Círculo con n cargas!

a) Utilice la definición de campo eléctrico para una carga puntual y luego sume todas las cargas.

b) Empezando igual que en a), la suma no es discreta sino continua, por lo que la integración será suficiente.

a) El campo eléctrico para una carga puntual es:

\begin{equation*}
\vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\hat{\textbf{r}},
\end{equation*}

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donde, tomando una de las cargas superiores, \(\hat{\textbf{r}}=\cos\theta\,\hat{\textbf{i}}-\sin\theta\,\hat{\textbf{j}}\). Por simetría, el componente Y y Z se cancela, y el componente X tiene un coseno, donde \( \cos \theta = \frac{x}{r} \). Considerando las dimensiones, y que \(q = \frac{Q}{n} \), podemos escribir:

\begin{equation*}
E_x=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{Qx}{n(R^2+x^2)^{3/2}}.
\end{equation*}

Para obtener el campo eléctrico total tenemos que sumar \( E_x^{\text{Total}} = \sum E_x\). Entonces:

\begin{equation*}
E_x^{\text{Total}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Qx}{(R^2+x^2)^{3/2}}.
\end{equation*}

b) Un anillo con carga uniforme es el límite del problema presentado en (a) cuando \(n \) llega al infinito, mientras se mantiene constante la carga total \(Q \) del arreglo. Para el campo eléctrico, hay un diferencial \(dE_x\). Por lo tanto, la última ecuación de a) es:

\begin{equation*}
dE_x=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{xdq}{(R^2+x^2)^{3/2}}.
\end{equation*}

Por integración \(Q = \int dq \). Entonces:

\begin{equation*}
E_x^{\text{Total}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Qx}{(R^2+x^2)^{3/2}}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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Primero, dibujemos la situación con las \(n \) cargas colocadas en el círculo y con el origen de nuestro sistema de coordenadas en el centro del círculo (ver figura 1).

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En la figura anterior, vemos un punto P a lo largo del eje X, donde necesitamos encontrar la magnitud del campo eléctrico. Primero debemos calcular los componentes del campo eléctrico a lo largo de los ejes X, Y y Z.

En lugar de saltar a la ecuación que nos permite calcular cada componente del campo eléctrico, primero examinemos la simetría del problema. Existe una clara simetría a lo largo del eje X ya que todas las cargas se colocan en el plano YZ. Tomando las cargas por pares diametralmente opuestos y dibujando el vector de campo eléctrico para cada una (como en la figura 2 y 3), es evidente que cuando las sumamos, algunas componentes del campo eléctrico se cancelarán y otras se sumarán.

Para otro ejemplo, considere estas dos cargas

Si repetimos este mismo análisis para cualquier carga diametralmente opuesta, los componentes a lo largo de los ejes Y y Z se cancelan, mientras que los componentes a lo largo del eje X se suman; por lo tanto, al calcular la magnitud del campo eléctrico, nos concentraremos únicamente en el componente a lo largo del eje X.

Como también se puede ver en las figuras anteriores, la distancia de cada carga al punto P es igual. Si llamamos a esta distancia \(r \), entonces usando el teorema de Pitágoras

\begin{equation}
\label{distancer}
r=\sqrt{R^2+x^2},
\end{equation}

donde \(R \) es el radio del círculo y \(x \) es la distancia a lo largo del eje X desde el centro del círculo hasta el punto P.

Ahora, podemos escribir la expresión para el campo eléctrico de una partícula puntual de carga \(q \)

\begin{equation}
\label{efieldpc}
\vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\hat{\textbf{r}},
\end{equation}

donde \(r \) es la distancia desde la carga hasta el punto donde el campo eléctrico \(\vec{E}\) se está calculando y \(\hat {\textbf{r}} \) es el vector unitario largo de la dirección que une la carga y el punto P. Para ilustrar el concepto de vector unitario , veamos la figura 4, donde el vector unitario se muestra en rosa.

Entonces podemos escribir el vector unitario y el campo eléctrico en términos del ángulo \(\theta \), como se ilustra en la figura 5.

De la figura 5, vemos que

\begin{equation}
\label{rhat}
\hat{\textbf{r}}=\cos\theta\,\hat{\textbf{i}}-\sin\theta\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Recuerde en este punto que solo nos centraremos en el componente a lo largo del eje X, por lo que solo nos quedaremos con el primer término en la ecuación \eqref{rhat}. Juntando las ecuaciones \eqref{efieldpc} y \eqref{rhat}, podemos encontrar una expresión para el campo eléctrico a lo largo del eje X \(E_x \) para una carga puntual; a saber,

\begin{equation}
\label{efieldx}
E_x=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\cos\theta,
\end{equation}

donde omitimos el vector unitario \(\hat {\textbf{i} } \) porque solo estamos lidiando con la magnitud. Observe que \(\cos \theta \) se puede escribir en términos de variables previamente conocidas, es decir

\begin{equation}
\label{costheta}
\cos\theta=\frac{x}{r}.
\end{equation}

Usando el resultado de \eqref{costheta} en la ecuación \eqref{efieldx}, obtenemos

\begin{equation}
\label{efieldxr}
E_x=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{qx}{r^3}.
\end{equation}

Recuerde que este resultado es válido para 1 carga. Dado que cada carga tiene un valor de \(q = Q/n \), podemos escribir

\begin{equation}
\label{efieldx2}
E_x=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Qx}{nr^3}.
\end{equation}

Ahora,introducimos el resultado de la ecuación \eqref{distancer} en la ecuación \eqref{efieldx2} para obtener

\begin{equation}
\label{efieldx3}
E_x=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{Qx}{n(R^2+x^2)^{3/2}},
\end{equation}

que es el campo producido por cualquier carga del círculo a lo largo del eje X. Ya que queremos encontrar el campo eléctrico total producido por las \(n \) cargas \(E_x^{\text{Total} } \), usamos el principio de superposición para escribir

\begin{equation}
E_x^{\text{Total}}=\sum_{i=1}^{n}E_x=nE_x,
\end{equation}

donde \(E_x \) viene dado por la ecuación \eqref{efieldx3}. Entonces, la magnitud del campo eléctrico producido por el arreglo de cargas es

\begin{equation}
\label{resultado}
E_x^{\text{Total}}=n\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Qx}{n(R^2+x^2)^{3/2}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Qx}{(R^2+x^2)^{3/2}}.
\end{equation}

(b) Un anillo con carga uniforme es el límite del problema presentado en (a) cuando \(n \) llega al infinito, mientras se mantiene constante la carga total \(Q \) del arreglo. Entonces, podemos usar el mismo argumento de simetría para descartar todos los componentes en los ejes Y y Z y calcular el campo eléctrico como en la ecuación \eqref{efieldxr}, solo que esta vez la carga \(q \) será infinitamente pequeña (ya que \(n\to\infty\)). Esta pequeña carga es una carga diferencial que llamaremos \(dq \). Como consecuencia, el campo eléctrico será infinitamente pequeño, un diferencial que llamaremos \(dE_x \). Por lo tanto, podemos reescribir la expresión en la ecuación \eqref{efieldxr} en términos de los diferenciales como

\begin{equation}
dE_x=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{xdq}{r^3}.
\end{equation}

Todavía podemos usar el valor de \(r \) dado en la ecuación \eqref{distancer} para obtener

\begin{equation}
dE_x=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{xdq}{(R^2+x^2)^{3/2}}.
\end{equation}

El principio de superposición nos dice entonces que, para obtener el campo eléctrico total, debemos sumar la contribución de todas las cargas infinitesimales \(dq \), es decir, realizar la siguiente integral

\begin{equation}
E_x^{\text{Total}}=\int dE_x=\int\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{xdq}{(R^2+x^2)^{3/2}}.
\end{equation}

Si sacamos todo lo que es constante \((R,\,x,\,\epsilon_0)\), la integral se convierte en

\begin{equation}
E_x^{\text{Total}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{x}{(R^2+x^2)^{3/2}}\int dq,
\end{equation}

lo que nos deja con la integral de \(dq \), que es la carga total \(Q \) del anillo; explícitamente,

\begin{equation}
E_x^{\text{Total}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{xQ}{(R^2+x^2)^{3/2}}
\end{equation}

que es exactamente el mismo resultado que hemos obtenido en la ecuación \eqref{resultado}.

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