¡Relój de péndulo!

a) A partir de la fórmula de un período de oscilador armónico, calcule el radio.

b) Utilice la fórmula para la expansión térmica lineal y encuentre el período en cada caso.

c) En cada caso, encuentre la diferencia entre un segundo y el período para cada péndulo. Considere cuántos segundos hay en un día.

a) El período de un oscilador armónico es:

\begin{equation*}
T=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{L}{g}},
\end{equation*}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

Donde \(L = \ell + r\), y \(\ell = 8r\). Luego, reemplazando \(L\) en términos de \(r\), y despejando \(r\) obtenemos:

\begin{equation*}
r=\frac{g}{9} \left( \frac{T}{2\pi}\right)^2.
\end{equation*}

Con valores numéricos:

\begin{equation}
r\approx 2.761\,\text{cm}.
\end{equation}

Y para \(\ell\):

\begin{equation}
\ell \approx 22.088\,\text{cm}.
\end{equation}

b) El cambio se puede calcular utilizando la fórmula de expansión lineal. Explícitamente,

\begin{equation*}
L_f=L_0(1+\alpha(T_f-T_0)),
\end{equation*}

que se aplica tanto a la longitud \(\ell\) como al radio \(r\).

Para el invierno, con \(T_f = -10 ^\circ \text{C} \), obtenemos:

\begin{equation*}
\ell_f^{\text{winter}}\approx0.22080\,\text{m},
\end{equation*}

y

\begin{equation*}
r_f^{\text{winter}}\approx0.02760\,\text{m}.
\end{equation*}

El período para el invierno es:

\begin{equation*}
T^{\text{winter}}\approx 0.99982\,\text{s}.
\end{equation*}

Para el verano, con \(T_f = 36 ^\circ \text{C} \), obtenemos:

\begin{equation*}
\ell_f^{\text{summer}}\approx0.22093\,\text{m},
\end{equation*}

y

\begin{equation*}
r_f^{\text{summer}}\approx0.02762\,\text{m}.
\end{equation*}

El período para el verano es:

\begin{equation*}
T^{\text{summer}}\approx 1.00012\,\text{s}.
\end{equation*}

c) La diferencia para cada período es:

\begin{equation*}
T-T^{\text{winter}}=0.00018\,\text{s},
\end{equation*}

que multiplicado por \(86400 \, \text{s} \) tenemos:

\begin{equation*}
15.552 \, \text{s}.
\end{equation*}

Para la otra diferencia obtenemos:

\begin{equation*}
T-T^{\text{summer}}=-0.00012\,\text{s}.
\end{equation*}

que multiplicado por \(86400 \, \text{s} \) tenemos:

\begin{equation*}
-10.368 \, \text{s}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

[/mepr-show]

a) La primera parte del problema nos pide que encontremos la longitud de la varilla y el diámetro de la esfera. Comencemos por hacer un bosquejo de la situación descrita en el problema, como se ve en la figura 1.

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

Figura 1: Reloj de péndulo con una varilla de acero de longitud \(\ell\) y una esfera de cobre de radio \(r\) unida al extremo de la varilla.

La longitud de la varilla es \(\ell\) y el radio de la esfera es \(r\), por lo que su diámetro es \(2r\). Por la indicación, sabemos que la longitud de la varilla es cuatro veces el diámetro de la esfera; por lo tanto, tenemos la siguiente relación

\begin{equation}
\label{ellr}
\ell=4(2r)=8r.
\end{equation}

De la cinemática del péndulo simple, sabemos que el período \(T\), es decir, el tiempo que se tarda en hacer una oscilación, viene dado por la ecuación

\begin{equation}
\label{period}
T=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{L}{g}},
\end{equation}

donde \(L\) es la distancia desde el punto de pivote del péndulo al centro de masa, y \(g\) es la aceleración gravitacional de la Tierra.

En nuestro caso, debido a que la masa de la varilla es despreciable, entonces el centro de masa está ubicado en el centro de la esfera; por lo tanto, la distancia desde el punto de pivote hasta el centro de la esfera se puede calcular como

\begin{equation}
\label{ELE}
L=\ell+r.
\end{equation}

Usando el resultado de la ecuación \eqref{ELE} en la ecuación \eqref{period}, obtenemos

\begin{equation}
\label{period2}
T=2\pi\sqrt{\frac{\ell+r}{g}}.
\end{equation}

El problema indica que el reloj está perfectamente sincronizado cuando la temperatura es \(18\,{}^{\circ}\text{C}\), lo que significa que el período es exactamente \(1\) segundo, es decir \(T=1\,\text{s}\). Ahora, podemos usar el resultado de la ecuación \eqref{ellr} para reemplazar \(\ell\) en la ecuación \eqref{period2} para obtener

\begin{equation}
T=2\pi\sqrt{\frac{8r+r}{g}},
\end{equation}

\begin{equation}
\label{period3}
T=2\pi\sqrt{\frac{9r}{g}}.
\end{equation}

Dividiendo ambos lados de la ecuación \eqref{period3} por \(2\pi\) y elevando ambos lados a la 2ª potencia, obtenemos

\begin{equation}
\left( \frac{T}{2\pi}\right)^2=\frac{9r}{g}.
\end{equation}

Resolviendo para \(r\), tenemos

\begin{equation}
r=\frac{g}{9} \left( \frac{T}{2\pi}\right)^2.
\end{equation}

Usando los valores numéricos, obtenemos

\begin{equation}
r=\frac{9.81\,\text{m/s}^2}{9}\left(\frac{1\,\text{s}}{2\pi}\right)^2,
\end{equation}

\begin{equation}
r\approx 0.02761\,\text{m}=2.761\,\text{cm}.
\end{equation}

Ahora, usando la ecuación \eqref{ellr} , obtenemos el valor numérico de \(\ell\), es decir

\begin{equation}
\ell=8(0.02761\,\text{m})\approx0.22088\,\text{m}=22.088\,\text{cm}.
\end{equation}

b) Necesitamos ahora encontrar la duración del período para los meses de invierno y verano. Debido al cambio de temperatura durante estas estaciones, la longitud de la varilla cambia y el radio de la esfera también cambia. El cambio se puede calcular utilizando la fórmula de expansión lineal. Explícitamente,

\begin{equation}
\label{explineal}
L_f=L_0(1+\alpha(T_f-T_0)),
\end{equation}

donde \(L_f\) es la longitud del objeto a la temperatura \(T_f\), \(L_0\) es la longitud del objeto a la temperatura \(T_0\) y \(\alpha\) es el coeficiente de expansión térmica lineal, que solo depende del material. Entonces podemos usar la relación dada en la ecuación \eqref{explineal} para escribir las expresiones para la expansión de \(\ell\) y \(r\). Explícitamente,

\begin{equation}
\label{expell}
\ell_f=\ell_0(1+\alpha_{\text{steel}}(T_f-T_0)),
\end{equation}

y

\begin{equation}
\label{expr}
r_f=r_0(1+\alpha_{\text{copper}}(T_f-T_0)),
\end{equation}

donde hemos usado diferentes \(\alpha\) dependiendo del material de cada objeto. De la parte (a), conocemos la longitud \(\ell\) y el radio \(r\) para una temperatura de \(18\,{}^{\circ}\text{C}\). Por lo tanto, \(T_0=18\,{}^{\circ}\text{C}\), \(\ell_0=0.22088\,\text{m}\) y \(r_0=0.02761\,\text{m}\).

Entonces para el invierno \(T_{f}=-10\,{}^{\circ}\text{C}\), podemos usar las expresiones \eqref{expell} y \eqref{expr} para calcular numéricamente la longitud a dicha temperatura:

\begin{equation}
\ell_f^{\text{winter}}=(0.22088\,\text{m})(1+(12\times10^{-6}\,{}^{\circ}\text{C}^{-1})(-10\,{}^{\circ}\text{C}-18\,{}^{\circ}\text{C})),
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ellwinter}
\ell_f^{\text{winter}}\approx0.22080\,\text{m},
\end{equation}

y

\begin{equation}
r_f^{\text{winter}}=(0.02761\,\text{m})(1+(17\times10^{-6}\,{}^{\circ}\text{C}^{-1})(-10\,{}^{\circ}\text{C}-18\,{}^{\circ}\text{C})),
\end{equation}

\begin{equation}
\label{rwinter}
r_f^{\text{winter}}\approx0.02760\,\text{m}.
\end{equation}

Luego, usando la ecuación \eqref{period2} y los resultados de las ecuaciones \eqref{ellwinter} y \eqref{rwinter} , podemos calcular el período de invierno como

\begin{equation}
T^{\text{winter}}=2\pi\sqrt{\frac{\ell_f^{\text{winter}}+r_f^{\text{winter}}}{g}},
\end{equation}

luego, numéricamente, obtenemos

\begin{equation}
T^{\text{winter}}=2\pi\sqrt{\frac{0.22080\,\text{m}+0.02760\,\text{m}}{9.81\,\text{m/s}^2}},
\end{equation}

\begin{equation}
T^{\text{winter}}\approx 0.99982\,\text{s}.
\end{equation}

Así, el período en invierno es menor que en primavera u otoño.

Ahora, repitamos el mismo análisis para el verano, donde la temperatura es \(T_f=38\,{}^{\circ}\text{C}\). Entonces podemos usar las expresiones \eqref{expell} y \eqref{expr} para calcular numéricamente la longitud a dicha temperatura:

\begin{equation}
\ell_f^{\text{summer}}=(0.22088\,\text{m})(1+(12\times10^{-6}\,{}^{\circ}\text{C}^{-1})(38\,{}^{\circ}\text{C}-18\,{}^{\circ}\text{C})),
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ellsummer}
\ell_f^{\text{summer}}\approx0.22093\,\text{m},
\end{equation}

y

\begin{equation}
r_f^{\text{summer}}=(0.02761\,\text{m})(1+(17\times10^{-6}\,{}^{\circ}\text{C}^{-1})(38\,{}^{\circ}\text{C}-18\,{}^{\circ}\text{C})),
\end{equation}

\begin{equation}
\label{rsummer}
r_f^{\text{summer}}\approx0.02762\,\text{m}.
\end{equation}

Luego, usando la ecuación \eqref{period2} y los resultados de las ecuaciones \eqref{ellwinter} y \eqref{rwinter} , podemos calcular el período de invierno como

\begin{equation}
T^{\text{summer}}=2\pi\sqrt{\frac{\ell_f^{\text{summer}}+r_f^{\text{summer}}}{g}},
\end{equation}

luego, numéricamente, obtenemos

\begin{equation}
T^{\text{summer}}=2\pi\sqrt{\frac{0.22093\,\text{m}+0.02762\,\text{m}}{9.81\,\text{m/s}^2}},
\end{equation}

\begin{equation}
T^{\text{summer}}\approx 1.00012\,\text{s}.
\end{equation}

Así, el período en verano es mayor que en primavera u otoño.

c) Necesitamos averiguar cuánto tiempo cambia el reloj durante los meses de invierno y verano. Para hacer esto, necesitamos encontrar la diferencia entre el período sincronizado y el período durante el invierno o el verano. Luego, multiplicamos esta diferencia por la cantidad de segundos en un día. Comencemos calculando el número de segundos en un día: multiplicamos el número de segundos en un minuto por el número de minutos en una hora por el número de horas en un día, obteniendo

\begin{equation}
60\times60\times24=86400\, \text{seconds in a day}
\end{equation}

Ahora, para el invierno la diferencia de tiempo es

\begin{equation}
T-T^{\text{winter}}=1\,\text{s}-0.99982\,\text{s}=0.00018\,\text{s}.
\end{equation}

Lo cual, cuando se multiplica por la cantidad de segundos en un día, nos da

\begin{equation}
0.00018\,\text{s}\times 86400=15.552\,\text{s}.
\end{equation}

Por lo tanto, en invierno, el reloj se adelanta una cantidad de aproximadamente 15 segundos por día. En el caso del verano, la diferencia de tiempo es

\begin{equation}
T-T^{\text{summer}}=1\,\text{s}-1.00012\,\text{s}=-0.00012\,\text{s}.
\end{equation}

Lo cual, cuando se multiplica por la cantidad de segundos en un día, nos da

\begin{equation}
-0.00012\,\text{s}\times 86400=-10.368\,\text{s}.
\end{equation}

Por lo tanto, en verano, el reloj retrocede una cantidad de aproximadamente 10 segundos por día.

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