¡Un poco de turbulencia!

a) Con el sistema de coordenadas correspondiente, defina las velocidades relativas respecto al aire y al suelo.

b) Trate de encontrar la diferencia de las posiciones con la ecuación de movimiento para un objeto que viaja con rapidez constante para cada posición.

a) La ecuación para la velocidad del avión en relación con el aire es:

\begin{equation*}
\vec{v}_{P/A}=\vec{v}_{P/G}-\vec{v}_{A/G},
\end{equation*}

donde \(\vec{v}_{P/A}\) es la velocidad del avión en relación con el aire, \(\vec{v}_{P/G}\) es la velocidad del avión en relación con el suelo, y \( \vec{v}_{A/G}\) es la velocidad del aire relativa al suelo. Con los valores dados, \(\vec{v}_{P/A}\) es igual a \(257\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}\), y \(\vec{v}_{A/G}\) en realidad es:

\begin{equation*}
\vec{v}_{A/G}=(60\,\text{m/s})\cos(30^{\circ})\,\hat{\textbf{i}}+(60\,\text{m/s})\sin(30^{\circ})\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation*}

Luego, despejando \( \vec{v} _{P/G} \) en la primera ecuación, obtenemos:

\begin{equation*}
\vec{v}_{P/G}\approx 309\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}+30\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation*}

La rapidez del avión medida desde el suelo es entonces la magnitud de este vector, explícitamente,

\begin{equation*}
|\vec{v}_{P/G}|\approx 310\,\text{m/s}.
\end{equation*}

b) La distancia entre la trayectoria sin viento y la trayectoria real (viento) del avión es entonces la diferencia de posiciones dada por

\begin{equation*}
\Delta \vec{x}=\vec{x}_{P/G}-\vec{x}_{P/A}.
\end{equation*}

Cada \(\vec{x} \) variable se puede escribir como \(\vec{v} t\).

Usando los valores numéricos en unidades SI \(t= 1\,\text{minute}=60\,\text{s}\), obtenemos

\begin{equation*}
\Delta \vec{x}\approx 3120\,\text{m}\,\hat{\textbf{i}}+1800\,\text{m}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation*}

Por lo tanto, el plano tendrá un desplazamiento a lo largo del eje X y el eje Y. La magnitud de este desplazamiento es la distancia, y será

\begin{equation*}
|\Delta \vec{x}|\approx 3602\,\text{m}.
\end{equation*}

Durante 1 hora ( \( t = 3600 \, \text{s} \)), obtenemos:

\begin{equation*}
\Delta \vec{x}\approx 187200\,\text{m}\,\hat{\textbf{i}}+108000\,\text{m}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation*}

La magnitud de este desplazamiento será

\begin{equation*}
|\Delta \vec{x}|\approx 216120\,\text{m}\approx 216.1\,\text{km}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

a) Se nos ha pedido que calculemos la velocidad del avión con respecto al suelo, \( \vec{v} _{P/G} \), y se nos da la rapidez del avión medida por los sensores en vuelo. Estos sensores miden la velocidad del avión con respecto al aire, \( \vec{v} _{P/A} \), que tiene una magnitud de \( 257 \, \text{m/s} \) en la zona turbulenta.

En general, la velocidad relativa entre dos objetos A y B viene dada por la diferencia entre las velocidades de A y B con respecto al suelo:

\begin{equation}
\vec{v}_{A/B}=\vec{v}_{A/G}-\vec{v}_{B/G},
\end{equation}

donde \(\vec{v}_{A/B}\) es la velocidad de A con respecto a B, \(\vec{v}_{A/G}\) es la velocidad de A relativa al suelo, y \(\vec{v}_{B/G}\) es la velocidad de B relativa al suelo. Para el caso del avión y el aire, podemos escribir esta ecuación como

\begin{equation}
\label{relative1}
\vec{v}_{P/A}=\vec{v}_{P/G}-\vec{v}_{A/G},
\end{equation}

donde \(\vec{v}_{P/A}\) es la velocidad del avión en relación con el aire, \(\vec{v}_{P/G}\) es la velocidad del avión en relación con el suelo, y \( \vec{v}_{A/G}\) es la velocidad del aire relativa al suelo. Dado que nos pidieron que calculemos \( \vec{v} _{P/G} \) ( la velocidad del avión con respecto al suelo), entonces podemos reescribir esta ecuación de esta manera:

\begin{equation}
\label{relative}
\vec{v}_{P/G}=\vec{v}_{A/G}+\vec{v}_{P/A},
\end{equation}

Entonces, para continuar, necesitamos encontrar una expresión explícita para \(\vec{v}_{P/A}\) y \(\vec{v}_{A/G}\). Para hacer eso, comenzamos eligiendo un sistema de coordenadas.

Supongamos que inicialmente el avión se mueve a lo largo del eje X positivo, como se muestra en la figura 1.

Figura 1:Sistema de coordenadas para el avión que se mueve con velocidad \(\vec{v}_{P/A}\) respecto al aire.

Entonces, el vector de velocidad del avión con respecto al aire es

\begin{equation}
\label{vpa}
\vec{v}_{P/A}=257\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Sabemos que \(\vec{v}_{A/G}\) (la velocidad del aire con respecto al suelo) tiene una magnitud de \(60\,\text{m/s}\) y traza un ángulo de \(30^{\circ}\) con respecto a la trayectoria del avión, como se indica en la figura 2.

Figura 2: Sistema de coordenadas completo para las velocidades relativas.

Por lo tanto, podemos escribir la velocidad del aire con respecto al suelo en términos de las componentes X y Y:

\begin{equation}
\label{vdg2}
\vec{v}_{A/G}={v}_{{A/G}_x}\,\hat{\textbf{i}}+{v}_{{A/G}_y}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Usando trigonometría simple y los valores numéricos, obtenemos

\begin{equation}
\label{vag}
\vec{v}_{A/G}=(60\,\text{m/s})\cos(30^{\circ})\,\hat{\textbf{i}}+(60\,\text{m/s})\sin(30^{\circ})\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Por tanto, podemos usar la ecuación \eqref{relative} y los resultados explícitos dados en las ecuaciones \eqref{vpa} y \eqref{vag} para encontrar la velocidad del avión con respecto al suelo, es decir

\begin{equation}
\vec{v}_{P/G}=\left((60\,\text{m/s})\cos(30^{\circ})\,\hat{\textbf{i}}+(60\,\text{m/s})\sin(30^{\circ})\,\hat{\textbf{j}}\right)+257\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Después de realizar la suma vectorial, esto produce

\begin{equation}
\vec{v}_{P/G}\approx 309\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}+30\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

La rapidez del avión medida desde el suelo es entonces la magnitud de este vector, explícitamente,

\begin{equation}
|\vec{v}_{P/G}|=\sqrt{(309\,\text{m/s})^2+(30\,\text{m/s})^2},
\end{equation}

\begin{equation}
|\vec{v}_{P/G}|\approx 310\,\text{m/s}.
\end{equation}

b) Para la parte final del problema, nos piden que calculemos la distancia entre la trayectoria real (con viento durante un minuto completo) y la trayectoria si no hubiera viento. Para encontrar esta distancia, necesitamos calcular la posición del avión usando la velocidad medida con respecto al aire y comparar esta posición con la que tendría el avión si no hubiera viento. La ecuación cinemática de la posición en términos de tiempo para un movimiento con velocidad constante es simplemente \(\vec{x}=\vec{v}t\). Entonces, teniendo en cuenta la velocidad del avión con respecto al aire, la posición es

\begin{equation}
\label{xpa}
\vec{x}_{P/A}=\vec{v}_{P/A}t.
\end{equation}

Y la posición, asumiendo que no hay viento, viene dada por la velocidad del avión con respecto al suelo (en el caso donde no hay viento, \( \vec{x} _{P/A} \) es lo mismo que \( \vec{x} _{P/G} \), como se puede ver en la ecuación \eqref{relative} ). Por lo tanto, en el caso de que no haya viento, obtenemos

\begin{equation}
\label{xpg}
\vec{x}_{P/G}=\vec{v}_{P/G}t.
\end{equation}

La distancia entre la trayectoria sin viento y la trayectoria real (viento) del avión es entonces la diferencia dada por

\begin{equation}
\Delta \vec{x}=\vec{x}_{P/G}-\vec{x}_{P/A}.
\end{equation}

Usando las expresiones explícitas para las posiciones, dadas por las ecuaciones \eqref{xpa} y \eqref{xpg} , obtenemos

\begin{equation}
\label{desv}
\Delta \vec{x}=\vec{v}_{P/G}t-\vec{v}_{P/A}t.
\end{equation}

Usando los valores numéricos en unidades SI \(t= 1\,\text{minute}=60\,\text{s}\), obtenemos

\begin{equation}
\Delta \vec{x}=(309\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}+30\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{j>(60\,\text{s})-(257\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i>(60\,\text{s}),
\end{equation}

\begin{equation}
\Delta \vec{x}\approx 3120\,\text{m}\,\hat{\textbf{i}}+1800\,\text{m}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Por lo tanto, el plano tendrá un desplazamiento a lo largo del eje X y el eje Y. La magnitud de este desplazamiento es la distancia, y será

\begin{equation}
|\Delta \vec{x}|=\sqrt{(3120\,\text{m})^2+(1800\,\text{m})^2},
\end{equation}

\begin{equation}
|\Delta \vec{x}|\approx 3602\,\text{m}.
\end{equation}

También podemos hacer este cálculo durante 1 hora si tomamos \(t=3600\,\text{s}\) en la ecuación \eqref{desv} . Explícitamente,

\begin{equation}
\Delta \vec{x}=(309\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}+30\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{j>(3600\,\text{s})-(257\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i>(3600\,\text{s}),
\end{equation}

\begin{equation}
\Delta \vec{x}\approx 187200\,\text{m}\,\hat{\textbf{i}}+108000\,\text{m}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Nuevamente, el avión tendrá un desplazamiento a lo largo del eje X y el eje Y. La magnitud de este desplazamiento será

\begin{equation}
|\Delta \vec{x}|=\sqrt{(187200\,\text{m})^2+(108000\,\text{m})^2},
\end{equation}

\begin{equation}
|\Delta \vec{x}|\approx 216120\,\text{m}\approx 216.1\,\text{km},
\end{equation}

que es un número considerable. ¡Es equivalente a la distancia entre Venecia y Milán!

You need to be registered and logged in to take this quiz. Log in