Una niña de \(50 \, \text{kg} \) corre para saltar sobre un columpio vacío, como se muestra en la imagen. El columpio pesa medio kilo y las cuerdas que lo sostienen tienen una longitud de \(2 \, \text{m} \). Después de que salta sobre él, el columpio se eleva a un ángulo de \(30^\circ \) con respecto al eje vertical. Calcule la rapidez inicial de la niña. Trate la interacción inicial entre la niña y el columpio como una colisión completamente inelástica.

Aplique tanto la conservación del momento como la conservación de la energía. Considere que la altura se puede escribir en términos de longitud y ángulo.

La conservación del momento lineal (\(\vec{p}_i = \vec{p}_f \)) se puede escribir como:

\begin{equation*}
m_kv_0=(m_k+m_s)v_i,
\end{equation*}

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donde podemos despejar \(v_i \) en términos de \(v_0 \).

La conservación de energía después de la colisión es:

\begin{equation*}
\frac{1}{2}(m_k+m_s)v_i^2 = (m_k+m_s)gh,
\end{equation*}

donde \(h \) se puede determinar usando la geometría de la situación como:

\begin{equation*}
h = L (1 – \cos \theta ).
\end{equation*}

Reemplazando \(h \) y \(v_i \) en la ecuación de conservación de energía, y despejando \(v_0 \), después de algo de álgebra obtenemos:

\begin{equation*}
v_0=\frac{m_k+m_s}{m_k}\sqrt{2gL(1-\cos(\theta))},
\end{equation*}

que con valores numéricos es:

\begin{equation*}
v_0\approx 2.31 \, \text{m/s}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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Necesitamos encontrar la rapidez de la niña antes de que se suba al columpio. Dividamos el problema en dos pasos:

  • Usaremos la conservación del momento lineal entre el instante antes de que la niña corra hacia el columpio y justo después de su colisión inelástica. A partir de este paso, encontraremos una relación entre la velocidad de la niña antes de la colisión con el columpio y la velocidad tanto de la niña como del columpio después de la colisión.
  • Después de la colisión, la niña y el columpio se mueven juntos como un todo. Usaremos la conservación de la energía mecánica para relacionar la energía cinética inicial con la energía potencial en el ángulo máximo. Usando el resultado del paso anterior, podremos encontrar la rapidez inicial de la niña.

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Comencemos escribiendo la ley de conservación del momento lineal para la colisión:

\begin{equation}
\label{cons}
\vec{p}_i=\vec{p}_f,
\end{equation}

donde \(\vec{p}_i \) es el momento lineal de la niña y el columpio antes de su colisión y \(\vec{p}_f \) será el momento lineal de la niña y el columpio justo después de la colisión. Ya que todo el movimiento ocurre a lo largo de un eje, digamos X, podemos usar la siguiente ecuación para encontrar el momento antes de la colisión

\begin{equation}
\vec{p}_i=m_kv_0\,\hat{\textbf{i}}+m_sv_S\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}

donde \(m_k \) y \(m_s \) son las masas de la niña y el columpio respectivamente, y \(v_0 \) y \(v_S \) sus velocidades. Debido a que el columpio no se mueve antes de la colisión, \(v_s = 0 \, \text{m/s} \) y la expresión del momento lineal antes de la colisión se convierte en

\begin{equation}
\label{pi}
\vec{p}_i=m_kv_0\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Figura 1: Colocamos el sistema de coordenadas de manera que la velocidad inicial de la niña \(\vec{v}_0 \) está a lo largo del eje X. Inicialmente, el columpio está en reposo.

Teniendo en cuenta que la niña y el columpio ahora se mueven como un todo, la expresión para el momento justo después de la colisión es

\begin{equation}
\label{pf}
\vec{p}_f=(m_k+m_s)v_i\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}

donde \(v_i \) es su rapidez justo después de la colisión.

Figura 2: Momento justo después de la colisión de la niña y el columpio. El sistema niña-columpio comienza a moverse con velocidad \(\vec{v}_i\).

Usando las expresiones para el momento antes y después de la colisión dadas por las ecuaciones \eqref{pi} y \eqref{pf} en la ecuación \eqref{cons}, obtenemos

\begin{equation}
m_kv_0\,\hat{\textbf{i}}=(m_k+m_s)v_i\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}

que, después de eliminar la notación vectorial y centrarnos en las magnitudes, se convierte en

\begin{equation}
m_kv_0=(m_k+m_s)v_i.
\end{equation}

Podemos despejar \(v_i \), la rapidez del sistema niña-columpio después de la colisión, para obtener

\begin{equation}
\label{vi}
v_i=\frac{m_c v_0}{(m_c+m_f)}.
\end{equation}

Ahora, comencemos con el segundo paso. Usaremos la conservación de la energía mecánica entre dos puntos en la trayectoria del sistema niña-columpio. El primer punto está justo después de la colisión, donde toda la energía mecánica \(E_1 \) es solo energía cinética \(K_1 \). No hay energía potencial \(U_1 \) en este punto porque definimos el origen de nuestro sistema de coordenadas precisamente en este punto. Por lo tanto, podemos utilizar la siguiente ecuación para la energía mecánica inicial

\begin{equation}
E_1=K_1,
\end{equation}

que después de usar la expresión explícita para la energía cinética se convierte en

\begin{equation}
\label{e1}
E_1=\frac{1}{2}(m_k+m_s)v_i^2.
\end{equation}

El segundo punto estará a la altura máxima que alcancen la niña y el columpio. En este punto, la energía cinética \(K_2 \) es cero porque la velocidad es cero. Por lo tanto, la energía mecánica \(E_2 \) es puramente energía potencial \(U_2 \). Entonces podemos escribir

\begin{equation}
E_2 = U_2,
\end{equation}

que después de usar la expresión explícita para la energía potencial gravitacional se convierte en

\begin{equation}
\label{e2}
E_2=(m_k+m_s)gh,
\end{equation}

donde \(g \) es la aceleración gravitacional en la Tierra y \(h \) es la altura con respecto al sistema de coordenadas previamente definido. Esta altura \(h \) se puede dar en términos de la longitud de las cuerdas que sostienen el columpio \(L \) y el ángulo máximo \(\theta \), como se puede ver en la figura 3.

Figura 3: Cuando la niña y el columpio describen un ángulo \(\theta \) con respecto a la vertical, se han elevado una distancia h desde su posición inicial a lo largo del eje Y.

En la figura anterior, vemos que la altura \(h \) puede expresar la diferencia entre \(L \) y el lado adyacente del triángulo formado por el columpio, cuya longitud es \(L \cos (\theta) \). Entonces, tenemos

\begin{equation}
h=L-L\cos(\theta),
\end{equation}

y factorizando \(L \)

\begin{equation}
h=L(1-\cos(\theta)).
\end{equation}

Entonces, la energía mecánica en el segundo punto es (de la ecuación \eqref{e2}):

\begin{equation}
\label{e22}
E_2=(m_k+m_s)gL(1-\cos(\theta)).
\end{equation}

La conservación de la energía mecánica entre los puntos 1 y 2 es entonces

\begin{equation}
E_1=E_2.
\end{equation}

Usando las expresiones explícitas para la energía mecánica en los puntos 1 y 2 dadas por las ecuaciones \eqref{e1} y \eqref{e22} obtenemos

\begin{equation}
\frac{1}{2}(m_k+m_s)v_i^2=(m_k+m_s)gL(1-\cos(\theta)),
\end{equation}

donde podemos cancelar las masas y obtener

\begin{equation}
\frac{1}{2}v_i^2=gL(1-\cos(\theta)).
\end{equation}

Usando la expresión para \(v_i \) encontrada en la ecuación \eqref{vi} en la ecuación anterior obtenemos

\begin{equation}
\frac{1}{2}\left(\frac{m_kv_0}{m_k+m_s}\right)^2=gL(1-\cos(\theta)).
\end{equation}

La única incógnita en esta última ecuación es la rapidez inicial de la niña \(v_0 \). Podemos despejarla de la siguiente manera

\begin{equation}
\left(\frac{m_kv_0}{m_k+m_s}\right)^2=2gL(1-\cos(\theta)),
\end{equation}

y sacando la raíz cuadrada en ambos lados

\begin{equation}
\frac{m_kv_0}{m_k+m_s}=\sqrt{2gL(1-\cos(\theta))},
\end{equation}

y finalmente

\begin{equation}
v_0=\frac{m_k+m_s}{m_k}\sqrt{2gL(1-\cos(\theta))}.
\end{equation}

Usando los valores numéricos obtenemos

\begin{equation}
v_0=\frac{50\,\text{kg}+0.5\,\text{kg}}{50\,\text{kg}}\sqrt{2(9.8\,\text{m/s}^2)(2\,\text{m})(1-\cos(30^{\circ}))},
\end{equation}

\begin{equation}
v_0\approx 2.31\,\text{m/s}.
\end{equation}

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