-\rho_s V+\rho_f V_{\text{sub}}g-F_D=0.
\end{equation}
Como queremos que la esfera esté completamente sumergida, el volumen sumergido es el volumen total \(V_{\text{sub}}=V\), que para una esfera es
\begin{equation}
\label{volume}
V=\frac{4}{3}\pi r^3,
\end{equation}
donde \(r\) es el radio de la esfera. Usando la expresión para el volumen de la esfera dada en la ecuación \eqref{volume} en la ecuación \eqref{newton3} , obtenemos
\begin{equation}
\label{newton4}
-\rho_s\frac{4}{3}\pi r^3 g+\rho_f\frac{4}{3}\pi r^3-F_D=0,
\end{equation}
que se puede resolver para \(F_D\) como
\begin{equation}
\label{newton5}
F_D= -\rho_s\frac{4}{3}\pi r^3 g+\rho_f\frac{4}{3}\pi r^3g.
\end{equation}
Después de factorizar el término \(\frac{4}{3}\pi r^3g\) en la ecuación \eqref{newton5} , obtenemos
\begin{equation}
F_D=\frac{4\pi r^3g}{3}(\rho_f-\rho_s).
\end{equation}
Usando los valores numéricos en unidades SI (\(r=0.65\,\text{m}\)), obtenemos
\begin{equation}
F_D=\frac{4\pi (0.65\,\text{m})^3(9.81\,\text{m/s}^2)}{3}(1000\,\text{kg/m}^3-700\,\text{kg/m}^3),
\end{equation}
\begin{equation}
F_D\approx 3385\,\text{N}.
\end{equation}

c) Para terminar el problema, necesitamos calcular la fuerza necesaria para sumergir solo la mitad del volumen de cada esfera. En ambos casos, asumiremos que la fuerza necesaria para que solo la mitad de la esfera quede sumergida se dirige hacia arriba. Llamaremos a esta fuerza \(\vec{F}_U\), como se ve en la figura 3.

Usamos la segunda ley de Newton en el caso estático, es decir, aceleración nula \(\vec{a}=\vec{0}\), como en la ecuación \eqref{newton} .
A partir del diagrama de cuerpo libre de la figura 3, podemos escribir la ecuación \eqref{newton} como

\begin{equation}
\label{newton12}
\vec{W}+\vec{F}_B+\vec{F}_U=\vec{0}.
\end{equation}

como la fuerza \(\vec{F}_U\) es una fuerza hacia arriba con magnitud \(F_U\), podemos escribir

\begin{equation}
\label{fu}
\vec{F}_U=F_U\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Usando las expresiones explícitas para \(\vec{W}\), \(\vec{F}_B\) y \(\vec{F}_U\) dado por las ecuaciones \eqref{w2}, \eqref{fb} y \eqref{fu} respectivamente en la ecuación \eqref{newton12}, obtenemos

\begin{equation}
-\rho_sVg\,\hat{\textbf{j}}+\rho_fV_{\text{sub}}g\,\hat{\textbf{j}}+F_U\,\hat{\textbf{j}}=\vec{0}.
\end{equation}

Debido a que todas las fuerzas están en la misma dirección, podemos olvidarnos de la notación vectorial para escribir la ecuación anterior como

\begin{equation}
\label{newton13}
-\rho_s V+\rho_f V_{\text{sub}}g+F_U=0.
\end{equation}

Como queremos que la esfera esté medio sumergida, el volumen sumergido es el volumen total dividido por 2, \(V_{\text{sub}}=V/2\). Usando la expresión para el volumen de la esfera dada en la ecuación \eqref{volume} , tenemos

\begin{equation}
V_{\text{sub}}=\frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{2}=\frac{4}{6}\pi r^3.
\end{equation}

Usando la expresión anterior en la ecuación \eqref{newton13} , obtenemos

\begin{equation}
\label{newton14}
-\rho_s\frac{4}{3}\pi r^3 g+\rho_f\frac{4}{6}\pi r^3+F_U=0,
\end{equation}

que se puede resolver para \(F_U\) como

\begin{equation}
\label{newton15}
F_U= \rho_s\frac{4}{3}\pi r^3 g-\rho_f\frac{4}{6}\pi r^3g.
\end{equation}

Después de factorizar el término \(\frac{4}{3}\pi r^3g\) en la ecuación \eqref{newton15} , obtenemos

\begin{equation}
\label{fu2}
F_U=\frac{4\pi r^3g}{3}\left(\rho_s-\frac{\rho_f}{2}\right).
\end{equation}

Usando los valores numéricos en unidades SI (\(r=0.65\,\text{m}\)), obtenemos para la esfera de cobre

\begin{equation*}
F_U^{\text{copper}}=\frac{4\pi (0.65\,\text{m})^3(9.81\,\text{m/s}^2)}{3}\left((8940\,\text{kg/m}^3-\frac{1000\,\text{kg/m}^3}{2}\right),\end{equation*}

\begin{equation}
F_U^{\text{copper}}\approx 9.52\times 10^{4}\,\text{N}.
\end{equation}

Para la esfera de madera, obtenemos usando la ecuación \eqref{fu2}

\begin{equation*}
F_U^{\text{wooden}}=\frac{4\pi (0.65\,\text{m})^3(9.81\,\text{m/s}^2)}{3}\left(700\,\text{kg/m}^3-\frac{1000\,\text{kg/m}^3}{2}\right),\end{equation*}

\begin{equation}
F_U^{\text{wooden}}\approx 2257\,\text{N}.
\end{equation}

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