¡Mover un sofá!

a) Una vez que dibuje el diagrama de cuerpo libre, puede usar la fuerza normal y la fuerza máxima debida a la fricción estática para obtener el coeficiente de fricción estática.

b) En el diagrama de cuerpo libre, habrá una aceleración a lo largo del eje \({x-} \). Proceda de manera similar al inciso a) para obtener el coeficiente de fricción cinética.

a) En este caso, la fuerza máxima debida a la fricción estática es:

\begin{equation*}
f_{r_{max}}=\mu_s N,
\end{equation*}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

donde necesitamos saber \(f_ {r_{max} } \) y \(N \) para obtener \(\mu_s \).

De la segunda ley de Newton en la dirección \({y-} \), tenemos:

\begin{equation*}
N-mg=0,
\end{equation*}

entonces \(N = mg \). La segunda ley de Newton en la dirección \({x-} \) nos da:

\begin{equation*}
F_l – f_{r_{max}} = 0,
\end{equation*}

entonces \(F_l = f_ {r_{max}} = 700 \, \text{N} \). Despejando \(\mu_s \) en la primera ecuación y reemplazando las variables con valores numéricos, obtenemos:

\begin{equation*}
\mu_s = 0.238.
\end{equation*}

b) Ahora, la fuerza de fricción dinámica es:

\begin{equation*}
f_{r_{k}}=\mu_k N,
\end{equation*}

donde \(N \) es lo mismo que en a). Resolviendo la segunda ley de Newton para la dirección \({x-} \), obtenemos:

\begin{equation*}
F_L – f_{r_k} = m a_x,
\end{equation*}

donde podemos despejar \(f_{r_k} \) para sustituir en la ecuación anterior. Esto da:

\begin{equation*}
\mu_k = \frac{{(F_L – ma_x)}}{{(mg)}},
\end{equation*}

y con valores numéricos:

\begin{equation*}
\mu_k = 0.227.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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a) Para encontrar el coeficiente de fricción estática entre el sofá y el piso, necesitamos encontrar la magnitud de la fuerza de fricción estática Observe que no existe una ecuación general para la magnitud de fricción estática. Todo lo que tenemos es una fórmula para la máxima fricción estática. En ese caso, donde la fricción estática es máxima, su magnitud viene dada por

\begin{equation}
\label{Lisa_staticfriction}
f_{r_{max}}=\mu_s N,
\end{equation}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”] donde \(\mu_s \) es el coeficiente de fricción estática y \(N \) la magnitud de la fuerza normal. Por lo tanto, para encontrar \(\mu_s \) necesitamos encontrar esta fuerza máxima y \(N \). En particular, si dividimos por \(N \), obtenemos

\begin{equation}
\label{Lisa_mu}
\frac{f_{r_{max}}}{N} = \mu_s.
\end{equation}

Ahora, sabemos que la fricción estática es una fuerza que contrarresta las fuerzas externas que intentan mover el objeto sobre una superficie. En este caso, la fricción estática del sofá contrarresta la fuerza de Lisa sobre el sofá. Cuanto mayor sea la fuerza que ejerce Lisa sobre el sofá, mayor será la fricción estática entre el sofá y el suelo. Esta es la razón por la que el sofá no se mueve mientras Lisa aumenta la fuerza que usa para empujarlo: a medida que aumenta esa fuerza, la fricción estática también aumenta, de modo que la fuerza total a lo largo del piso es exactamente cero y el sofá permanece en su lugar. Por lo tanto, uno puede encontrar la fricción encontrando las fuerzas externas en el sofá, ya que estas fuerzas tendrán la misma magnitud pero direcciones opuestas (tienen direcciones opuestas, de modo que la suma total es cero y el objeto permanece en reposo).

Dado esto, queremos encontrar la fuerza máxima que Lisa puede ejercer sobre el sofá antes de que comience a moverse. Esa fuerza será entonces de la misma magnitud que la fricción estática máxima. Afortunadamente, sabemos qué fuerza es esta: el enunciado dice que cuando Lisa empuja el sofá con una fuerza superior a 700 N, el sofá de repente comienza a moverse. Esto debe significar que 700 N es la fricción estática máxima entre el sofá y el piso. Si Lisa aplica una fuerza mayor que esta, el sofá se mueve, lo que significa que la fricción ya no puede contrarrestar las fuerzas externas.

Entoncers sabemos que \(700\, \text{N}\) is \(f_{r_{max}}\) en la ecuación \eqref{Lisa_mu}. Pero para usar esa ecuación, todavía necesitamos encontrar \(N \). Esta fuerza se puede obtener considerando la segunda ley de Newton en la dirección vertical. Supongamos que Lisa empuja el sofá en el eje X positivo. Entonces, el peso actúa en la dirección negativa de\({y-} \), y la normal en la dirección positiva de \({y-} \), como se indica en la Figura 1.

Entonces, la Segunda Ley de Newton a lo largo de \({y} \) produce:

\begin{equation}
N \, \hat{\textbf{j}} -W \, \hat{\textbf{j}}= m a_y \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Pero como el sofá no se mueve verticalmente, \(a_y = 0 \), y obtenemos

\begin{equation}
N \, \hat{\textbf{j}} = W \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Si nos enfocamos solo en las magnitudes y usamos la relación \(W = mg \), obtenemos

\begin{equation}
\label{Lisa_Normal}
N = mg.
\end{equation}

Finalmente, podemos usar esto en la ecuación \eqref{Lisa_mu}:

\begin{equation}
\frac{f_{r_{max}}}{{(mg)}} = \mu_s.
\end{equation}

Si insertamos los valores numéricos:

\begin{equation}
\frac{{(700 \, \text{N})}}{{(300\, \text{kg})} {(9.8 \, \text{m/s}^2)}} = \mu_s,
\end{equation}

obtenemos:

\begin{equation}
\label{Lisa_muResultado}
0.238 = \mu_s.
\end{equation}

b) Una vez que el sofá comienza a moverse, la fricción entre el sofá y el piso es cinética y no estática. Sabemos que la fuerza debida a la fricción cinética siempre viene dada por

\begin{equation}
f_{r_k}=\mu_k N,
\end{equation}

donde nuevamente, \(N \) es la fuerza normal. Entonces, el razonamiento es similar al del caso anterior; de \(f_{r_k} \) y \(N \), podemos encontrar \(\mu_k \):

\begin{equation}
\label{Lisa_muK}
\frac{f_{r_k}}{N} = \mu_k.
\end{equation}

Pero, ¿cómo obtenemos \(f_{r_k} \) si no concemos \(\mu_k \)? Bueno, sabemos la aceleración del sofá a lo largo de \({x} \) (que es la dirección del movimiento), y sabemos que solo hay dos fuerzas a lo largo de \({x} \): la fuerza debida a la fricción y la fuerza debida a Lisa. Por lo tanto, de la Segunda Ley de Newton en la dirección \({x-} \), obtenemos

\begin{equation}
F_L \, \hat{\textbf{i}} – f_{r_k} \, \hat{\textbf{i}} = m a_x \, \hat{\textbf{i}},
\end{equation}

donde \(F_L \) es la fuerza de Lisa. Si movemos \(f_{r_k} \) al lado derecho, y nos enfocamos solo en las magnitudes, obtenemos

\begin{equation}
F_L = ma_x + f_{r_k}.
\end{equation}

Pasemos ahora \(m a_x \) al otro lado:

\begin{equation}
F_L – m a_x = f_{r_k}.
\end{equation}

Entonces podemos usar esto en la ecuación \eqref{Lisa_muK} y el hecho de que \(N = W \) (es decir, \(N = mg \)):

\begin{equation}
\frac{{(F_L – ma_x)}}{{(mg)}} = \mu_k.
\end{equation}

Finalmente, ingresemos valores numéricos:

\begin{equation}
\frac{{(700 \, \text{N})} – {(300\, \text{kg})} {(0.1 \, \text{m/s}^2)}}{{(300\, \text{kg})} {(9.8 \, \text{m/s}^2)}} = \mu_k,
\end{equation}

para obtener:

\begin{equation}
0.227 = \mu_k.
\end{equation}

Observe aquí que el coeficiente de fricción dinámica \(\mu_k \) es menor que el coeficiente de fricción estática \(\mu_s \). Ésta es la razón por la cual es más difícil poner un objeto en movimiento que seguir moviéndolo.

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