¡De Pie Sobre una Barra Uniforme!

a) Sume los torques y relacione las variables para despejar la distancia, \({x} \).

b) La misma pista que la parte (a). Tenga en cuenta que la distancia es diferente de la dada en parte (a).

a) Para el equilibrio, la suma de todos los torques es:

\begin{equation*}
\sum \vec{\tau} = \vec{0}.
\end{equation*}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

En este caso:

\begin{equation*}
(\ell_1 + \ell_2 – L/2) Mg – xmg = 0,
\end{equation*}

y despejando \(x\) con valores numéricos obtenemos:

\begin{equation*}
x = 1.2 \, \text{m}.
\end{equation*}

b) La suma de los torques en este caso es:

\begin{equation*}
(\ell_1 + \ell_2 {}^{\prime} – L/2) Mg – Lmg = 0,
\end{equation*}

donde resolviendo para \(\ell_2 {}^{\prime}\) obtenemos:

\begin{equation*}
\ell_2 {}^{\prime}=L\frac{\left(1+\frac{M}{2m}\right)}{\left(1+\frac{M}{m}\right)}-\ell_1,
\end{equation*}

que con valores numéricos da:

\begin{equation*}
\ell_2 {}^{\prime} \approx 10.62 \, \text{m}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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a) Para abordar la solución de este problema, debemos exigir equilibrio rotacional alrededor del punto B y encontrar la distancia máxima \(x\) tal que la barra todavía esté en equilibrio. Para ello, primero dibujamos el diagrama de cuerpo libre con las distancias dadas para calcular el torque, como se ve en la figura 1.

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

Figura 1: diagrama de cuerpo libre para la barra. El eje de coordenadas se elige de modo que el eje Y sea positivo hacia arriba y su origen esté en B. Se muestran las cuatro fuerzas ejercidas sobre la barra: las fuerzas de contacto de los soportes triangulares \(\vec{N}_A\) y \(\vec{N}_B\), la fuerza de contacto ejercida por la persona en la barra \(\vec{N}_p\) y el peso de la barra \(\vec{W}=-Mg\,\hat{\textbf{j}}\) ubicado en el medio de la barra.

Ahora analizaremos las fuerzas ejercidas sobre la barra y las escribiremos explícitamente usando el sistema de coordenadas dado. Como se ve en la figura anterior, tenemos el peso de la barra con masa total \(M\) dado por \(\vec{W}=-Mg\,\hat{\textbf{j}}\) ubicado en su centro de masa. El término \(g\) es la aceleración gravitacional en la Tierra. También tenemos la fuerza ejercida por la persona \(\vec{N}_p=-mg\,\hat{\textbf{j}}\), donde \(m\) es la masa de la persona. Tenemos dos fuerzas de contacto, una en el punto A \(N_A\,\hat{\textbf{j}}\) y una en el punto B \(N_B\,\hat{\textbf{j}}\).

A medida que la persona camina hacia la derecha del punto B, la barra tiende a girar en el sentido de las agujas del reloj alrededor del punto B. La distancia máxima que la persona podría caminar sería tal que \(N_A=0\) y la barra pierda contacto en el punto B y comience a moverse. Entonces consideremos esa situación exacta y escribamos la segunda ley de Newton para las rotaciones

\begin{equation}
\label{newton}
\sum\vec{\tau}=I\vec{\alpha},
\end{equation}

donde \(I\) es el momento de inercia, \(\vec{\alpha}\) la aceleración angular y \(\sum\vec{\tau}\) la suma de todos los torques alrededor de un cierto punto. En nuestro caso estático, la aceleración angular es cero, entonces la ecuación \eqref{newton} se convierte en

\begin{equation}
\label{newton2}
\sum \vec{\tau}=\vec{0}.
\end{equation}

Ahora podemos calcular el torque en el punto B ejercido por cada fuerza. Para hacer esto, usamos la definición de torque

\begin{equation}
\label{torque}
\vec{\tau}=\vec{r}\times \vec{F},
\end{equation}

donde \(\vec{r}\) es el vector de distancia desde el punto B hasta el punto donde la fuerza \(\vec{F}\) es aplicada. Entonces, calculemos el torque para todas las fuerzas.

Para la fuerza de contacto en el punto B, el vector de distancia \(\vec{r}\) es cero, por lo que esta fuerza no produce torque. Como \(N_A=0\) entonces la fuerza de contacto en el punto A no ejerce torque sobre el punto B. Solo nos queda calcular el torque producido por el peso de la barra y el torque producido por el peso de la persona.

En el caso del peso de la barra, el vector de distancia tendrá magnitud \(\ell_1+\ell_2-L/2\) (la distancia desde el punto B al centro de la barra) y está dirigido hacia la izquierda. Por lo tanto, usando la ecuación \eqref{torque} , tenemos, para el torque generado por el peso de la barra,

\begin{equation}
\vec{\tau}_M=(-(\ell_1+\ell_2-L/2)\,\hat{\textbf{i}})\times (-Mg\,\hat{\textbf{j}}),
\end{equation}

que es igual a

\begin{equation}
\vec{\tau}_M=(\ell_1+\ell_2-L/2)Mg\,\hat{\textbf{i}}\times \hat{\textbf{j}},
\end{equation}

\begin{equation}
\label{taum1}
\vec{\tau}_M=(\ell_1+\ell_2-L/2)Mg\,\hat{\textbf{k}},
\end{equation}

donde en la última línea, hemos usado el hecho de que \(\hat{\textbf{i}}\times\hat{\textbf{j}}=\hat{\textbf{k}}\).

En el caso del peso de la persona, el vector de distancia tendrá magnitud \(x\) y estará dirigido hacia la derecha. Entonces, usando la ecuación \eqref{torque} , tenemos para el torque generado por el peso de la persona

\begin{equation}
\vec{\tau}_m=(x\,\hat{\textbf{i}})\times (-mg\,\hat{\textbf{j}}),
\end{equation}

que es igual a

\begin{equation}
\vec{\tau}_m=-xmg\,\hat{\textbf{i}}\times \hat{\textbf{j}},
\end{equation}

\begin{equation}
\label{taum2}
\vec{\tau}_m=-xmg\,\hat{\textbf{k}},
\end{equation}

donde en la última línea, hemos usado el hecho de que \(\hat{\textbf{i}}\times\hat{\textbf{j}}=\hat{\textbf{k}}\).

Usando las expresiones explícitas para los torques dados en las ecuaciones \eqref{taum1} y \eqref{taum2} en la ecuación \eqref{newton2} ,
obtenemos

\begin{equation}
(\ell_1+\ell_2-L/2)Mg\,\hat{\textbf{k}}-xmg\,\hat{\textbf{k}}=\vec{0}.
\end{equation}

Podemos eliminar la notación vectorial en la ecuación anterior, ya que todas las cantidades están en el mismo eje, por lo que podemos escribir

\begin{equation}
(\ell_1+\ell_2-L/2)Mg-xmg=0.
\end{equation}

Resolviendo \(x\) en la ecuación anterior, obtenemos

\begin{equation}
xmg=(\ell_1+\ell_2-L/2)Mg,
\end{equation}

\begin{equation}
x=\frac{(\ell_1+\ell_2-L/2)Mg}{mg},
\end{equation}

y cancelando \(g\), finalmente llegamos a

\begin{equation}
\label{equis}
x=\frac{(\ell_1+\ell_2-L/2)M}{m}.
\end{equation}

Usando los valores numéricos, obtenemos

\begin{equation}
x=\frac{(4\,\text{m}+7\,\text{m}-(18\,\text{m})/2)(45\,\text{kg})}{75\,\text{kg}},
\end{equation}

\begin{equation}
x=1.2\,\text{m}.
\end{equation}

Por lo tanto, la persona puede estar a cualquier distancia \(x\) menor o igual que \(1.2\,\text{m}\) desde el punto B y la barra estará en equilibrio.

b) Ahora debemos considerar el escenario donde la persona está parada al final de la barra. Necesitamos encontrar la nueva posición para el pivote B para que el sistema mantenga el equilibrio. La situación propuesta en esta parte del problema equivale a decir que

\begin{equation}
\label{condition}
\ell_1+\ell_2’+x=L,
\end{equation}

donde \(\ell_2’\) es la nueva distancia del punto A al punto B y \(x\) sigue siendo la distancia entre el punto B y la persona, como se ve en la figura 2. Así, si calculamos \(\ell_2’\), tendremos la nueva posición del punto B con respecto al punto A.

Figura 2: Sistema de coordenadas para el segundo caso.

Debido a que ninguna de las fuerzas cambió, aún podemos usar nuestro resultado para \(x\) cambiando \(\ell_2\) con \(\ell_2’\), explícitamente, de la ecuación \eqref{equis}

\begin{equation}
x=\frac{(\ell_1+\ell_2 {}^{\prime}-L/2)M}{m}.
\end{equation}
Usando el resultado anterior en la ecuación \eqref{condition} , obtenemos

\begin{equation}
\ell_1+\ell_2 {}^{\prime}+\frac{(\ell_1+\ell_2 {}^{\prime}-L/2)M}{m}=L.
\end{equation}

La expresión anterior se puede usar para resolver \(\ell_2’\). Comencemos por factorizar los términos con \(\ell_2’\)

\begin{equation}
\ell_1+\ell_2 {}^{\prime}+\frac{M}{m}\ell_1+\frac{M}{m}\ell_2 {}^{\prime}-\frac{M}{2m}L=L,
\end{equation}

que es equivalente a

\begin{equation}
\ell_1\left(1+\frac{M}{m}\right)+\ell_2 {}^{\prime}\left(1+\frac{M}{m}\right)=L\left(1+\frac{M}{2m}\right).
\end{equation}

Dividiendo todos los términos en la ecuación anterior por \(\left(1+\frac{M}{m}\right)\), obtenemos

\begin{equation}
\ell_1+\ell_2 {}^{\prime}=L\frac{\left(1+\frac{M}{2m}\right)}{\left(1+\frac{M}{m}\right)},
\end{equation}

y despejando \(\ell_2’\), obtenemos

\begin{equation}
\ell_2 {}^{\prime}=L\frac{\left(1+\frac{M}{2m}\right)}{\left(1+\frac{M}{m}\right)}-\ell_1.
\end{equation}

Usando los valores numéricos, obtenemos

\begin{equation}
\ell_2 {}^{\prime}=(18\,\text{m})\frac{\left(1+\frac{45\,\text{kg}}{2(75\,\text{kg})}\right)}{\left(1+\frac{45\,\text{kg}}{75\,\text{kg}}\right)}-4\,\text{m},
\end{equation}

\begin{equation}
\ell_2 {}^{\prime}\approx 10.62\,\text{m}.
\end{equation}

La posición del pivote B cambiará 3.62 m.

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