Aterrizaje de avión

(a) Utilice una ecuación que relacione las siguientes variables: aceleración, distancia, rapidez inicial y rapidez final. Además, asegúrese de utilizar unidades SI.

(b) Tenga en cuenta que la rapidez final es cero. Luego, usa una ecuación que relacione la aceleración encontrada en (a) al tiempo y rapidez inicial.

(a) Para encontrar la aceleración mínima que las turbinas deben proporcionar para que el avión despegue, necesitamos relacionar esa aceleración con la longitud de la pista y con la rapidez mínima requerida para el despegue. Esto es fácil si usamos la siguiente ecuación:

\begin{equation*}
v_f^2 – v_i^2 = 2 a d.
\end{equation*}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

Usando los valores numéricos obtenemos:

\begin{equation*}
a = 25921 \, \text{km/h}^2.
\end{equation*}

(b) Ahora considere el caso en el que el avión está aterrizando. Para encontrar el tiempo que tarda el avión en detenerse por completo, podemos utilizar el hecho de que durante un movimiento con aceleración constante, la velocidad final está dada por:

\begin{equation*}
\vec{v}_f = \vec{a}t + \vec{v}_i,
\end{equation*}

y la magnitud de la aceleración es:

\begin{equation*}
\frac{v_f^2 – v_i^2}{2d} = a.
\end{equation*}

Combinando las dos últimas ecuaciones y usando los valores numéricos obtenemos:

\begin{equation}
t_b = 0.02 \, \text{h}.
\end{equation}

Y la aceleración es:

\begin{equation*}
\vec{a} = -10000 \, \text{km/h}^2 \, \hat{\textbf{i}},
\end{equation*}

donde (\(10000\, \text{km/h}^2\)) es la magnitud y \(-\hat{\textbf{i}}\) indica la dirección.

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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(a) Para encontrar la aceleración mínima que las turbinas deben proporcionar para que el avión despegue, necesitamos relacionar esa aceleración con la longitud de la pista y con la rapidez mínima requerida para el despegue. Esto es fácil si usamos la ecuación

\begin{equation}
\label{Plane_velAlCuadradoConA}
v_f^2 – v_i^2 = 2 a d,
\end{equation}

donde \(v_f\) es la rapidez final, \(v_i\) la rapidez inicial, \(a\) la aceleración (de la magnitud) y \(d\) la distancia. Si dividimos por \(2d\) en todas partes, obtenemos

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\begin{equation}
\label{Plane_aceleracion}
\frac{v_f^2 – v_i^2}{2d} = a.
\end{equation}

Antes de insertar los valores numéricos, observe que nos interesa la aceleración mínima. Esto significa que asumimos que el avión usa toda la pista para despegar. Por supuesto, si el avión usara solo una fracción de la pista, entonces requeriría una mayor aceleración para alcanzar la rapidez de despegue en una distancia tan reducida (lo que significa que no estaríamos tratando con la aceleración mínima). Es por eso que debemos usar \(d = 2 \, \text{km}\) en esta ecuación si vamos a encontrar la aceleración mínima. Usemos también el hecho de que la rapidez inicial es cero y que la rapidez de despegue es 322 k/h:

\begin{equation}
\frac{(322 \, \text{km/h})^2 – (0)^2}{2(2 \, \text{km})} = a,
\end{equation}

para obtener

\begin{equation}
a = 25921 \, \text{km/h}^2.
\end{equation}

Cabe mencionar que podríamos haber resuelto este problema si hubiéramos comenzado con la ecuación \( \vec{x}_f = \vec{x}_i + \vec{v}_i t + \frac{1}{2} \vec{a} t^2 \) en su lugar. Pero en ese caso, habríamos tenido que encontrar el tiempo \(t\) usando la ecuación \( \vec{v}_f = \vec{a}t + \vec{v}_i \). Por supuesto, el resultado habría sido el mismo; sin embargo, habríamos necesitado utilizar más ecuaciones. En general, cuando tenemos un problema de cinemática donde no necesitamos encontrar el tiempo y tenemos la distancia y la rapideces, es muy conveniente usar la ecuación \eqref{Plane_velAlCuadradoConA}).

(b) Ahora considere el caso en el que el avión está aterrizando. Para encontrar el tiempo que tarda el avión en detenerse por completo, podemos utilizar el hecho de que durante un movimiento con aceleración constante (como en este caso), la velocidad final está dada por

\begin{equation}
\label{Plane_velocidadVector}
\vec{v}_f = \vec{a}t + \vec{v}_i.
\end{equation}

Para aplicar esta ecuación a este caso, elijamos un sistema de coordenadas donde el origen está justo al comienzo del aterrizaje y el eje X apunta en la dirección del movimiento (ver figura 1):

 

Figura 1: Colocamos el sistema de coordenadas en la posición inicial del avión.

Observe que de acuerdo con este sistema, la velocidad inicial es positiva. Además, queremos encontrar el tiempo que tarda el avión en frenar, por lo que la velocidad final debe ser cero en ese momento (cuando el avión se ha detenido por completo y no tiene velocidad ). Dado que está frenando, la aceleración también es negativa. Entonces la ecuación \eqref{Plane_velocidadVector} se convierte en

\begin{equation}
0 \, \hat{\textbf{i}} = v_i \, \hat{\textbf{i}} – a t_b \, \hat{\textbf{i}},
\end{equation}

donde \(t_b\) es el tiempo que tarda el avión en frenar. Si nos enfocamos solo en las magnitudes y reorganizamos los términos, obtenemos

\begin{equation}
\label{Plane_VelInicial}
at_b = v_i.
\end{equation}

Ahora, no sabemos ni \(a\) ni \(t\), así que necesitamos encontrar más ecuaciones. Para obtener \(a \) podemos usar la ecuación \eqref{Plane_aceleracion} nuevamente porque conocemos la distancia (de nuevo, es la misma pista) y las rapideces final e inicial. Inserte esa ecuación en \eqref{Plane_VelInicial} para obtener

\begin{equation}
\left( \frac{v_f^2 – v_i^2}{2d} \right) t_b = v_i
\end{equation}

Sin embargo, debemos tener cuidado con las señales. Observe que en \((v_f^2-v_i^2)\) es negativa porque \(v_f \) es cero. Esto significa que la aceleración en la ecuación \eqref{Plane_aceleracion} también será negativa. Eso está bien, pero luego debemos tener cuidado con la ecuación \eqref{Plane_VelInicial} porque allí también usamos el hecho de que la aceleración era negativa. En otras palabras, \(a\) en la ecuación \eqref{Plane_VelInicial} ya tomamos en cuenta el signo de la aceleración (recuerda que usamos (\(- a t_b \, \hat{\textbf{i}}\)), y \(a\) es solo la magnitud. Entonces, cuando usamos \eqref{Plane_aceleracion}, tenemos que poner un signo negativo para asegurarnos de obtener la magnitud de \(a\). Por lo tanto, deberíamos escribir

\begin{equation}
-\left( \frac{v_f^2 – v_i^2}{2d} \right) t_b = v_i.
\end{equation}

Ahora, dividamos todo por \(-\left( \frac{v_f^2 – v_i^2}{2d} \right)\):

\begin{equation}
t_b = \frac{2dv_i}{v_i^2 – v_f^2}.
\end{equation}

Y finalmente, insertamos los valores numéricos aquí (usamos que la rapidez final es cero).

\begin{equation}
t_b = \frac{2 (2 \, \text{km})(200 \, \text{km/h})}{\left( (200 \, \text{km/h})^2 – (0)^2\right)}
\end{equation}

para obtener

\begin{equation}
t_b = 0.02 \, \text{h}.
\end{equation}

Finalmente, necesitamos encontrar la aceleración en este segundo caso. Usemos la ecuación \eqref{Plane_aceleracion} de nuevo. Si usamos los valores numéricos allí, y que \(v_f\) es cero, obtenemos

\begin{equation}
a = \frac{(0)^2 – (200 \, \text{km/h})^2}{2((2 \, \text{km}))},
\end{equation}

y entonces

\begin{equation}
a = -10000 \, \text{km/h}^2.
\end{equation}

Observe que el signo es negativo, lo que indica que la aceleración es negativa en X, como esperábamos. Entonces, una forma más precisa de escribir la aceleración es así

\begin{equation}
\vec{a} = -10000 \, \text{km/h}^2 \, \hat{\textbf{i}},
\end{equation}

donde (\(10000\, \text{km/h}^2\)) es la magnitud y \(-\hat{\textbf{i}}\) indica la dirección.

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