¡Hockey!

Para encontrar el cambio de momento necesitará la rapidez, la distancia recorrida y el tiempo transcurrido. También puede calcular la fuerza aplicada porque se sabe el tiempo que tarda el disco en moverse de un lado al otro.

Suponga que el disco se mueve con rapidez constante. Viajando una distancia \(L = 30 \, \text{m} \) en un tiempo \(T = 6 \, \text{s} \), la rapidez del disco \(v_i \) es:

\begin{equation*}
v_i=\frac{L}{T}.
\end{equation*}

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El problema nos pide que encontremos la fuerza que ejerce el jugador de hockey sobre el disco. Debemos relacionar la fuerza ejercida sobre el disco con el cambio de momento lineal en un intervalo de tiempo. Para cambios finitos, la fuerza aplicada se puede aproximar a:

\begin{equation*}
\vec{F}\approx \frac{\vec{p}_f-\vec{p}_i}{\Delta t},
\end{equation*}

donde la velocidad \(v_i \)se acabó de encontrar.

Al introducir valores numéricos se obtiene:

\begin{equation*}
\vec{F}\approx 12 \, \text{N} \hat{\textbf{i}}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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El problema nos pide que encontremos la fuerza que ejerce el jugador de hockey sobre el disco. Para abordar este problema, debemos relacionar la fuerza ejercida sobre el disco con el cambio de momento lineal en un intervalo de tiempo. Para intervalos de tiempo realmente pequeños, \(\Delta t \), la fuerza \(\vec{F} \) aplicada se puede aproximar a

\begin{equation}
\label{force}
\vec{F}\approx \frac{\vec{p}_f-\vec{p}_i}{\Delta t},
\end{equation}

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donde \(\vec{p} _i \) y \(\vec{p}_f \) son el impulso lineal del disco antes de que el jugador de hockey lo golpee y después de que el jugador de hockey lo golpee, respectivamente. El intervalo de tiempo entre estos eventos es \(\Delta t = 0.5 \, \text{s} \).

Podemos calcular el momento lineal usando la siguiente ecuación

\begin{equation}
\label{momentum}
\vec{p}=m\vec{v},
\end{equation}

donde \(m=150\,\text{g}=0.150\,\text{kg}\) es la masa del disco y \(\vec{v}\) su velocidad.

Suponga que el disco se mueve con rapidez constante \(v_i \) a lo largo del eje X en la dirección negativa antes de que el jugador lo golpee. Sabiendo que recorre una distancia de \(L = 30 \, \text{m} \) en un tiempo de \(T = 6 \, \text{s} \), rapidez del disco \(v_i \) se puede calcular. La rapidez es

\begin{equation}
v_i=\frac{L}{T},
\end{equation}

y numéricamente

\begin{equation}
v_i=\frac{30\,\text{m}}{6\,\text{s}}=5\,\text{m/s}.
\end{equation}

Figura 1: Colocamos el sistema de coordenadas en el suelo donde está el jugador de hockey. El disco recorre una distancia \(L \) a una velocidad constante \(\vec{v} _i \) a lo largo del eje X negativo antes de encontrar al jugador de hockey.

Porque debemos incluir el vector de velocidad \(\vec{v}_i \) en la ecuación de impulso, la dirección será importante. Entonces podemos escribir

\begin{equation}
\vec{v}_i=-v_i\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}

donde \(\hat {\textbf{i} } \) es el vector unitario largo del eje X. Por lo tanto, el momento lineal antes de la colisión, siguiendo la ecuación \eqref{momentum}, es

\begin{equation}
\label{pi}
\vec{p}_i=-mv_i\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Después de que el jugador golpea el disco, éste se mueve hacia la derecha con rapidez \(v_f = 35 \, \text{m/s} \) como se ilustra en la figura 2.

Figura 2: Después de que el jugador de hockey golpea el disco, comienza a desplazarse a lo largo del eje X positivo con una velocidad \(\vec{v}_f\).

Entonces podemos escribir una expresión para la velocidad \(\vec{v}_f \) como

\begin{equation}
\vec{v}_f=v_f\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

El momento lineal del disco después de que el jugador lo golpea es entonces, usando la ecuación \eqref{momentum},

\begin{equation}
\label{pf}
\vec{p}_f=mv_f\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Usando las expresiones para el momento lineal antes y después de que el jugador de hockey golpee el disco en la ecuación \eqref{force}, obtenemos

\begin{equation}
\vec{F}\approx \frac{mv_f\,\hat{\textbf{i}}-(-mv_i\,\hat{\textbf{i}})}{\Delta t},
\end{equation}

que se simplifica a

\begin{equation}
\vec{F}\approx \frac{mv_f+mv_i}{\Delta t}\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Usando los valores numéricos, obtenemos

\begin{equation}
\vec{F}\approx \frac{(0.15\,\text{kg})(35\,\text{m/s})+(0.15\,\text{kg})(5\,\text{m/s})}{0.5\,\text{s}}\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}

\begin{equation}
\vec{F}\approx 12\,\text{N}\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

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