¡Bulldogs franceses amistosos!

(a) Observe que hay un retraso entre el tiempo usado por Luna y el tiempo usado por Yuyi. Cuando Luna llega a Yuyi, sus posiciones finales deben ser las mismas. Observe también que ambas perras se mueven con aceleración constante.

(b) Establezca la diferencia entre sus posiciones finales en un metro e intente encontrar el tiempo para que esto suceda. Luego, encuentre la velocidad en ese momento teniendo en cuenta que la velocidad es proporcional al tiempo y la aceleración.

(c) Considere la velocidad en función del tiempo tanto para Luna como para Yuyi. Observe que la intersección y para uno de las perras no es cero.

(a) Cuando se encuentran, sus posiciones finales (dadas por sus ecuaciones de movimiento) deben ser las mismas. Es decir,

\begin{equation*}
\vec{x}_{fy}= \vec{x}_{fl}.
\end{equation*}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

La ecuación de movimiento que necesitamos utilizar es la siguiente:

\begin{equation*}
\vec{x}_f = \frac{1}{2} \vec{a} t^2 + \vec{v}_i t + \vec{x}_i.
\end{equation*}

La relación por el momento es simple: Luna comienza a correr tres segundos después de que comienza Yuyi. Esto significa que:

\begin{equation*}
t_l = t_y – t_d = t_y – 3 \, \text{s}.
\end{equation*}

Usando esto en la ecuación anterior, considerando que estaban en reposo, obtenemos:

\begin{equation*}
\frac{1}{2} a_y (t_l + t_d)^2 \, \hat{\textbf{i}} = \frac{1}{2} a_l t_l^2 \, \hat{\textbf{i}}.
\end{equation*}

Ahora, despejando \(t_l\) como una ecuación cuadrática, las soluciones son:

\begin{equation*}
t_{l1} = 7.24 \, \text{s},
\end{equation*}

y

\begin{equation*}
t_{l2} = -1.24 \, \text{s}.
\end{equation*}

Claramente, la respuesta es la que corresponde al valor positivo (los tiempos negativos se refieren a cosas que ocurrieron antes de que Luna comenzara a correr).

(b) Ahora, encontremos el tiempo cuando la distancia entre Yuyi y Luna es la dada en el problema. Definiendo \(d \) como:

\begin{equation*}
d = \| \vec{x}_y – \vec{x}_l \|,
\end{equation*}

donde usando la ecuación de movimiento como se usó anteriormente, y el retardo de tiempo, obtenemos:

\begin{equation*}
d = \frac{1}{2} a_y (t_l + t_d)^2 – \frac{1}{2} a_l t_l^2.
\end{equation*}

Esta, nuevamente, es una ecuación cuadrática para el momento. Las soluciones son:

\begin{equation*}
t_{l1} = 6.74 \, \text{s},
\end{equation*}

y

\begin{equation*}
t_{l2} = -0.74 \, \text{s}.
\end{equation*}

Como antes, la solución positiva es la relevante.

Ahora, encontremos la rapidez de Luna cuando está a dos metros de Yuyi. Para un caso de aceleración constante, la velocidad viene dada por:

\begin{equation*}
\vec{v}_f = \vec{v}_i + \vec{a} t,
\end{equation*}

donde usando valores numéricos obtenemos:

\begin{equation*}
v_{fy} = 4.87 \, \text{m/s}.
\end{equation*}

(c) Para hacer una gráfica de velocidad versus tiempo para Luna y Yuyi, podemos usar sus ecuaciones de velocidades. Para Luna, tenemos

\begin{equation*}
v_{fl} = a_l t_l,
\end{equation*}

Para Yuyi, recuerda que \(t_y=t_l+t_d\), donde \(t_d\) es 3 segundos. Entonces, la línea que necesitamos trazar es esta.

\begin{equation*}
v_{fy} = a_{y} (t_l + t_d).
\end{equation*}

Si trazamos ambas líneas, obtenemos:

Gráfica de la velocidad frente al tiempo de Luna y Yuyi. El punto de intersección entre las líneas está alrededor de \( t = 3.1 \, \text{s} \).

Las líneas se cruzan alrededor de 3,1 s, que es el momento en el que sus rapideces son las mismas (cuidado, este no es el punto donde se encuentran, ya que no es un gráfico de posición frente al tiempo).

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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(a) Para saber cuánto tiempo le toma a Luna llegar a Yuyi, necesitamos usar sus ecuaciones de movimientos. En el momento en que se encuentran, sus posiciones finales (dadas por sus ecuaciones de movimiento) deben ser las mismas. Es decir,

\begin{equation}
\label{YuyiLuna_igualdadPosicionesVectores}
\vec{x}_{fy}= \vec{x}_{fl},
\end{equation}

donde \(\vec{x}_{fy}\) es la posición final de Yuyi y \(\vec{x}_{fl}\) la posición final de Luna. Para obtener \(\vec{x}_{fy}\) y \(\vec{x}_{fl}\), necesitamos usar sus ecuaciones de movimiento. Tanto Yuyi como Luna siguen un movimiento con aceleración constante, por lo que la ecuación general que describe su movimiento es

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

\begin{equation}
\vec{x}_f = \frac{1}{2} \vec{a} t^2 + \vec{v}_i t + \vec{x}_i,
\end{equation}

donde \(\vec{x}_f\) es la posición final, \(\vec{x}_i\) la posición inicial, \(\vec{v}_i\) la velocidad inicial, \(a\) la aceleración y \(t\) el tiempo.

Ahora, para aplicar esta ecuación al problema actual, necesitamos elegir un sistema de coordenadas. Hagamos un sistema cuyo origen sea la posición inicial de las perras y cuyo eje X apunte en la dirección del movimiento de las dos perras (ver figura 1).

Figura 1: Colocamos el sistema de coordenadas en la posición inicial de Luna. El eje X positivo recorre la línea recta en la que corren ambos perros.

Según este sistema de coordenadas, la posición inicial de Yuyi es cero, su aceleración es positiva, la posición final es positiva y la velocidad inicial es cero porque al principio estaba acostada sobre el césped. Por lo tanto, la ecuación de movimiento de Yuyi es

\begin{equation}
\label{YuyiLuna_Yuyi}
x_{fy} \, \hat{\textbf{i}} = \frac{1}{2} a_y t_y^2 \, \hat{\textbf{i}} + (0) t_y \, \hat{\textbf{i}} + 0 \, \hat{\textbf{i}},
\end{equation}

donde \(t_y\) es la variable de tiempo para Yuyi y \(a_y\) su aceleración.

Entonces podemos usar este resultado en la ecuación \eqref{YuyiLuna_igualdadPosicionesVectores} para obtener

\begin{equation}
\label{YuyiLuna_PosicionesConYuyi}
\frac{1}{2} a_y t_y^2 \, \hat{\textbf{i}} = \vec{x}_{fl}.
\end{equation}

El siguiente paso es encontrar una expresión para la posición final de Luna.

Ahora, hacemos exactamente lo mismo para Luna que hicimos por Yuyi; la posición inicial es cero, la velocidad inicial es cero, la posición final es positiva y la aceleración es positiva. Por lo tanto, obtenemos

\begin{equation}
\label{YuyiLuna_Luna}
x_{fl} \, \hat{\textbf{i}} = \frac{1}{2} a_l t_l^2 \, \hat{\textbf{i}} + (0) t_l\, \hat{\textbf{i}} + 0 \, \hat{\textbf{i}},
\end{equation}

donde \(t_l\) es el tiempo de Luna y \(a_l\) la magnitud de su aceleración. Ahora, podemos insertar este resultado en la ecuación \eqref{YuyiLuna_PosicionesConYuyi}.

\begin{equation}
\label{YuyiLuna_PosicionesParaReemplazar}
\frac{1}{2} a_y t_y^2 \, \hat{\textbf{i}} = \frac{1}{2} a_l t_l^2 \, \hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Observe que ahora tenemos dos variables de tiempo diferentes, una para Yuyi y la otra para Luna. Para continuar, debemos usar la misma variable de tiempo, por lo que debemos relacionar \(t_y\) y \(t_l\). La relación es simple: Luna comienza a correr tres segundos después de que comienza Yuyi. Esto significa que

\begin{equation}
t_l = t_y – 3 \, \text{s}.
\end{equation}

Como queremos encontrar el tiempo que tarda Luna en llegar a Yuyi, entonces deberíamos escribir \(t_y\) en términos de \(t_l\):

\begin{equation}
\label{YuyiLuna_TiemposCon2}
t_y = t_l + 3 \, \text{s}.
\end{equation}

Como queremos reemplazar los valores numéricos al final, simplemente llamemos \(t_d\) el tiempo de retraso (los 3 segundos de retraso), de modo que la ecuación \eqref{YuyiLuna_TiemposCon2} se convierte en

\begin{equation}
\label{YuyiLuna_TiemposConDelay}
t_y = t_l + t_d.
\end{equation}

Usando esto en la ecuación \eqref{YuyiLuna_PosicionesParaReemplazar}, obtenemos

\begin{equation}
\frac{1}{2} a_y (t_l + t_d)^2 \, \hat{\textbf{i}} = \frac{1}{2} a_l t_l^2 \, \hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Centrémonos en las magnitudes: multiplique por 2 en ambos lados y opere el paréntesis cuadrado

\begin{equation}
a_y (t_l^2 + 2 t_l t_d + t_d^2 ) = a_l t_l^2,
\end{equation}

que se puede escribir como

\begin{equation}
a_y t_l^2 + 2 a_y t_l t_d + a_y t_d^2 = a_l t_l^2.
\end{equation}

Muevamos todos los términos al lado izquierdo y factoricemos \(t_l^2\)

\begin{equation}
\label{YuyiLuna_Cuadratica}
(a_y – a_l) t_l^2 + 2 a_y t_d t_l + a_y t_d^2 = 0
\end{equation}

Si insertamos los valores numéricos aquí, obtenemos

\begin{equation}
((0.5\, \text{m/s}^2) – (1\, \text{m/s}^2)) t_l^2 + 2(0.5\, \text{m/s}^2) (3 \, \text{s}) t_l + (0.5\, \text{m/s}^2) (3 \, \text{s})^2 = 0.
\end{equation}

Observe que esta es una ecuación cuadrática para el tiempo (una ecuación cuadrática tiene la forma \(ax^2 + bx + c\). En este caso, \(a\) corresponde a \((-0.5)\), \(b\) a \((3)\) y \(c\) a \((4.5)\).

Las soluciones son

\begin{equation}
t_{l1} = 7.24 \, \text{s},
\end{equation}

y

\begin{equation}
t_{l2} = -1.24 \, \text{s}.
\end{equation}

Claramente, la respuesta es la que corresponde al valor positivo (los tiempos negativos se refieren a cosas que ocurrieron antes de que Luna comenzara a correr).

(b) Ahora, encontremos la rapidez de Luna cuando está a dos metros de Yuyi. Para un caso de aceleración constante, la velocidad está dada por

\begin{equation}
\vec{v}_f = \vec{v}_i + \vec{a} t,
\end{equation}

donde \(\vec{v}_f\) es la velocidad final, \(\vec{v}_i\) es la velocidad inicial, \(a\) la aceleración y \(t\) el tiempo. En el caso de Luna (y también de Yuyi), la velocidad inicial es cero, la aceleración es positiva y la velocidad final también es positiva (si no supiéramos la velocidad final, entonces podríamos suponer que es positiva y luego, si obtenemos un signo negativo, aprenderemos que nos hemos quivocado). Entonces obtenemos

\begin{equation}
v_f \, \hat{\textbf{i}} = 0 \, \hat{\textbf{i}} + a_l t_2 \, \hat{\textbf{i}},
\end{equation}

donde \(t_2\) es el momento en el que Luna está a dos metros de Yuyi (que no conocemos).

O, si nos enfocamos en las magnitudes, obtenemos

\begin{equation}
\label{YuyiLuna_velLuna}
v_f = a_l t_2.
\end{equation}

Ahora, para encontrar la rapidez partir de esta ecuación, necesitamos encontrar \(t_2\). La distancia entre dos objetos en una dimensión generalmente viene dada por

\begin{equation}
d = \| \vec{x}_1 – \vec{x}_2 \|,
\end{equation}

donde \(\vec{x}_1\) y \(\vec{x}_2\) son la posición entre los objetos y d la distancia (necesitamos el valor absoluto porque la distancia debe ser positiva). En nuestro caso, las posiciones que debemos usar son las posiciones de Yuyi y Luna:

\begin{equation}
d = \| \vec{x}_y – \vec{x}_l \|,
\end{equation}

Ahora, claramente, \(\vec{x}_y – \vec{x}_l\) será positivo porque Luna está dos metros detrás de Yuyi en el momento en cuestión. Entonces, podemos simplemente ignorar el valor absoluto (el valor absoluto de un número positivo es solo el número).

\begin{equation}
d = x_y – x_l.
\end{equation}

A continuación, en esta ecuación, insertemos las ecuaciones de movimiento para Yuyi y Luna encontradas anteriormente, pero solo sus magnitudes (ecuaciones \eqref{YuyiLuna_Yuyi} y \eqref{YuyiLuna_Luna} respectivamente):

\begin{equation}
d = \frac{1}{2} a_y t_y^2 – \frac{1}{2} a_l t_l^2.
\end{equation}

Nuevamente, asegurémonos de usar la misma variable de tiempo, entonces la ecuación \eqref{YuyiLuna_TiemposConDelay} también es válido aquí, pero recuerde que \(t_l\) y \(t_y\) no van a ser lo mismo que en (a):

\begin{equation}
d = \frac{1}{2} a_y (t_l + t_d)^2 – \frac{1}{2} a_l t_l^2.
\end{equation}

Multipliquemos todo por 2 y resolvemos el cuadrado

\begin{equation}
2d = a_y (t_l^2 + 2 t_l t_d + t_d^2 ) – a_l t_l^2.
\end{equation}

Si movemos todos los términos al lado derecho y organizamos como lo hicimos anteriormente,

\begin{equation}
0 = (a_y – a_l) t_l^2 + 2 a_y t_d t_l + a_y t_d^2 – 2d = 0.
\end{equation}

Observe que esta ecuación es muy similar a la ecuación \eqref{YuyiLuna_Cuadratica} , pero las diferencias nos darán diferentes soluciones. Con valores numéricos obtenemos

\begin{equation}
0 = ((0.5\, \text{m/s}^2) – (1\, \text{m/s}^2)) t_l^2 + 2(0.5\, \text{m/s}^2) (3 \, \text{s}) t_l + (0.5\, \text{m/s}^2) (3 \, \text{s})^2 – 2 (1 \, \text{m}).
\end{equation}

Esto, nuevamente, es una ecuación cuadrática para el tiempo, donde la única diferencia con la ecuación anterior es que el término constante \(c\) es \((2.5)\). Las soluciones son

Las soluciones son

\begin{equation}
t_{l1} = 6.74 \, \text{s},
\end{equation}

y

\begin{equation}
t_{l2} = -0.74 \, \text{s}.
\end{equation}

Como antes, la solución positiva es la relevante. Entonces ahora que tenemos \(t_l = t_2 = 6.74 \, \text{s}\) (el tiempo que tarda Luna) podemos usarlo en la ecuación \eqref{YuyiLuna_velLuna} con la aceleración de Luna. El resultado es

\begin{equation}
v_{fl} = 6.74 \, \text{m/s}.
\end{equation}

Para Yuyi, la ecuación para la rapidez es exactamente la misma, excepto que tenemos que usar su tiempo (no el tiempo de Luna \(t_2\)), porque queremos la rapidez de Yuyi (ella ha estado acelerando durante más tiempo que Luna). De modo que necesitamos usar

\begin{equation}
\label{YuyiLuna_velYuyi}
v_{fy} = a_y t_{2y},
\end{equation}

donde \(t_y\) es el momento en que Yuyi está dos metros por delante y \(a_y\) es su aceleración. Recuerde de la ecuación \eqref{YuyiLuna_TiemposConDelay} que \(t_y=t_l+t_d\) (esto es cierto para cualquier momento, por lo que para \(t_l=t_2\) en particular):

\begin{equation}
v_{fy} = a_y (t_2 + t_d).
\end{equation}

Finalmente, insertemos los valores numéricos aquí.

\begin{equation}
v_{fy} = (0.5\, \text{m/s}^2) ((6.74 \, \text{s}) +(3 \, \text{s})).
\end{equation}

Obtenemos que

\begin{equation}
v_{fy} = 4.87 \, \text{m/s}.
\end{equation}

(c) Para hacer una gráfica de velocidad versus tiempo para Luna y Yuyi, podemos usar sus ecuaciones de velocidades (\eqref{YuyiLuna_velLuna} y \eqref{YuyiLuna_velYuyi}, respectivamente). Para Luna, tenemos

\begin{equation}
v_{fl} = a_l t_l,
\end{equation}

que es la ecuación de una línea recta que pasa por el origen (porque \(v_{fl}=0\) cuando \(t=0 \)), y donde la pendiente es la aceleración \(a_l\). Con números, obtenemos

\begin{equation}
v_{fl} = (1\,{\text{m}/\text{s}^2})t_l.
\end{equation}

Para Yuyi, también obtenemos la ecuación de una línea recta dada por

\begin{equation}
v_{fy} = a_y t_y.
\end{equation}

Sin embargo, si usamos el mismo gráfico, necesitamos usar la misma variable de tiempo. Recuerda que \(t_y=t_l+t_d\), donde \(t_d\) es 3 segundos. Entonces, la línea que necesitamos trazar es esta.

\begin{equation}
v_{fy} = a_{y} (t_l + t_d).
\end{equation}

Con números, obtenemos

\begin{equation}
v_{fl} = (0.5\, {\text{m}/\text{s}^2})(t_l+3\, \text{s}).
\end{equation}

Esto está en línea que cuando \(t_l=0\), corta el eje Y en 1.5 \({\text{m}/\text{s} }\). Si trazamos ambas líneas, obtenemos el gráfico que se muestra en la figura 2.

Figura 2: Gráfico de la velocidad frente al tiempo de Luna y Yuyi. El punto de intersección entre las líneas está alrededor de \( t = 3.1 \, \text{s} \).

Observe que cuando \(t_l=0\), Yuyi ya tiene algo de rapidez (1.5 m/s para ser exactos). Esto tiene sentido, por supuesto, ya que Luna comienza a correr en (t_l) cero, ¡mientras que Yuyi ya ha estado corriendo durante tres segundos en ese punto! También observe que la pendiente de la línea de Yuyi es menor que la pendiente de Luna porque la aceleración de Luna es mayor. Y finalmente, las líneas se cruzan alrededor de 3,1 s, que es el momento en que su rapidez s es la misma (cuidado, este no es el punto donde se encuentran, ya que no es un gráfico de posición vs. tiempo).

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