¡Pasar la aspiradora!

a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre y calcule cada componente de la aceleración. Tenga en cuenta que la fuerza ejercida por la aspiradora también tiene componentes en \({x-} \) y \({y-} \).

b) Con las ecuaciones anteriores para \({x} \) y \({y} \), puede establecer que el ángulo tenga un valor de \(90 ^ \circ \).

a) Según la segunda ley de Newton a lo largo de \({x} \), tenemos:

\begin{equation*}
F_s\cos(\theta)=ma_x,
\end{equation*}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

y la segunda ley de Newton a lo largo de del eje \({y-} \) establece:

\begin{equation*}
F_s\sin(\theta)-mg=ma_y.
\end{equation*}

Para el mechón de cabello de masa \(m = 0.5 \, \text{mg} \), obtenemos,
Para el eje \({x-} \),

\begin{equation*}
a_x\approx 6.93\times 10^{6}\,\text{m/s}^2.
\end{equation*}

Para el eje \({y-} \),

\begin{equation*}
a_y\approx 4\times 10^{-6}\,\text{m/s}^2.
\end{equation*}

Para el trozo de pan rallado de masa \(m=2\,\text{g}\), obtenemos,
Para el eje \({x-} \),

\begin{equation*}
a_x\approx 1.73\times 10^{3}\,\text{m/s}^2.
\end{equation*}

Para el eje \({y-} \), obtenemos

\begin{equation*}
a_y=990.2\,\text{m/s}^2.
\end{equation*}

Para el juguete de masa \(m=100\,\text{g}\), obtenemos,
Para el eje \({x-} \),

\begin{equation*}
a_x\approx 34.6\,\text{m/s}^2.
\end{equation*}

Para el eje \({y-} \), obtenemos

\begin{equation*}
a_y\approx 10.2\,\text{m/s}^2.
\end{equation*}

b) Si \(\theta = 90 ^ \circ \), entonces para los tres objetos en la dirección \({x-} \), \(\cos (90 ^ \circ) = 0 \). Entonces

\begin{equation*}
a_x = 0.
\end{equation*}

Para el mechón de pelo, obtenemos

\begin{equation*}
a_y\approx 8\times 10^{6}\,\text{m/s}^2.
\end{equation*}

Para la miga de pan, obtenemos

\begin{equation*}
a_y=1990.2\,\text{m/s}^2.
\end{equation*}

Finalmente, para el juguete, obtenemos

\begin{equation*}
a_y\approx 30.2\,\text{m/s}^2.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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1. Estrategia general para (a)

a) Necesitamos calcular la aceleración de las tres masas justo después de que dejan de tocar el suelo. Para abordar este problema, comenzaremos haciendo un diagrama de cuerpo libre e identificando las fuerzas ejercidas sobre un cuerpo de masa \(m\) justo cuando el cuerpo pierde contacto con el piso. Luego, usaremos la Segunda Ley de Newton a lo largo de ambos ejes para encontrar una expresión para la aceleración de ese cuerpo. Finalmente, usaremos esta expresión para cada uno de los objetos del problema.

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

2. Identificar las fuerzas y realizar un diagrama de cuerpo libre

Sobre cada objeto hay una fuerza \(F_s\) ejercida por la aspiradora con una inclinación de \(\theta=30^{\circ}\) con respecto al piso. Además, sabemos que el peso de cada objeto viene dado por \(mg\) y se dirige hacia abajo (aquí \(g=9.8\,\text{m/s}^2\) es la aceleración gravitacional de la Tierra). Observe que, dado que estamos considerando el caso en el que el objeto acaba de perder contacto con el suelo, no habrá fuerza de contacto \(\vec{N} \) sobre el objeto. (El suelo no toca el objeto en ese momento). Por lo tanto, el diagrama de cuerpo libre se muestra en la Figura 1.

Figura 1: Diagrama de cuerpo libre de los objetos en el instante en el que pierden contacto con el piso. Las fuerzas que se muestran son el peso \(\vec{W}=-mg\,\hat{\textbf{j}}\) y la fuerza de succión en la misma dirección que el tubo de la aspiradora. Elegimos el sistema de coordenadas de modo que el eje X positivo apunte en la dirección del piso y el eje Y apunte hacia arriba.

En la figura, vemos que podemos escribir el componente a lo largo del eje \({x-} \) como \(F_{sx} = F_s \cos (\theta) \) y el componente a lo largo del eje \({y-} \) como \(F_{sy} = F_s \sin (\theta) \). Claramente, dado el sistema de coordenadas elegido, el componente \({x-} \) y los componentes \({y-} \) de \(F_s \) son positivos.

3. Segunda ley de Newton a lo largo del eje \({x-} \)

Ahora, podemos escribir la segunda ley de Newton para el eje \({x-} \) como

\begin{equation}
F_s\cos(\theta)\,\hat{\textbf{i}}=ma_x\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}

donde notamos que la fuerza es positiva, lo que significa que la aceleración también es positiva, y (\(a_x \) es la aceleración del objeto a lo largo del eje \({x-} \). Después de eliminar la notación vectorial y centrarnos en las magnitudes, esta ecuación se convierte en

\begin{equation}
F_s\cos(\theta)=ma_x.
\end{equation}

Después de despejar \(a_x \) en la ecuación, obtenemos

\begin{equation}
\label{ax}
a_x=\frac{F_s\cos(\theta)}{m}.
\end{equation}

El último paso sigue siendo introducir valores numéricos (lo que haremos más adelante).

4. Segunda ley de Newton a lo largo del eje \({y-} \)

Mientras tanto, escribamos la segunda ley de Newton a lo largo del eje \({y-} \) para obtener la aceleración a lo largo de este eje, \(a_y \). Usando la Figura 1 como referencia, obtenemos

\begin{equation}
F_s\sin(\theta)\,\hat{\textbf{j}}-mg\,\hat{\textbf{j}}=ma_y\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}

ya que el componente \({y-} \) de la fuerza del vacío es positivo, el peso es negativo y suponemos que la aceleración vertical también es positiva. Después de descartar la notación vectorial y centrándonos en las magnitudes, esto se convierte en

\begin{equation}
F_s\sin(\theta)-mg=ma_y.
\end{equation}

Después de despejar \(a_y\) en la ecuación anterior, obtenemos

\begin{equation}
a_y=\frac{F_s\sin(\theta)}{m}-\frac{mg}{m}.
\end{equation}

Después de simplificar la expresión, cancelando la masa en el segundo término, obtenemos

\begin{equation}
\label{ay}
a_y=\frac{F_s\sin(\theta)}{m}-g.
\end{equation}

5. Ingresar valores numéricos

Ahora podemos usar las ecuaciones \eqref{ax} y \eqref{ay} para insertar valores numéricos explícitos para las aceleraciones de cada objeto.

Para el mechón de pelo de masa \(m=0.5\,\text{mg}=5\times10^{-7}\,\text{kg}\), obtenemos,
Para el eje \({x-} \),
\begin{equation}
a_x=\frac{(4\,\text{N})\cos(30^{\circ})}{5\times10^{-7}\,\text{kg}},
\end{equation}

\begin{equation}
a_x\approx 6.93\times 10^{6}\,\text{m/s}^2.
\end{equation}

Para el eje \({y-} \), obtenemos

\begin{equation}
a_y=\frac{(4\,\text{N})\sin(30^{\circ})}{5\times10^{-7}\,\text{kg}}-9.8\,\text{m/s}^2,
\end{equation}

\begin{equation}
a_y\approx 4\times 10^{-6}\,\text{m/s}^2.
\end{equation}

Para la miga de pan de masa \(m=2\,\text{g}=2\times10^{-3}\,\text{kg}\), obtenemos,
Para el eje \({x-} \),
\begin{equation}
a_x=\frac{(4\,\text{N})\cos(30^{\circ})}{2\times10^{-3}\,\text{kg}},
\end{equation}

\begin{equation}
a_x\approx 1.73\times 10^{3}\,\text{m/s}^2.
\end{equation}

Para el eje \({y-} \), obtenemos

\begin{equation}
a_y=\frac{(4\,\text{N})\sin(30^{\circ})}{2\times10^{-3}\,\text{kg}}-9.8\,\text{m/s}^2,
\end{equation}

\begin{equation}
a_y=990.2\,\text{m/s}^2.
\end{equation}

Para el juguete de masa \(m=100\,\text{g}=0.1\,\text{kg}\), obtenemos,
Para el eje \({x} \),
\begin{equation}
a_x=\frac{(4\,\text{N})\cos(30^{\circ})}{0.1\,\text{kg}},
\end{equation}

\begin{equation}
a_x\approx 34.6\,\text{m/s}^2.
\end{equation}

Para el eje \({y-} \), obtenemos

\begin{equation}
a_y=\frac{(4\,\text{N})\sin(30^{\circ})}{0.1\,\text{kg}}-9.8\,\text{m/s}^2,
\end{equation}

\begin{equation}
a_y\approx 10.2\,\text{m/s}^2.
\end{equation}

6. Estrategia general para (b)

b) Si la manguera de vacío está perpendicular al piso, es comparable a la situación en la que el ángulo es \(\theta = 90 ^ {\circ} \), como se muestra en la siguiente figura:

Figura 2: diagrama de cuerpo libre de los objetos a medida que pierden contacto con el suelo. Las fuerzas que se muestran son el peso \(\vec{W}=-mg\,\hat{\textbf{j}}\) y la fuerza de succión en la misma dirección que el tubo de la aspiradora. Elegimos el sistema de coordenadas de modo que el eje X positivo apunte en la dirección del tubo y el eje Y apunte hacia arriba, en la dirección del tubo.

7. Adaptar las ecuaciones anteriores a la nueva situación

Por tanto, la ecuación \eqref{ax} (que es una ecuación general para cualquier ángulo) se convierte en

\begin{equation}
a_x=\frac{F_s\cos(90^{\circ})}{m}=0,
\end{equation}

como esperábamos porque ahora todas las fuerzas actúan a lo largo del eje \({y-} \). Ahora, la ecuación \eqref{ay} (que también es una ecuación para cualquier ángulo) se convierte en

\begin{equation}
a_y=\frac{F_s\sin(90^{\circ})}{m}-g,
\end{equation}

que se simplifica a

\begin{equation}
\label{ay2}
a_y=\frac{F_s}{m}-g,
\end{equation}

ya que el seno de 90 grados es uno. Entonces podemos usar la expresión dada en la ecuación \eqref{ay2} para calcular la aceleración a lo largo del eje \({y-} \) para los tres objetos.

8. Insertar los valores numéricos

Para el mechón de pelo, obtenemos

\begin{equation}
a_y=\frac{4\,\text{N}}{5\times10^{-7}\,\text{kg}}-9.8\,\text{m/s}^2,
\end{equation}

\begin{equation}
a_y\approx 8\times 10^{6}\,\text{m/s}^2.
\end{equation}

Para la miga de pan, obtenemos

\begin{equation}
a_y=\frac{4\,\text{N}}{2\times10^{-3}\,\text{kg}}-9.8\,\text{m/s}^2,
\end{equation}

\begin{equation}
a_y=1990.2\,\text{m/s}^2.
\end{equation}

Finalmente, para el juguete, obtenemos

\begin{equation}
a_y=\frac{4\,\text{N}}{0.1\,\text{kg}}-9.8\,\text{m/s}^2,
\end{equation}

\begin{equation}
a_y\approx 30.2\,\text{m/s}^2.
\end{equation}

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