¡La Don ed!

a) Solo hay una fuerza que actúa a lo largo del eje \({x-} \). La suma de fuerzas en la dirección \({x-} \) debe ser proporcional a la aceleración del tren.

b) Encuentre las componentes \({x-} \) y \({y-} \) de las fuerzas, y la magnitud se obtendrá mediante el teorema de Pitágoras.

a) Segunda ley de Newton a lo largo dela dirección \({x-} \) es:

\begin{equation*}
f_r = ma_x ,
\end{equation*}

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donde \(f_r = \mu_e N \).

La segunda ley de Newton a lo largo de la dirección \({y-} \) es:

\begin{equation*}
N – mg = 0.
\end{equation*}

Usando ambas relaciones combinadas con un poco de álgebra obtenemos:

\begin{equation*}
\mu_e = \frac{a_x}{g},
\end{equation*}

para obtener:

\begin{equation*}
\mu_e=0.2.
\end{equation*}

b) La taza ejerce dos fuerzas sobre la bandeja, una fuerza normal y una fuerza de fricción. De la Tercera Ley de Newton, se deduce que la fuerza normal y la fricción estática que la taza ejerce sobre la bandeja es de la misma magnitud que la fuerza normal y la fricción estática que la bandeja ejerce sobre la taza, respectivamente.

La magnitud de la fuerza total que ejerce la taza sobre la bandeja viene dada por:

\begin{equation*}
F_T = \sqrt{ (N_T)^2 + (f_{rT})^2 },
\end{equation*}

para obtener:

\begin{equation*}
F_T = 1.0002 \, \text{N}.
\end{equation*}

Por tanto, el ángulo entre las fuerzas viene dado por

\begin{equation*}
\tan \theta = \frac{N_T}{f_{rT}}.
\end{equation*}

Por lo tanto,

\begin{equation*}
\theta = 78.5^\circ.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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(a) Para encontrar el coeficiente de fricción estática entre la bandeja y la taza, necesitamos relacionar este coeficiente con la aceleración máxima que la taza puede alcanzar antes de deslizarse (la cual conocemos). Observe que la aceleración máxima que puede alcanzar el tren antes de que la taza se deslice debe ser la misma que la aceleración máxima que la taza puede alcanzar antes de deslizarse. (¡Si estas aceleraciones no fueran las mismas, entonces la taza se deslizaría!) Dado que la única fuerza horizontal sobre la taza es la fricción estática producida por la bandeja, para encontrar el coeficiente de fricción estática, debemos considerar las ecuaciones de Newton.

Si elegimos un sistema de coordenadas donde el eje \({x-} \) apunta en la dirección del movimiento, entonces vemos que solo hay una fuerza en \({x} \): la fricción estática producida por la bandeja. Esta fuerza apunta en la dirección del movimiento porque es la fuerza que permite que la taza se mueva con el tren. En \({y} \), hay dos fuerzas, el peso y la fuerza normal producida por la bandeja. Por tanto, el diagrama de cuerpo libre se puede ver en la Figura 1.

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Figura 1: diagrama de cuerpo libre para la taza. Las fuerzas mostradas son la fuerza de contacto \(N \), el peso \(W \) y la fricción \(fr \). El sistema de coordenadas se elige con X a lo largo de la horizontal en la dirección del movimiento del tren y Y en la vertical.

Ahora, escribamos la segunda ley de Newton a lo largo de la dirección \({x-} \):

\begin{equation}
\label{CupTea_sumatoriaFuerzasX}
f_r \, \hat{\textbf{i}} = ma_x \, \hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

La máxima aceleración de la taza debe estar dada por la máxima fricción estática de la bandeja. Y sabemos que la fricción estática máxima siempre viene dada por \(\mu_e N \), donde \(\mu_e \) es el coeficiente de fricción estática (cuando la fricción estática no es máxima, entonces no está dada por \( \mu_e N \)). Por tanto, la ecuación \eqref{CupTea_sumatoriaFuerzasX} produce

\begin{equation}
\label{CupTea_sumatoriaFuerzasXFriccion}
\mu_e N \, \hat{\textbf{i}} = ma_x \, \hat{\textbf{i}},
\end{equation}

donde \(a_x \) será la máxima aceleración que puede tener la taza. Centrémonos solo en las magnitudes:

\begin{equation}
\label{CupTea_sumatoriaFuerzasXMagnitud}
\mu_e N = ma_x.
\end{equation}

Ahora necesitamos encontrar \(N \). Para hacerlo, considere las ecuaciones de fuerza en \({y} \):

\begin{equation}
\label{CupTea_sumatoriaFuerzasY}
N \, \hat{\textbf{j}} – W \, \hat{\textbf{j}} = m a_y \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Dado que la taza no acelera a lo largo de \({y} \), y como \(W = mg \), obtenemos:

\begin{equation}
\label{CupTea_sumatoriaFuerzasYmg}
N \, \hat{\textbf{j}} – mg \, \hat{\textbf{j}} = 0 \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Por lo tanto,

\begin{equation}
\label{CupTea_NormalVector}
N \, \hat{\textbf{j}} = mg \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Si nos enfocamos en las magnitudes, obtenemos

\begin{equation}
\label{CupTea_NormalMagnitud}
N=mg.
\end{equation}

Usemos esto en la ecuación \eqref{CupTea_sumatoriaFuerzasXMagnitud} :

\begin{equation}
\mu_e {(mg)} = m a_x
\end{equation}

Entonces, si dividimos por \(mg \), obtenemos:

\begin{equation}
\mu_e = \frac{a_x}{g}.
\end{equation}

Finalmente, insertemos los valores numéricos:

\begin{equation}
\mu_e = \frac{{(2 \, \text{m/s}^2)}}{{(9.8 \, \text{m/s}^2)}},
\end{equation}

para obtener:

\begin{equation}
\mu_e = 0.2.
\end{equation}

(b) La taza ejerce dos fuerzas sobre la bandeja, una fuerza normal y una fuerza de fricción. Así, la fuerza total de la taza sobre la bandeja viene dada por la suma vectorial de estas dos fuerzas:

\begin{equation}
\vec{F}_T=\vec{N}+\vec{fr}
\end{equation}

De la Tercera Ley de Newton se deduce que la fuerza normal que ejerce la taza sobre la bandeja es de la misma magnitud que la fuerza normal que la bandeja ejerce sobre la taza. Y la magnitud de la fricción estática que ejerce la bandeja sobre la taza es la misma que la que ejerce la taza sobre la bandeja.

La fuerza normal sobre la taza tiene magnitud \(mg \) y apunta en el eje Y positivo, por lo que la fuerza normal que produce la taza sobre la bandeja es de la misma magnitud pero en la dirección opuesta:

\begin{equation}
N_t \, \hat{\textbf{j}} = -mg \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

La fricción estática que hace la bandeja sobre la taza viene dada por la ecuación \eqref{CupTea_sumatoriaFuerzasX} a partir de (a). Por lo tanto, la fricción estática que hace la taza sobre la bandeja es la misma pero en la dirección opuesta:

\begin{equation}
f_{rt} \, \hat{\textbf{i}} = -ma_x \, \hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Entonces, las fuerzas que ejerce la taza sobre la bandeja se muestran en la figura 2.

Figura 2: Fuerzas que ejerce la taza sobre la bandeja. Las fuerzas son la fuerza de contacto \(N_T \) y la fuerza de fricción \(f_{rT} \). Según la tercera ley de Newton, la magnitud de estas fuerzas es la misma que \(N \) y \(f_r \) ejercidas sobre la taza.

Ya que que estas dos fuerzas son perpendiculares, entonces la magnitud de la fuerza total que ejerce la taza sobre la bandeja viene dada por

\begin{equation}
F_T = \sqrt{ (N_T)^2 + (f_{rT})^2 }.
\end{equation}

Usando las expresiones que encontramos para la fuerza normal y la fuerza de fricción anteriores, obtenemos:

\begin{equation}
F_T = \sqrt{({-mg})^2 + ({-ma_x})^2}.
\end{equation}

Insertemos el valor numérico aquí:

\begin{equation}
F_T = \sqrt{\bigg(-{(0.1\, \text{kg})}{(9.8 \, \text{m/s}^2)}\bigg)^2 + \bigg(-{(0.1\, \text{kg})} {(2 \, \text{m/s}^2)}\bigg)^2},
\end{equation}

para obtener:

\begin{equation}
F_T = 1.0002 \, \text{N}.
\end{equation}

Finalmente, la dirección de la fuerza se puede calcular fácilmente observando el ángulo entre las dos fuerzas. En particular, considere la figura 3.

Figura 3: Ángulo \(\theta \) entre la fuerza total \(F_T \) sobre la bandeja ejercida por la taza y la línea horizontal.

Por tanto, el ángulo entre las fuerzas viene dado por

\begin{equation}
\tan \theta = \frac{-mg}{-ma_x}.
\end{equation}

Por lo tanto,

\begin{equation}
\theta = 78.5^\circ.
\end{equation}

Entonces, la magnitud de la fuerza es \(1.0002 \, \text{N} \), y la dirección viene dada por \(\theta = 78.5^\circ \), como se indica en la figura.

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