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Calcule el tiempo que tarda un objeto en movimiento de caída libre en llegar al suelo. Luego, encuentre cada distancia horizontal con la ecuación de movimiento de un objeto con rapidez constante.

Dado que la almendra sigue un movimiento ‘semiparabólico’ porque se golpea horizontalmente, sabemos que la rapidez horizontal es constante. Por tanto, la distancia horizontal (la distancia en X) viene dada por:

\begin{equation*}
d_x=v_x t.
\end{equation*}

Considere el movimiento a lo largo del eje Y. Verticalmente, la almendra tiene aceleración constante y, en general, la ecuación de movimiento de un objeto con aceleración constante es:

\begin{equation*}
\vec{y}_f = \frac{1}{2} \vec{g} t^2 + \vec{v}_{i_y}t + \vec{y}_i.
\end{equation*}

Con los valores dados, y despejando \( t \), obtenemos:

\begin{equation*}
t = \sqrt{\frac{2 y_i}{g}}.
\end{equation*}

Para encontrar la diferencia de distancia, podemos escribir:

\begin{equation*}
\Delta D = |d_{x_1} – d_{x_2}| = \left|v_x t – v_x t \right| = \left|v_x \sqrt{\frac{2 y_1}{g}} – v_x \sqrt{\frac{2 y_2}{g}} \right|,
\end{equation*}

donde \( d_{x_1} \) y \( d_{x_2} \) están relacionadas con la variable de tiempo \( t \) encontrada antes, que también es una función de \( y_1 \) y \( y_2 \) respectivamente ( las alturas dadas).

Usando los valores numéricos podemos obtener:

\begin{equation*}
\Delta D = 0.2 \, \text{m}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

Necesitamos encontrar la diferencia entre la distancia horizontal recorrida por la almendra cuando se golpea a una altura inicial de 1 m y la distancia horizontal que viaja cuando se golpea a una altura de 1.5 m (en ambos casos, la almendra se golpea horizontalmente). Entonces, tenemos que encontrar una expresión que exprese la distancia horizontal recorrida por la almendra dada una cierta altura inicial. Una vez que encontremos tal expresión, podemos simplemente poner los números. La clave para encontrar esa expresión reside en notar que la almendra sigue un tipo de movimiento semiparabólico.

Comencemos eligiendo un sistema de coordenadas (figura 1). Colocaremos uno en el suelo, directamente debajo del punto en el que se mueve la almendra y donde el eje X apunta en la dirección de movimiento de la almendra.

Figura 1: Colocamos el sistema de coordenadas en el suelo justo debajo de la posición inicial de la almendra. El eje X se dirige hacia la izquierda a lo largo de la trayectoria de la almendra.

Ahora, la distancia horizontal total para cualquier tipo de proyectil depende solo de la velocidad horizontal y el tiempo. Esto es cierto sin importar cuál sea el ángulo inicial o la altura inicial o la rapidez inicial del proyectil. Dado que la almendra sigue un movimiento parabólico (o movimiento ‘semiparabólico’, ya que se lanza horizontalmente), sabemos que la rapidez horizontal es constante. Por tanto, la distancia horizontal (la distancia en X) viene dada por

\begin{equation}
\label{Flick_dvxt}
d_x=v_x t,
\end{equation}

donde \( v_x \) es la velocidad largo de X, y \( t \) es el tiempo que la almendra está volando. En este caso, \( v_x \) es solo la rapidez inicial \( v_i \), ya que el ángulo inicial es cero, por lo que el único componente de la velocidad inicial es el componente X ( la almendra se lanza completamente horizontalmente) . Entonces podemos reescribir la ecuación \eqref{Flick_dvxt} como

\begin{equation}
\label{Flick_dvt}
d_x=v_i t.
\end{equation}

Ahora, calculemos el tiempo total que la almendra está volando. Para hacer esto, consideremos el movimiento a lo largo del eje Y. Verticalmente, la almendra tiene aceleración constante y, en general, la ecuación de movimiento para un objeto con aceleración constante es

\begin{equation}
\label{Flick_yfVector}
\vec{y}_f = \frac{1}{2} \vec{g} t^2 + \vec{v}_{i_y}t + \vec{y}_i.
\end{equation}

De acuerdo con nuestro sistema de coordenadas, la posición inicial (altura) es positiva, la aceleración gravitacional es negativa, no hay velocidad inicial en Y (nuevamente, la almendra se mueve horizontalmente) y la posición final también es cero (porque estamos solo le interesa la distancia que recorre la almendra hasta tocar el suelo). Por tanto, la ecuación \eqref{Flick_yfVector} se convierte en

\begin{equation}
\label{Flick_yf}
0 \, \hat{\textbf{j}} = – \frac{1}{2} g t^2 \, \hat{\textbf{j}} + y_i \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Dada esta ecuación, podemos despejar fácilmente el tiempo \(t\). Primero, movamos el término \(- \frac{1}{2} g t^2\) a la izquierda y enfoquemonos en las magnitudes:

\begin{equation}
\frac{1}{2} g t^2 = y_i.
\end{equation}

Luego, multiplicamos ambos lados por \( \frac{2}{g} \) y sacamos la raíz cuadrada para obtener

\begin{equation}
\label{Flick_tiempo}
t = \sqrt{\frac{2 y_i}{g}}.
\end{equation}

Tenga en cuenta que el tiempo de vuelo de la almendra depende de la altura inicial, ¡pero no de la rapidez inicial! Entonces esta ecuación funciona incluso para el caso donde la rapidez inicial es cero. En otras palabras, la ecuación \eqref{Flick_tiempo} muestra que si un objeto se suelta (sin rapidez inicial) desde una determinada altura, o si se lanza muy rápidamente en dirección horizontal, el tiempo que tarda en llegar al suelo es exactamente el mismo. Por supuesto, si no se lanza horizontalmente, el tiempo total antes de llegar al suelo también dependerá de la velocidad inicial a lo largo de Y.

Si usamos este tiempo en la ecuación \eqref{Flick_dvt}, obtenemos

\begin{equation}
d_x = v_x \left( \sqrt{\frac{2 y_i}{g}} \right).
\end{equation}

Observe que esta expresión nos da la distancia total en función de la altura inicial y la rapidez inicial. Evidentemente, cuanto mayor sea la altura inicial, mayor será la distancia recorrida por la almendra. Entonces, todo lo que tenemos que hacer ahora es encontrar la diferencia entre la distancia correspondiente a las dos alturas iniciales. Si llamamos a una altura \(y_{1}\) y a la otra \(y_{2}\), obtenemos

\begin{equation}
\Delta D = |d_{x_1} – d_{x_2}| = \left|v_x \sqrt{\frac{2 y_1}{g}} – v_x \sqrt{\frac{2 y_2}{g}} \right|,
\end{equation}

donde las barras verticales \(|\) indican que solo nos importan los valores absolutos o las magnitudes de los términos (la distancia es siempre un número positivo).

Factoricemos la rapidez inicial \(v_x\) (podemos hacer esto porque es positivo):

\begin{equation}
\Delta D = v_x \left| \sqrt{\frac{2 y_1}{g}} – \sqrt{\frac{2 y_2}{g}} \right|
\end{equation}

Finalmente, insertemos los valores numéricos

\begin{equation}
\Delta D = (2\, \text{m/s}) \left| \sqrt{\frac{2 (1 \, \text{m} ) }{(9.8 \, \text{m/s}^2)}} – \sqrt{\frac{2 (1.5 \, \text{m})}{(9.8 \, \text{m/s}^2)}} \right|
\end{equation}

para obtener

\begin{equation}
\Delta D = 0.2 \, \text{m}.
\end{equation}

Por supuesto, si hubiéramos restado \(d_{x_1}\) de \(d_{x_2}\) en cambio, habríamos obtenido exactamente el mismo resultado porque el valor absoluto de \((a-b)\) es lo mismo que el valor absoluto de \((b-a)\) (por eso usamos el valor absoluto en el primer lugar).

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