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a) Aplique tanto conservación de momento como conservación de energía para relacionar la velocidad final de la pelota de baloncesto con la velocidad inicial de la pelota de fútbol.

b) Use cualquiera de las ecuaciones para obtener la velocidad de la otra pelota.

a) La conservación del momento (\(\vec{p} _i = \vec{p} _f \)) se puede escribir como:

\begin{equation*}
m_s v_{is} = m_s v_{fs} + m_b v_{fb},
\end{equation*}

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donde \(m_b = 4m_s \). La masa se cancela, por lo que obtenemos:

\begin{equation*}
v_{is} = v_{fs} + 4v_{fb}.
\end{equation*}

La conservación de la energía nos da:

\begin{equation}
\frac{1}{2} m_s v_{is}^2 = \frac{1}{2} m_s v_{fs}^2 + \frac{1}{2} m_b v_{fb}^2.
\end{equation}

La combinación de ambas ecuaciones nos lleva a:

\begin{equation*}
v_{fs} = – \frac{3}{2} v_{fb},
\end{equation*}

y

\begin{equation*}
v_{is} = \frac{5}{2} v_{fb}.
\end{equation*}

Insertando los valores numéricos, obtenemos:

\begin{equation*}
v_{is} = 1 \, \text{m/s}.
\end{equation*}

b) Relacionando las velocidades, obtenemos:

\begin{equation*}
v_{fs} = -0.6 \, \text{m/s}.
\end{equation*}

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a) Para encontrar la rapidez del balón de fútbol después del impacto, debemos relacionar esa rapidez con las masas de los balones y con la rapidez final de la pelota de baloncesto. También debemos tener en cuenta que la colisión es elástica, lo que significa que se conserva la energía cinética de los objetos. Observe que todas las variables en cuestión (las diferentes velocidades y masas) están relacionadas entre sí por la energía cinética de los diferentes objetos y su momento lineal. Entonces, la clave para resolver este problema consistirá en utilizar estos dos principios de conservación (del momento lineal y la energía).

 

El momento lineal de un sistema siempre se conserva si la fuerza externa total sobre el sistema es cero. Debido a esto, el momento lineal de un sistema se conserva a lo largo de una cierta dirección de movimiento (por ejemplo, a lo largo de X) si la fuerza externa total en esa dirección es cero. En este caso conviene asumir que el sistema está conformado por las dos bolas. De esta forma, no existen fuerzas externas sobre el sistema en dirección horizontal. Observe que si tomaramos el sistema para que constara solo de una pelota, digamos la pelota de baloncesto, entonces habría fuerzas externas actuando sobre la pelota de baloncesto (la pelota de fútbol ejercerá una fuerza cuando colisionen). Entonces, el momento lineal de la pelota de baloncesto no se conservaría. Sin embargo, si tomamos que las dos bolas forman un solo sistema, entonces las fuerzas entre las dos bolas cuando chocan no son externas sino sólo internas, por lo que podemos decir que se conserva el momento lineal del sistema.

 

Dado que el momento lineal del sistema conformado por las dos bolas se conserva en la dirección horizontal, tenemos

 

\begin{equation}
\label{first}
\vec{P}_{i}=\vec{P}_{f},
\end{equation}

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donde \(\vec{P} _{i} \) es el momento inicial del sistema y \(\vec{P} _{f} \) es el momento final del mismo. Usando la definición de momento lineal, tenemos

 

\begin{equation}
\label{Basketball_conservMomentum}
m_s\vec{v}_{is}+m_b\vec{v}_{ib}= m_s\vec{v}_{fs}+m_b\vec{v}_{fb},
\end{equation}

 

donde hemos utilizado el subíndice s para la masa, velocidad inicial y la velocidad final de la pelota de fútbol, y b para la masa, velocidad inicial y la velocidad final de la pelota de baloncesto.

 

Supongamos que tomamos la dirección del movimiento como el eje X positivo, como se ilustra en la figura 1.

 

Figura 1: Colocamos el sistema de coordenadas con el eje X a lo largo de la dirección del movimiento de ambas bolas.

 

En este caso, podemos reescribir la ecuación \eqref{Basketball_conservMomentum} como

 

\begin{equation}
\label{Basketball_conservMomentumMagnitudes}
m_s v_{is} \, \hat{\textbf{i}} + m_b v_{ib} \, \hat{\textbf{i}} = m_s v_{fs} \, \hat{\textbf{i}} + m_b v_{fb} \, \hat{\textbf{i}},
\end{equation}

 

donde aprovechamos que, de acuerdo con nuestro sistema, la velocidad inicial de la pelota de fútbol es positiva, la velocidad final de la pelota de baloncesto también es positiva, y asumimos que la velocidad final del balón de fútbol también es positiva (si esto no es cierto, en algún momento obtendremos un signo negativo que nos hará saber que nos equivocamos).

 

Inicialmente, sabemos que la pelota de baloncesto está en reposo, por lo tanto, no tiene velocidad inicial. Si usamos esto y nos enfocamos en las magnitudes en la ecuación \eqref{Basketball_conservMomentumMagnitudes}, obtenemos

 

\begin{equation}
m_s v_{is} = m_s v_{fs} + m_b v_{fb}.
\end{equation}

 

Podemos simplificar la ecuación un poco más ya que sabemos que la masa de la pelota de baloncesto es cuatro veces la masa de la pelota de fútbol. Si usamos esa información, obtenemos

 

\begin{equation}
m_s v_{is} = m_s v_{fs} + (4m_s) v_{fb}.
\end{equation}

 

Observe que ahora podemos cancelar \(m_s \) en todas partes, para obtener

 

\begin{equation}
\label{Basketball_velocidadesMomentum}
v_{is} = v_{fs} + 4 v_{fb}.
\end{equation}

 

Ahora, conocemos la rapidez final de la pelota de baloncesto; sin embargo, no conocemos la rapidez final del balón de fútbol ni conocemos su rapidez inicial (que es lo que queremos encontrar). Entonces, para continuar, necesitamos usar más ecuaciones.

 

Usemos entonces el hecho de que la colisión es elástica, lo que significa que la energía cinética del sistema se conserva (no se pierde energía durante la colisión). Es decir,

 

\begin{equation}
\label{Basketball_cineticas}
K_i = K_f.
\end{equation}

 

La energía cinética del sistema es la suma de la energía cinética de las bolas, por lo que la ecuación \eqref{Basketball_cineticas} se convierte en

 

\begin{equation}
K_{si} + K_{bi} = K_{sf} + K_{bf}.
\end{equation}

 

Usemos ahora la ecuación explícita de la energía cinética para los diferentes objetos:

 

\begin{equation}
\frac{1}{2} m_s v_{is}^2 + \frac{1}{2} m_b v_{ib}^2 = \frac{1}{2} m_s v_{fs}^2 + \frac{1}{2} m_b v_{fb}^2.
\end{equation}

 

Si usamos el hecho de que la rapidez inicial de la pelota de baloncesto es cero y que la masa de la pelota de baloncesto es cuatro veces la masa de la pelota de fútbol, obtenemos

 

\begin{equation}
\frac{1}{2} m_s v_{is}^2 = \frac{1}{2} m_s v_{fs}^2 + \frac{1}{2} (4 m_s) v_{fb}^2.
\end{equation}

 

Si multiplicamos por 2 y cancelamos \(m_s \) en todos los términos, obtenemos

 

\begin{equation}
\label{Basketball_velocidadesEnergia}
v_{is}^2 = v_{fs}^2 + 4 v_{fb}^2.
\end{equation}

 

Entonces, tenemos una nueva ecuación que relaciona la rapidez inicial del balón de fútbol con las velocidades finales. El lector puede notar que esta ecuación es muy similar a \eqref{Basketball_velocidadesMomentum}, excepto que aquí tenemos \(v_{is} ^ 2 \) y allí solo teníamos \(v_{is} \). Una estrategia para proceder es elevar al cuadrado la ecuación \eqref{Basketball_velocidadesMomentum} para obtener

 

\begin{equation}
v_{is}^2 = (v_{fs} + 4 v_{fb})^2.
\end{equation}

 

Si abrimos el paréntesis del lado derecho, obtenemos

 

\begin{equation}
v_{is}^2 = v_{fs}^2 + 8 v_{fs} v_{fb} + 16 v_{fb}^2.
\end{equation}

 

Ahora usemos este resultado para \(v_{is}^2 \) en la ecuación \eqref{Basketball_velocidadesEnergia} para llegar a

 

\begin{equation}
v_{fs}^2 + 4 v_{fb}^2 = v_{fs}^2 + 8 v_{fs} v_{fb} + 16 v_{fb}^2.
\end{equation}

 

Observe que el término \(v_{fs}^2 \) se cancela y obtenemos

 

\begin{equation}
4 v_{fb}^2 = 8 v_{fs} v_{fb} + 16 v_{fb}^2.
\end{equation}

 

Ahora podemos sumar los términos \(v_{fb}^2 \) para obtener

 

\begin{equation}
0 = 8 v_{fs} v_{fb} + 12 v_{fb}^2.
\end{equation}

 

Dividamos ahora por \(v_{fb} \) (podemos hacer esto porque \(v_{fb} \) no es cero, ya que la pelota se moverá debido a la colisión con la pelota de fútbol):

 

\begin{equation}
0 = 8 v_{fs} + 12 v_{fb}.
\end{equation}

 

Ahora dividamos por 4 para obtener

 

\begin{equation}
0 = 2 v_{fs} + 3 v_{fb},
\end{equation}

 

y así llegar a

 

\begin{equation}
\label{Basketball_velocidadfs}
v_{fs} = – \frac{3}{2} v_{fb}.
\end{equation}

 

Como tenemos la rapidez final de la pelota de baloncesto, podemos usar esta ecuación para encontrar la rapidez final de la pelota de fútbol; sin embargo, ¡queremos la rapidez inicial del balón de fútbol! Esto es fácil de obtener ahora que tenemos su rapidez final, ya que podemos usar la ecuación \eqref{Basketball_velocidadfs} en la ecuación \eqref{Basketball_velocidadesMomentum}. El resultado es

 

\begin{equation}
v_{is} = – \frac{3}{2} v_{fb} + 4 v_{fb}.
\end{equation}

 

Agreguemos \(v_{fb} \), para obtener

 

\begin{equation}
v_{is} = \frac{5}{2} v_{fb}.
\end{equation}

 

Finalmente podemos insertar los valores numéricos aquí:

 

\begin{equation}
v_{is} = \frac{5}{2} (0.4 \, \text{m/s}),
\end{equation}

 

para obtener

 

\begin{equation}
v_{is} = 1 \, \text{m/s}.
\end{equation}

 

b) Ya encontramos la rapidez del balón de fútbol después del impacto, está dada por la ecuación \eqref{Basketball_velocidadfs}. Entonces, si usamos los valores numéricos, obtenemos

 

\begin{equation}
v_{fs} = – 0.6 \, \text{m/s}.
\end{equation}

 

En cuanto a la dirección, observe que el signo negativo indica que la velocidad final de la pelota de fútbol tiene la dirección opuesta a la velocidad final de la pelota de baloncesto. Entonces, el balón de fútbol se mueve en la dirección negativa del eje X.

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