¡Cono Giratorio!

La definición del momento de inercia requiere la masa en función de la densidad y las dimensiones en términos diferenciales. Para relacionar las dimensiones, será útil el teorema de Tales.

El momento de inercia \(I\) para un objeto sólido está dado por:

\begin{equation*}
I = \int r^2 dm,
\end{equation*}

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donde \(dm\) como función de la densidad y las dimensiones se pueden escribir como:

\begin{equation*}
dm = \left( \frac{m}{ \frac{1}{3} \pi R^2 H} \right) 2 \pi r dr dh,
\end{equation*}

donde la expresión entre paréntesis es la densidad. Por el teorema de Tales (o por triángulos similares) podemos obtener la relación:

\begin{equation*}
r(h) = R \left( 1 – \frac{h}{H} \right).
\end{equation*}

La integral se convierte en:

\begin{equation*}
I = \frac{6m}{R^2 H} \int_0^H \int_0^{r(h)} r^3 dr dh.
\end{equation*}

Después de realizar la integral, el momento de inercia es finalmente:

\begin{equation*}
I = \frac{3}{10} mR^2,
\end{equation*}

que con valores numéricos es:

\begin{equation*}
I = 7.5 \times 10^{-4} \, \text{kg m}^2.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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Necesitamos encontrar el momento de inercia del cono giratorio. Para resolver este problema, usaremos la definición del momento de inercia para una distribución continua de masa para calcular el momento de inercia del cono sólido como una suma de varios discos de diferentes radios.

El momento de inercia \(I\) para un objeto sólido está dado por

\begin{equation}
\label{inertia}
I=\int r^2 dm,
\end{equation}

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donde \(dm\) es un diferencial de masa sobre el objeto y \(r_i\) la distancia perpendicular desde dicho diferencial de masa al eje de rotación. Para un disco de masa \(m\), radio \(R\) y altura \(dh\), podemos definir la masa \(dm\), que está a una distancia \(r\) del eje de rotación, como el de la figura 1.

Figura 1: Sistema de coordenadas en el cono. Colocamos el origen en la base del cono y el eje Z a lo largo de su eje de simetría. A la izquierda, vemos los ejes X y Z en el cono. A la derecha, vemos el cono desde arriba, también se muestra el diferencial de masa \(dm\) o el radio \(r\) y el ancho \(dr\).

Ahora podemos definir la densidad de masa volumétrica \(\rho\) como

\begin{equation}
\label{sigma1}
\rho=\frac{dm}{dV},
\end{equation}

donde \(dV\) es el diferencial de volumen asociado a \(dm\). Este diferencial de volumen es el perímetro \(2\pi r\) multiplicado por el ancho \(dr\) multiplicado por la altura \(dh\) (Ver figura siguiente), es decir

\begin{equation}
dV=2\pi r dr dh.
\end{equation}

Usando la expresión anterior en la definición de \(\rho\) dada en la ecuación \eqref{sigma1} , obtenemos

\begin{equation}
\rho=\frac{dm}{2\pi r dr dh},
\end{equation}

que después de resolver \(dm\), obtenemos

\begin{equation}
\label{dm1}
dm=\rho 2 \pi r dr dh.
\end{equation}

Debido a la uniformidad de la distribución de masa, también podemos escribir una expresión para \(\rho\) que diga

\begin{equation}
\label{sigma2}
\rho=\frac{m}{\frac{1}{3}\pi R^2 H},
\end{equation}

donde \(\frac{1}{3}\pi R^2 H\) es el volumen total del cono de altura total \(H\). Usando la ecuación \eqref{sigma2} en la expresión para \(dm\) dada en la ecuación \eqref{dm1} , tenemos

\begin{equation}
dm=\left(\frac{m}{\frac{1}{3}\pi R^2 H}\right)2\pi r dr dh,
\end{equation}

que se simplifica a

\begin{equation}
\label{dm2}
dm=\frac{6m}{R^2H}rdrdh.
\end{equation}

Usando la expresión explícita para \(dm\) dada arriba en la ecuación del momento de inercia dada en \eqref{inertia} , tenemos

\begin{equation}
\label{inertia2}
I=\int\int r^2\left(\frac{6m}{R^2H}\right)rdrdh,
\end{equation}

donde identificamos las variables de integración: \(r\) y \(h\). Por tanto, debemos elegir algunos límites apropiados para las integrales. Observe que a medida que cambia \(h\), también cambia \(r\); entonces, debemos encontrar la relación \(r(h)\) entre estas variables para realizar la integral. De la geometría del cono, la relación entre \(r\) y \(h\) debe ser lineal. Esto se ve claramente en la figura 2.

Figura 2: A la izquierda: Disco de radio \(r\) a una altura \(h\) desde la base del cono. A la derecha: una vista transversal del cono que muestra los dos triángulos: el que está encima del disco de radio \(r\) y el que está formado por todo el cono. La razón de las distancias horizontales de los triángulos debe ser igual a la razón de las distancias verticales.

Usando esta figura como guía, podemos verificar que la relación es

\begin{equation}
\label{relation}
r(h)=R\left(1-\frac{h}{H}\right),
\end{equation}

donde \(r(0)=R\) es el radio en la base y \(r(H)=0\) es el radio en la parte superior. Entonces los límites para \(r\) son 0 y \(r(h)\), y para \(h\) los límites están entre \(0\) y \(H\). Por tanto, la integral en la ecuación \eqref{inertia2} se convierte en

\begin{equation}
\label{inertia3}
I=\frac{6m}{R^2H}\int_{0}^{H}\int_0^{r(h)} r^3 drdh,
\end{equation}

donde hemos sacado de la integral los términos constantes.

Realizando la integral \(r\), obtenemos

\begin{equation}
I=\frac{6m}{R^2H}\int_{0}^{H}\left(\frac{r^4}{4}\right)\Big|_{0}^{r(h)}dh,
\end{equation}

\begin{equation}
I=\frac{6m}{R^2H}\int_{0}^{H}\frac{r(h)^4}{4}dh.
\end{equation}

Usando la relación de la ecuación \eqref{relation} para escribir explícitamente \(r(h)\) en la integral anterior obtenemos

\begin{equation}
I=\frac{6m}{4R^2H}\int_{0}^{H}R^4\left(1-\frac{h}{H}\right)^4dh.
\end{equation}

Usando la sustitución \(u=1-\frac{h}{H}\), \(du=-\frac{dh}{H}\) en la integral anterior, obtenemos

\begin{equation}
I=\frac{6mR^4}{4R^2H}\int_{1}^{0}u^4(-Hdu),
\end{equation}

donde también hemos cambiado los límites acordemente y hemos eliminado el factor constante \(R^4\). El signo menos invierte los límites en la integral, y \(H\) se puede sacar de la integral anterior, es decir

\begin{equation}
I=\frac{6mR^4H}{4R^2H}\int_{0}^{1}u^4du.
\end{equation}

Realizando la integral anterior, obtenemos

\begin{equation}
I=\frac{6mR^4H}{4R^2H}\left(\frac{u^5}{5}\right)\Big|_{0}^{1},
\end{equation}

\begin{equation}
\label{int}
I=\frac{6mR^4H}{4R^2H}\left(\frac{1}{5}\right).
\end{equation}

Después de algunas simplificaciones, la expresión dada en la ecuación \eqref{int} se convierte en

\begin{equation}
I=\frac{3}{10}mR^2.
\end{equation}

Usando los valores numéricos en unidades SI \(m=0.250\,\text{kg}\) y \(R=0.10\,\text{m}\), luego podemos escribir

\begin{equation}
I=\frac{3}{10}(0.250\,\text{kg})(0.10\,\text{m})^2,
\end{equation}

\begin{equation}
I=7.5\times 10^{-4}\,\text{kg m}^2.
\end{equation}

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