¡Rueda de la Fortuna!

a) Utilice la ecuación para el desplazamiento angular con aceleración angular constante.

b) Con la misma ecuación que en a), pero despejando \(t\) y usando el ángulo durante 10 vueltas.

c) La misma pista que la parte b), pero encuentre el tiempo que toma para 9 vueltas y luego encuentre la diferencia con el tiempo de 10 vueltas.

a) La ecuación cinemática para el movimiento angular de aceleración constante es:

\begin{equation*}
\theta=\theta_i+\omega_it+\frac{1}{2}\alpha t^2,
\end{equation*}

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que, después de despejar \(\alpha\), obtenemos:

\begin{equation}
\alpha=\frac{2\theta}{t^2},
\end{equation}

Al introducir valores numéricos se obtiene:

\begin{equation*}
\alpha\approx 7.85\times 10^{-3}\,\text{rad/s}^2.
\end{equation*}

b) Usando la misma ecuación que en a), pero despejando \(t\) obtenemos:

\begin{equation*}
t=\sqrt{\frac{2\theta}{\alpha}},
\end{equation*}

donde 10 vueltas significa \(\theta = 10 \cdot 2 \pi\), entonces:

\begin{equation*}
t_{10} \approx 126.56 \, \text{s}.
\end{equation*}

c) La misma ecuación para el tiempo que en b), durante 9 vueltas obtenemos:

\begin{equation*}
t_{9} \approx 120 \, \text{s}.
\end{equation*}

La diferencia de tiempo es:

\begin{equation*}
\Delta t_{10\,\text{th}}=t_{10}-t_9 = 6.5 \, \text{s}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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a) Usaremos las ecuaciones cinemáticas para el movimiento angular de aceleración constante, así como los valores dados para despejar \(\alpha\), la aceleración angular. La ecuación de desplazamiento angular \(\theta\) en función del tiempo \(t\) es

\begin{equation}
\label{angularkinem}
\theta=\theta_i+\omega_it+\frac{1}{2}\alpha t^2,
\end{equation}

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donde \(\theta_i\) es el ángulo inicial con respecto a algún sistema de coordenadas, \(\omega_i\) es la rapidez angular inicial. Debido a que la atracción comienza desde el reposo, podemos decir \(\omega_i=0\). Su posición angular inicial también será cero \(\theta_i=0\), mientras que su posición angular después de un tiempo \(t=40\,\text{s}\) ha pasado es \(\theta=2\pi\,\text{rad}\). Entonces podemos escribir la ecuación \eqref{angularkinem} como

\begin{equation}
\label{kinemsimp}
\theta=\frac{1}{2}\alpha t^2,
\end{equation}

que, después de despejar \(\alpha\), obtenemos

\begin{equation}
\alpha=\frac{2\theta}{t^2}.
\end{equation}

Usando los valores numéricos, obtenemos

\begin{equation}
\alpha=\frac{2(2\pi\,\text{rad})}{(40\,\text{s})^2},
\end{equation}

\begin{equation}
\alpha\approx 7.85\times 10^{-3}\,\text{rad/s}^2.
\end{equation}

b) Ahora, necesitamos encontrar el tiempo que le toma a la rueda de la fortuna completar 10 vueltas completas. Como conocemos la aceleración angular, podemos usar la ecuación \eqref{kinemsimp} con \(\theta=10(2\pi)\, \text{rad}\) y el valor que encontramos para \(\alpha\) para despejar el tiempo \(t\). Obtenemos que

\begin{equation}
t^2=\frac{2\theta}{\alpha},
\end{equation}

y sacando la raíz cuadrada en ambos lados

\begin{equation}
\label{time}
t=\sqrt{\frac{2\theta}{\alpha}}.
\end{equation}

Usando los valores numéricos, para el tiempo que lleva completar 10 vueltas completas \(t_{10}\), obtenemos

\begin{equation}
t_{10}=\sqrt{\frac{2(10(2\pi\,\text{rad}))}{7.85\times 10^{-3}\,\text{rad/s}^2}},
\end{equation}

\begin{equation}
t_{10}\approx 126.5\,\text{s}.
\end{equation}

c) Para encontrar el tiempo que se tarda en completar la décima vuelta, podemos encontrar el tiempo que se tarda en completar 10 vueltas completas y el tiempo que se tarda en completar 9 vueltas completas y calcular la diferencia. Del resultado de la parte (b) ya sabemos el tiempo que lleva completar 10 vueltas completas. Entonces podemos usar la ecuación \eqref{time} y usar \(\theta=9(2\pi)\) para encontrar el tiempo que lleva completar 9 vueltas . Explícitamente,

\begin{equation}
t_9=\sqrt{\frac{2(9(2\pi\,\text{rad}))}{7.85\times10^{-3}\,\text{rad/s}^2}},
\end{equation}

\begin{equation}
t_9 = 120\,\text{s}.
\end{equation}

Por lo tanto, el tiempo que se tarda en completar la décima vuelta \(\Delta t_{10\,\text{th}}\) es

\begin{equation}
\Delta t_{10\,\text{th}}=t_{10}-t_9,
\end{equation}

que numéricamente es

\begin{equation}
\Delta t_{10\,\text{th}}=126.5\,\text{s}-120\,\text{s}=6.5\,\text{s}.
\end{equation}

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