¡De tal madre tal hija!

a) La segunda ley de Newton, escrita en términos de la dirección \({y-} \) tanto para María como para Eva es:

\begin{equation*}
N-mg\cos\theta =0.
\end{equation*}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

La segunda ley de Newton, escrita en términos de la dirección \({x-} \) para Eva nos da:

\begin{equation*}
m_e g \sin \theta – f_{r_e}-T = m_e a,
\end{equation*}

y para Maria:

\begin{equation*}
T + m_m g \sin \theta – f_{r_m} = m_m a,
\end{equation*}

Combinando estas ecuaciones, recordando que \(f_r = \mu N \), despejando \(m_e \) y usando algo de álgebra, obtenemos:

\begin{equation*}
m_e = \frac{m_m a_{e_x} – m_m g \sin \theta + \mu_m m_m g \cos \theta}{g \sin \theta – \mu_e g \cos \theta – a_{e_x}},
\end{equation*}

que con valores numéricos es:

\begin{equation*}
m_e = 47.2 \, \text{kg}.
\end{equation*}

b) No necesitamos despejar \(m_e \) porque ya se encontró en la parte (a). Por lo tanto, podemos sustituir el valor en la ecuación que relaciona los componentes \({x-} \) para Eve o Maria para obtener:

\begin{equation*}
T_e = 61.2 \, \text{N}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

[/mepr-show]

a) Para encontrar la masa de Eva, necesitamos relacionar su masa con su aceleración, que ya conocemos. De la Segunda Ley de Newton, sabemos que la fuerza total es proporcional a la masa multiplicada por la aceleración, por lo que la clave para encontrar la masa de Eva se reduce a encontrar la fuerza total que actúa sobre ella.

Comencemos por hacer un diagrama de cuerpo libre para cada una de ellas, usando un sistema de coordenadas donde el eje X es paralelo a la dirección del movimiento (paralelo a la pendiente), como es común con problemas de plano inclinado.

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

 

Figura 1: Elegimos el sistema de coordenadas con el eje X paralelo a la montaña y en la dirección de movimiento de María y Eva. El Yaxis es perpendicular a la superficie de la montaña.

 

Para el diagrama, necesitamos identificar las fuerzas. Hay dos fuerzas a lo largo de Y sobre Eva: la fuerza normal producida por la nieve (en la dirección Y positiva) y la componente Y del peso (en la dirección negativa). En X hay tres fuerzas sobre Eva: la tensión, que va en la dirección X negativa (porque la cuerda la jala hacia su mamá), la fricción que también va en la dirección X negativa, y la componente X del peso, que es positiva. Entonces, el diagrama de cuerpo libre de Eva se muestra en la figura 2.

 

Figura 2: Diagrama de cuerpo libre para Eva. Las fuerzas que se muestran son: la fuerza de contacto \(N_e \), el peso \(W_e \), la tensión \(T_e \) y la fricción \(f_{re} \). El peso se descompone d a lo largo de sus componentes X y Y utilizando el ángulo de inclinación de la montaña \(\theta \).

 

Hay dos fuerzas a lo largo de Y sobre María: la fuerza normal producida por la nieve y la componente Y del peso, que apunta en la dirección Y negativa. A lo largo de X, hay tres fuerzas: la componente X del peso, que apunta en la dirección X positiva, la fricción producida por la nieve, que es negativa en X, y la tensión producida por la cuerda, que apunta en la dirección positiva. Dirección X (la tensión jala a María hacia su hija). Por tanto, el diagrama de cuerpo libre de María se muestra en la figura 3.

 

Figura 3: diagrama de cuerpo libre para Eva. Las fuerzas que se muestran son: la fuerza de contacto \(N_m \), el peso \(W_m \), la tensión \(T_m \) y la fricción \(f_{rm} \). El peso se descompone d a lo largo de sus componentes X y Y utilizando el ángulo de inclinación de la montaña \(\theta \).

 

Ahora que tenemos el diagrama de cuerpo libre para Eva y María, podemos escribir fácilmente las ecuaciones de fuerza en X e Y para ambas. Comencemos con las ecuaciones de fuerza para Eva en X. Del diagrama de cuerpo libre, está claro que esta ecuación es

\begin{equation}
W_{e_x} \, \hat{\textbf{i}} – f_{r_e} \, \hat{\textbf{i}} – T_e \, \hat{\textbf{i}}= m_e a_{e_x} \, \hat{\textbf{i}},
\end{equation}

donde el subíndice ‘e’ en todos los términos nos ayuda a recordar que estamos hablando de variables sobre Eva. Del diagrama de cuerpo libre se ve claramente que \(W_{e_x} = W_e \sin \theta \), y como \(W_e = m_e g \), obtenemos

\begin{equation}
\label{EveMarie_fuerzasXEve}
{(m_e g \sin \theta)} \, \hat{\textbf{i}} – f_{r_e} \, \hat{\textbf{i}} – T_e \,\hat{\textbf{i}} = m_e a_{e_x} \, \hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Por tanto, la masa que buscamos aparece en dos términos de esta ecuación. Para encontrarla, necesitamos encontrar \(f_{r_e} \) y \(T_e \). La magnitud de la fricción dinámica es \(\mu_e N_e \) (\(N_e \) es la fuerza normal sobre Eva), por lo que podemos escribir la ecuación \eqref{EveMarie_fuerzasXEve} como

\begin{equation}
\label{EveMarie_fuerzasXEve2}
m_e g \sin \theta \, \hat{\textbf{i}} – {(\mu_e N_e)} \, \hat{\textbf{i}} – T_e \, \hat{\textbf{i}}= m_e a_{e_x} \, \hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Ahora, para encontrar \(N_e \), necesitamos usar la Segunda Ley de Newton a lo largo de Y. Del diagrama de cuerpo libre, obtenemos la siguiente ecuación de fuerzas

\begin{equation}
N_e \, \hat{\textbf{j}} – W_{e_y} \, \hat{\textbf{j}} = m_e a_{e_y} \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Pero no hay aceleración a lo largo de Y, por lo que obtenemos

\begin{equation}
N_e \, \hat{\textbf{j}} – W_{e_y} \, \hat{\textbf{j}} = 0 \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Si movemos el término de peso al otro lado y nos enfocamos solo en las magnitudes, obtenemos

\begin{equation}
N_e=W_{e_y}.
\end{equation}

Finalmente, usemos que \(W_{e_y} = W_e \cos \theta \) y \(W_e = m_eg \):

\begin{equation}
N_e = (m_e g \cos \theta).
\end{equation}

Entonces podemos usar este resultado en la ecuación \eqref{EveMarie_fuerzasXEve2} para obtener

\begin{equation}
\label{EveMarie_fuerzasXEveTodo}
m_e g \sin \theta \, \hat{\textbf{i}} – \mu_e {( m_e g \cos \theta)} \, \hat{\textbf{i}} – T_e \, \hat{\textbf{i}}= m_e a_{e_x} \, \hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Entonces, la única variable que aún necesitamos encontrar para obtener \(m_e \) de esta ecuación es \(T_e \). Ya que no hay más ecuaciones de fuerza para Eva, tendremos que encontrar \(T_e \) a partir de las ecuaciones de María.

En el diagrama de cuerpo libre, podemos ver que las fuerzas a lo largo de X para María nos dan

\begin{equation}
T_m \, \hat{\textbf{i}} + W_{m_x} \, \hat{\textbf{i}} – f_{r_m} \, \hat{\textbf{i}}= m_m a_{m_x} \, \hat{\textbf{i}}.
\label{EveMarie_fuerzasXMarie}
\end{equation}

En cuanto al caso de Eva, sabemos que \(W_{m_x} = m_m g \sin \theta \) y \(f_{r_m} = \mu_m N_m \) (donde \(\mu_m \) es el coeficiente de fricción dinámica de María y \(N_m \) es la fuerza normal sobre ella). Por tanto, la ecuación \eqref{EveMarie_fuerzasXMarie} se convierte en

\begin{equation}
T_m \, \hat{\textbf{i}} + {(m_m g \sin \theta)} \, \hat{\textbf{i}} – {(\mu_m N_m)} \, \hat{\textbf{i}}= m_m a_{m_x} \, \hat{\textbf{i}}.
\label{EveMarie_fuerzasXMarieReemp}
\end{equation}

Como antes, encontremos \(N_m \) usando las ecuaciones a lo largo de Y.

\begin{equation}
N_m \, \hat{\textbf{j}} – W_{m_y} \, \hat{\textbf{j}} = m_m a_{m_y} \, \hat{\textbf{j}}
\end{equation}

Nuevamente, no hay aceleración en Y y \(W_m = m_m g \cos \theta \). Entonces, obtenemos

\begin{equation}
N_m \, \hat{\textbf{j}} – {(m_m g \cos \theta)} \, \hat{\textbf{j}} = 0 \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Si nos enfocamos en las magnitudes y reorganizamos la ecuación, obtenemos

\begin{equation}
N_m = m_m g \cos \theta.
\end{equation}

Entonces, podemos usar este término en la ecuación \eqref{EveMarie_fuerzasXMarieReemp}:

\begin{equation}
T_m \, \hat{\textbf{i}} + m_m g \sin \theta \, \hat{\textbf{i}} – \mu_m {(m_m g \cos \theta)} \, \hat{\textbf{i}}= m_m a_{m_x} \, \hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Ahora, recordemos que necesitamos encontrar \(T_e \). Para hacerlo, ahora usamos que la magnitud de la tensión que produce una cuerda (que asumimos que es ideal) en sus dos extremos es exactamente la misma. Esto significa que la magnitud de la tensión que ejerce la cuerda en las manos de María es la misma que la magnitud de la tensión que ejerce la cuerda en las manos de Eva (la dirección de esta tensión no es la misma porque tira de María en la dirección X positiva y de Eva en la dirección X negativa). Por lo tanto, \(T_e = T_m \) y así obtenemos:

\begin{equation}
{(T_e)} \, \hat{\textbf{i}} + m_m g \sin \theta \, \hat{\textbf{i}} – \mu_m m_m g \cos \theta \, \hat{\textbf{i}}= m_m a_{m_x} \, \hat{\textbf{i}}.
\label{EveMarie_fuerzasXMarieTodo}
\end{equation}

Además, ya que la cuerda está tensa, la magnitud de la aceleración de sus dos extremos es la misma. Por lo tanto, la magnitud de la aceleración de María debe ser la misma que la magnitud de la aceleración de Eva (ya que ambas sostienen los extremos de la cuerda). Entonces, \(a_{m_x}=a_{e_x}\). Entonces la ecuación \eqref{EveMarie_fuerzasXMarieTodo} se convierte en:

\begin{equation}
T_e \, \hat{\textbf{i}} + m_m g \sin \theta \, \hat{\textbf{i}} – \mu_m m_m g \cos \theta \, \hat{\textbf{i}}= m_m {(a_{e_x})}\, \hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Ahora podemos dejar el término \(T_e \) en un lado y mover todo lo demás al otro lado. Si hacemos eso y nos enfocamos en las magnitudes, obtenemos

\begin{equation}
T_e = m_m a_{e_x} – m_m g \sin \theta + \mu_m m_m g \cos \theta.
\label{EveMarie_tension}
\end{equation}

Entonces, hemos encontrado una expresión para \(T_e \) en términos de variables conocidas. Por lo tanto, podemos reemplazar este resultado en la ecuación \eqref{EveMarie_fuerzasXEveTodo}:

\begin{equation}
\label{EveMarie_reemplazarTension}
m_e g \sin \theta \, \hat{\textbf{i}} – \mu_e m_e g \cos \theta \, \hat{\textbf{i}} – {(m_m a_{e_x} – m_m g \sin \theta + \mu_m m_m g \cos \theta)} \, \hat{\textbf{i}}= m_e a_{e_x} \, \hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Observe que hemos encontrado una ecuación donde la única variable desconocida es \(m_e \). Para encontrar \(m_e \), movamos todos los términos con \(m_e \) al lado izquierdo y los otros al lado derecho, y centrémonos solo en las magnitudes.

\begin{equation}
m_e g \sin \theta – \mu_e m_e g \cos \theta – m_e a_{e_x} = m_m a_{e_x} – m_m g \sin \theta + \mu_m m_m g \cos \theta.
\end{equation}

Entonces, podemos factorizar \(m_e \):
\begin{equation}
m_e( g \sin \theta – \mu_e g \cos \theta – a_{e_x} ) = m_m a_{e_x} – m_m g \sin \theta + \mu_m m_m g \cos \theta.
\end{equation}

Y ahora podemos dividir por \(( g \sin \theta – \mu_e g \cos \theta – a_{e_x})\):

\begin{equation}
m_e = \frac{m_m a_{e_x} – m_m g \sin \theta + \mu_m m_m g \cos \theta}{g \sin \theta – \mu_e g \cos \theta – a_{e_x}}.
\end{equation}

Finalmente, insertamos los valores numéricos de las diferentes variables:

\begin{equation}
m_e = \frac{{(64 \, \text{kg})} {(2 \, \text{m/s}^2)} – {(64 \, \text{kg})} {(9.8 \, \text{m/s}^2)} \sin {(40^\circ)} + {(0.7)} {(64 \, \text{kg})} {(9.8 \, \text{m/s}^2)} \cos {(40^\circ)}}{{(9.8 \, \text{m/s}^2)} \sin {(40^\circ)} – {(0.4)} {(9.8 \, \text{m/s}^2)} \cos {(40^\circ)} – {(2 \, \text{m/s}^2)}},
\end{equation}

para obtener

\begin{equation}
m_e = 47.2 \, \text{kg}.
\label{EveMarie_masaEve}
\end{equation}

(b) Para encontrar la tensión que la cuerda ejerce sobre las manos de María, simplemente podemos usar la ecuación \eqref{EveMarie_tension}. Insertemos los valores numéricos conocidos allí:
\begin{equation}
T_e = {(64 \, \text{kg})} {(2 \, \text{m/s}^2)} – {(64 \, \text{kg})} {(9.8 \, \text{m/s}^2)} \sin {(40^\circ)} + {(0.7)} {(64 \, \text{kg})} {(9.8 \, \text{m/s}^2)} \cos {(40^\circ)}.
\label{EveMarie_tensionResultado}
\end{equation}

El resultado es
\begin{equation}
T_e = 61.2 \, \text{N}.
\end{equation}

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