Árbol de Mango

(a) Use una ecuación que dé la posición final en términos de la velocidad inicial, el tiempo y la aceleración.

(b) Divida el tiempo total en términos del tiempo que tarda la piedra en alcanzar el mango y el tiempo que tarda el mango en caer. Luego, use el mismo tipo de ecuación que se usó en (a) pero ahora usando los dos tiempos diferentes que acabamos de mencionar.

Para determinar si Carla puede golpear el mango, necesitamos calcular la altura que alcanza la piedra usando la velocidad inicial. La ecuación de movimiento tiene la forma:

\begin{equation*}
\vec{y}_f = \frac{1}{2} \vec{a} t^2 + \vec{v}_i t + \vec{y}_i.
\end{equation*}

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Para encontrar la altura máxima de la piedra, necesitamos encontrar el momento en el que la piedra alcanzaría esa altura y luego usar ese tiempo en la última ecuación. Para un objeto con aceleración constante, la velocidad viene dada por:

\begin{equation*}
\vec{v}_f = \vec{v}_i + \vec{a}t.
\end{equation*}

Considerando que \( \vec{v}_f =0 \), combinando ambas ecuaciones y reemplazando los valores numéricos obtenemos:

\begin{equation*}
y_f = 16.53 \, \text{m}.
\end{equation*}

(b) Ahora, el tiempo que tarda el mango en llegar a las manos de Carla desde el momento en que lanza la piedra es igual al tiempo que tarda la piedra en alcanzar el mango más el tiempo que tarda el mango en caer en sus manos. Es decir,

\begin{equation*}
t_T=t_{\text{stone}} + t_{\text{mango}}.
\end{equation*}

Tanto para el mango como para la piedra, la ecuación que relaciona la distancia y el tiempo es muy útil:

\begin{equation*}
\vec{y}_f = \frac{1}{2} \vec{a} t^2 + \vec{v}_i t + \vec{y}_i.
\end{equation*}

Considerando que para la piedra la posición final es \(4 \, \text{m} \), y usando el resto de valores numéricos podemos obtener:

\begin{equation*}
t_{\text{stone}} = 0.24 \, \text{s}.
\end{equation*}

Entonces, la posición final del mango es 0. Entonces, usando la misma ecuación obtenemos:

\begin{equation*}
t_{\text{mango}} = 0.90 \, \text{s},
\end{equation*}

para finalmente obtener:

\begin{equation*}
t_T = 1.14 \, \text{s}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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(a) Para determinar si Carla puede pegarle al mango, necesitamos calcular la altura que alcanza la piedra usando la velocidad inicial. Una vez lanzada, el movimiento de la piedra es el de un objeto en línea recta con aceleración constante (debido a la gravedad), por lo que en general la ecuación de movimiento es de la forma:

\begin{equation}
\label{Fruit_yfVector}
\vec{y}_f = \frac{1}{2} \vec{a} t^2 + \vec{v}_i t + \vec{y}_i.
\end{equation}

Para poder aplicar esta ecuación a esta situación particular, elijamos un sistema de coordenadas. Un sistema conveniente es aquel en el que el origen está en la mano de Carla, esto significa que la altura inicial de la piedra es cero.

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Figura 1: Colocamos el sistema de coordenadas en la mano de Carla, que es la posición inicial de la piedra.

Según este sistema de coordenadas, que se muestra en la figura 1, la velocidad inicial es positiva en Y, la aceleración gravitacional es negativa en Y, la posición inicial es cero y la posición final es positiva (ya que el mango es más alto que sus manos). Entonces, para este caso, la ecuación \eqref{Fruit_yfVector} se convierte en

\begin{equation}
\label{Fruit_yfConGorro}
y_f \, \hat{\textbf{j}} = -\frac{1}{2} g t^2 \, \hat{\textbf{j}} + v_i t \, \hat{\textbf{j}} + 0 \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Ahora que tenemos la ecuación de movimiento, tenemos dos formas de proceder. Una es encontrar la altura máxima que alcanzaría la piedra si no fuera detenida por el árbol o cualquier otro objeto y luego comparar esa altura máxima con la altura del mango. Si esa altura máxima es igual o mayor que la altura del mango, inferimos que la piedra realmente golpea el mango. La otra opción es usar directamente la altura del mango como \(y_f\) en la ecuación \eqref{Fruit_yfConGorro} y encontrar el tiempo. Si el tiempo que encontramos es real y positivo, entonces significa que efectivamente hay un momento en el que la piedra llega a la ubicación del mango. Aquí, seguiremos el primer método, pero en la parte (b) realmente necesitaremos usar el segundo método.

Para encontrar la altura máxima de la piedra, necesitamos encontrar el momento en el que la piedra alcanzaría esa altura y luego usar ese tiempo en la ecuación \eqref{Fruit_yfConGorro}. La clave para encontrar este tiempo es usar el hecho de que cuando un objeto en movimiento vertical o movimiento parabólico alcanza su altura máxima, su velocidad vertical es cero (el objeto no está subiendo ni bajando en ese momento exacto). Para un objeto con aceleración constante, la velocidad viene dada por

\begin{equation}
\label{Fruit_velocidadVector}
\vec{v}_f = \vec{v}_i + \vec{a}t,
\end{equation}

donde \(\vec{v}_f\) es la velocidad final, \(\vec{v}_i\) es la velocidad inicial, \(a\) la aceleración y \(t\) el tiempo. En nuestro sistema de coordenadas, la velocidad inicial es positiva, la aceleración gravitacional es negativa y queremos encontrar el momento en que la velocidad final es cero (este es el momento de la altura máxima). Entonces la ecuación \eqref{Fruit_velocidadVector} se convierte en

\begin{equation}
0 \, \hat{\textbf{j}} = v_i \, \hat{\textbf{j}} – gt_{\text{max}} \, \hat{\textbf{j}}
\end{equation}

Si reorganizamos los términos y nos centramos en las magnitudes, obtenemos

\begin{equation}
gt_{\text{max}} = v_i.
\end{equation}

Y entonces

\begin{equation}
\label{Fruit_TiempoMaximo}
t_{\text{max}} = \frac{v_i}{g}.
\end{equation}

El lector puede reconocer que esta es la ecuación que nos dice el tiempo de altura máxima para un objeto en movimiento vertical o movimiento parabólico. Ahora, podemos usar este tiempo en la ecuación \eqref{Fruit_yfConGorro} y concentrarnos sólo en las magnitudes para obtener

\begin{equation}
y_f = -\frac{1}{2} g\left(\frac{v_i}{g}\right)^2 + v_i \left(\frac{v_i}{g}\right) + 0.
\end{equation}

Tenga en cuenta que algunos de los términos se pueden simplificar un poco

\begin{equation}
y_f = -\frac{1}{2} \frac{v^2_i}{g} + \frac{v^2_i}{g}.
\end{equation}

Ahora, podemos sumar los dos primeros términos del lado derecho para obtener

\begin{equation}
y_f = \frac{v^2_i}{2g}.
\end{equation}

Entonces, insertemos aquí los valores numéricos para las diferentes variables

\begin{equation}
y_f = \frac{(18 \, \text{m/s})^2}{2(9.8 \, \text{m/s}^2)}.
\end{equation}

El resultado es

\begin{equation}
y_f = 16.53 \, \text{m}.
\end{equation}

Dado que esta altura es considerablemente más alta que la altura a la que cuelga el mango, esto significa que la piedra golpeará el mango.

(b) Ahora, el tiempo que tarda el mango en llegar a las manos de Carla desde el momento en que lanza la piedra es igual al tiempo que tarda la piedra en alcanzar el mango más el tiempo que tarda el mango en caer en sus manos. Es decir,

\begin{equation}
\label{Fruit_tiempoTotal}
t_T=t_{\text{stone}} + t_{\text{mango}},
\end{equation}

donde \(t_T\) es el tiempo total, \(t _ {\text{stone}}\) el tiempo que tarda la piedra en alcanzar el mango y \(t _ {\text{mango}}\) el tiempo que tarda el mango en caer.

Observe que \(t_{\text{stone}}\) no es lo mismo que \(t_{\text{max}}\) encontrado en la ecuación \eqref{Fruit_TiempoMaximo} porque ese sería el momento en que la piedra hubiera alcanzado la altura máxima si no estuviera bloqueada por ningún objeto (ese no es el momento en que la piedra llega al mango). Pero podemos encontrar fácilmente \(t_{\text{stone}}\) usando la ecuación \eqref{Fruit_yfConGorro}. Simplemente deberíamos usar la altura del mango en la ecuación:

\begin{equation}
y_f \, \hat{\textbf{j}} = -\frac{1}{2} g t_{\text{stone}}^2 \, \hat{\textbf{j}} + v_i t_{\text{stone}} \, \hat{\textbf{j}} + 0 \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Si nos enfocamos en las magnitudes y movemos todos los términos al lado izquierdo, obtenemos

\begin{equation}
\frac{1}{2} g t_{\text{stone}}^2 – v_i t_{\text{stone}} + y_f = 0.
\end{equation}

Ahora podemos insertar los valores numéricos aquí:

\begin{equation}
\frac{1}{2} (9.8 \, \text{m/s}^2) t_{\text{stone}}^2 – (18 \, \text{m/s}) t_{\text{stone}} + (4 \, \text{m}) = 0.
\end{equation}

Observa que esta es una ecuación cuadrática en el tiempo \(t_{\text{stone}}\) (una ecuación de la forma \(ax^2+bx+c\)). En este caso, \(a\) es \(\frac{1}{2} (9.8 \, \text{m/s}^2)\), \(b\) es \(- (18 \, \text{m/s})\) y \(c\) es \( y_f\). Las soluciones de la ecuación son

\begin{equation}
t_1 = 0.24 \, \text{s},
\end{equation}

y

\begin{equation}
t_2 = 3.44 \, \text{s}.
\end{equation}

Observe que obtenemos dos tiempos positivos. ¿Cómo sabemos cuál es el correcto? Cuando no hay árbol, hay dos momentos posibles en los que la piedra está a 4 metros de altura (que es donde está el mango). Una vez corresponde al momento en que la piedra alcanza los cuatro metros a medida que sube (\(t_1\)). El otro tiempo corresponde al momento en que, una vez que la piedra ha subido por completo, la piedra comienza a caer y pasa de nuevo por los 4 metros de altura. Este segundo momento cuando la roca pasa por la altura de cuatro metros es la segunda vez que se encuentra arriba (\(t_2\)). Por supuesto, en este caso hay un árbol, por lo que la única vez que la piedra alcanza la altura del mango es la primera vez \(t_1\) (la piedra no puede seguir subiendo después de golpear el mango). Podemos decir que \(t_{\text{stone}} = t_1 \). Entonces, podemos usar este tiempo en la ecuación \eqref{Fruit_tiempoTotal} para obtener

\begin{equation}
t_T=(0.24 \, \text{s}) + t_{\text{mango}}
\end{equation}

Lo último que debemos hacer es encontrar \(t_{\text{mango}}\). Observe que una vez que el mango es golpeado por la piedra y comienza a caer, sigue un movimiento con aceleración gravitacional constante (al igual que la piedra), por lo que la ecuación \eqref{Fruit_yfVector} se aplica. Dado el sistema de coordenadas que estamos usando, la posición inicial del mango es positiva en Y, la posición final es cero (las manos de Carla están en cero), la velocidad inicial es cero (el mango simplemente cae del árbol) y la aceleración gravitacional es negativa. Por lo tanto, obtenemos

\begin{equation}
0 \, \hat{\textbf{j}} = -\frac{1}{2} g t_{\text{mango}}^2 \, \hat{\textbf{j}} + (0) t_{\text{mango}} \, \hat{\textbf{j}} + y_i \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Si movemos el término \(t^2\) al lado izquierdo y nos enfocamos en las magnitudes, obtenemos

\begin{equation}
\frac{1}{2} g t_{\text{mango}}^2 = y_i.
\end{equation}

Ahora, divida por \(1/2g\) en todas partes para obtener

\begin{equation}
t_{\text{mango}}^2 = \frac{2 y_i}{g}
\end{equation}

Finalmente, saque la raíz cuadrada

\begin{equation}
t_{\text{mango}} = \sqrt{ \frac{2 y_i}{g} }.
\end{equation}

Y ahora inserte los valores numéricos

\begin{equation}
t_{\text{mango}} = \sqrt{ \frac{2 (4 \, \text{m})}{(9.8 \, \text{m/s}^2)} },
\end{equation}

para obtener

\begin{equation}
t_{\text{mango}} = 0.90 \, \text{s}.
\end{equation}

Entonces, por último, use este tiempo en la ecuación \eqref{Fruit_tiempoTotal}:

\begin{equation}
t_T=(0.24 \, \text{s}) + (0.90 \, \text{s}),
\end{equation}

para obtener

\begin{equation}
t_T = 1.14 \, \text{s}.
\end{equation}

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