¡Tres cables!

a) Utilice la ley de Ampere para encontrar el campo magnético alrededor de un cable. Utilice el principio de superposición para resolver el campo magnético total.

b) Use la ecuación encontrada en la parte (a) y los valores para cada caso.

c) Use la ecuación encontrada en el inciso a) nuevamente, pero haga un pequeño cambio para encontrar la respuesta.

a) La ley de Ampere da:

\begin{equation*}
\oint_C \vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0 I_{\text{enc}},
\end{equation*}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

donde, en este caso, el lado derecho de la ecuación es \(2 \pi r \), y la corriente incluida es \(I \). Despejando \(B \), obtenemos:

\begin{equation*}
B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}.
\end{equation*}

Colocando un sistema de coordenadas y usando el principio de superposición, tenemos:

\begin{equation*}
\vec{B}(x)=\frac{\mu_0 I}{2\pi}\left(\frac{1}{x-x_1}+\frac{1}{x-x_2}+\frac{1}{x_3}\right)\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation*}

b) Usando la última ecuación encontrada en la parte (a) y reemplazando cada punto, obtenemos

\begin{equation*}
\vec{B}(-0.1\,\text{m})\approx -6.13\times 10^{-6}\,\text{T}\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation*}

\begin{equation*}
\vec{B}(0.1\,\text{m})\approx -1.33\times 10^{-6}\,\text{T}\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation*}

\begin{equation*}
\vec{B}(0.3\,\text{m})\approx 1.33\times 10^{-6}\,\text{T}\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation*}

\begin{equation*}
\vec{B}(0.5\,\text{m})\approx 6.13\times 10^{-6}\,\text{T}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation*}

c) Si se invierte la corriente en un cable, entonces:

\begin{equation*}
\vec{B}(x)=\frac{\mu_0 I}{2\pi (x-x_1)}\,\hat{\textbf{j}}+\frac{\mu_0 I}{2\pi (x-x_2)}\,\hat{\textbf{j}}+\frac{\mu_0 (-I)}{2\pi (x-x_3)}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation*}

La expresión anterior se puede simplificar a

\begin{equation*}
\vec{B}(x)=\frac{\mu_0 I}{2\pi}\left(\frac{1}{x-x_1}+\frac{1}{x-x_2}-\frac{1}{x_3}\right)\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation*}

We can now calculate, again, the total magnetic field for each point.

\begin{equation*}
\vec{B}(-0.1\,\text{m})\approx -4.53\times 10^{-6}\,\text{T}\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation*}

\begin{equation*}
\vec{B}(0.1\,\text{m})\approx 1.33\times 10^{-6}\,\text{T}\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation*}

\begin{equation*}
\vec{B}(0.3\,\text{m})\approx 9.33\times 10^{-6}\,\text{T}\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation*}

\begin{equation*}
\vec{B}(0.5\,\text{m})\approx -1.87\times 10^{-6}\,\text{T}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

[/mepr-show]

a) Se nos pide que usemos la ley de Ampere para encontrar la expresión del campo magnético generado por los tres cables a una distancia \(x \). Primero, usaremos la ley de Ampere para calcular el campo magnético \(\vec{B} \) producido por un solo cable largo. Luego, usaremos el principio de superposición para encontrar el campo magnético para un \(r \) arbitrario.

Entonces comencemos por escribir la ley de Ampere.

\begin{equation}
\label{ampere}
\oint_C \vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0 I_{\text{enc}},
\end{equation}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

donde la integral de línea se toma sobre un camino cerrado arbitrario \(C \) con un elemento de línea \(d \vec{l} \). El término \(I _ {\text{enc} } \) es la corriente que pasa por el área definida por \(C \) (es decir, la corriente que está encerrada por el camino) y \(\mu_0 \) es una constante física conocida como la permeabilidad del espacio libre.

El campo magnético que produce un cable forma un bucle a su alrededor y su magnitud es constante a lo largo del bucle. Podemos usar la regla de la mano derecha para encontrar la dirección del campo magnético, como se ilustra en la figura 1.

Figura 1: Regla de la mano derecha para ver la dirección del campo magnético.

Ahora, explotemos las simetrías del campo magnético y escojamos un camino circular \(C \) de radio \(r \) en la misma dirección del campo magnético, como se muestra en la figura 2.

Figura 2: Vectores para un movimiento circular.

En la figura 2, podemos ver que el campo y el diferencial de línea son siempre paralelos (ambos van en sentido antihorario), por lo que el producto interno \(\vec{B} \cdot d \vec{l} \) es simplemente

\begin{equation}
\vec{B}\cdot d\vec{l}=Bdl,
\end{equation}

donde \(B \) es la magnitud del campo magnético y \(dl \) el diferencial de camino. Al usar este resultado en la ecuación \eqref{ampere}, obtenemos

\begin{equation}
\label{ampere2}
B\oint_{C}dl=\mu_0I_{\text{enc}},
\end{equation}

donde hemos sacado \(B \) de la integral ya que es constante a lo largo de la ruta \(C \). La integral en la ecuación \eqref{ampere2} es entonces solo la longitud del círculo, es decir,

\begin{equation}
\label{ampere3}
B(2\pi r)=\mu_0 I_{\text{enc}}.
\end{equation}

Si la corriente encerrada es la corriente que pasa a través del cable \(I \), entonces la ecuación \eqref{ampere3} se convierte en

\begin{equation}
\label{ampere4}
B2\pi r=\mu_0I.
\end{equation}

Podemos despejar \(B \) para obtener

\begin{equation}
B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}.
\end{equation}

Ahora podemos dibujar la dirección del campo magnético producido por cada cable como se muestra en la figura 3.

Figura 3: Campos magnéticos para cada cable.

Observe en la figura 3 que sobre el eje X, el campo se dirige o hacia arriba o hacia abajo en el eje Y. A la derecha de cada cable, el campo magnético generado por dicho cable apunta hacia arriba. A la izquierda del cable, el campo magnético producido por el cable apunta hacia abajo. Este patrón se puede resumir en la siguiente expresión para el campo magnético de cualquiera de los cables:

\begin{equation}
\vec{B}_i=\frac{\mu_0 I}{2\pi (x-x_i)}\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}

donde el subíndice \(i \) se usa para denotar el \(i \)-ésimo cable, \(x_i \) es la posición del cable y \(x \) es una coordenada arbitraria sobre el eje X. Si etiquetamos los cables de izquierda a derecha con los números 1, 2 y 3, entonces tenemos

\begin{equation}
\label{b1}
\vec{B}_1=\frac{\mu_0 I}{2\pi (x-x_1)}\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}

donde \(x_1=0\,\text{m}\);

\begin{equation}
\label{b2}
\vec{B}_2=\frac{\mu_0 I}{2\pi (x-x_2)}\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}

donde \(x_2=0.2\,\text{m}\);

\begin{equation}
\label{b3}
\vec{B}_3=\frac{\mu_0 I}{2\pi (x-x_3)}\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}

donde \(x_3=0.4\,\text{m}\).

Según el principio de superposición, el campo magnético total en un punto \(x \) es la suma de los campos producidos por cada cable. Por tanto, podemos escribir

\begin{equation}
\vec{B}(x)=\vec{B}_1+\vec{B}_2+\vec{B}_3,
\end{equation}

\begin{equation}
\label{bx1}
\vec{B}(x)=\frac{\mu_0 I}{2\pi (x-x_1)}\,\hat{\textbf{j}}+\frac{\mu_0 I}{2\pi (x-x_2)}\,\hat{\textbf{j}}+\frac{\mu_0 I}{2\pi (x-x_3)}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

La expresión en la ecuación \eqref{bx1} se puede simplificar a

\begin{equation}
\label{final}
\vec{B}(x)=\frac{\mu_0 I}{2\pi}\left(\frac{1}{x-x_1}+\frac{1}{x-x_2}+\frac{1}{x_3}\right)\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

b) Para encontrar el campo magnético en diferentes posiciones, debemos usar \eqref{final} junto con los valores numéricos en unidades SI. Haciendo eso para cada punto, obtenemos

\begin{equation}
\vec{B}(-0.1\,\text{m})=\frac{(4\pi\times10^{-7}\,\text{T m A}^{-1})(2\,\text{A})}{2\pi}\left(\frac{1}{-0.1\,\text{m}}+\frac{1}{-0.1\,\text{m}-0.2\,\text{m}}+\frac{1}{-0.1\,\text{m}-0.4\,\text{m}}\right)\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}

\begin{equation}
\vec{B}(-0.1\,\text{m})\approx -6.13\times 10^{-6}\,\text{T}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

\begin{equation}
\vec{B}(0.1\,\text{m})=\frac{(4\pi\times10^{-7}\,\text{T m A}^{-1})(2\,\text{A})}{2\pi}\left(\frac{1}{0.1\,\text{m}}+\frac{1}{0.1\,\text{m}-0.2\,\text{m}}+\frac{1}{0.1\,\text{m}-0.4\,\text{m}}\right)\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}

\begin{equation}
\vec{B}(0.1\,\text{m})\approx -1.33\times 10^{-6}\,\text{T}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

\begin{equation}
\vec{B}(0.3\,\text{m})=\frac{(4\pi\times10^{-7}\,\text{T m A}^{-1})(2\,\text{A})}{2\pi}\left(\frac{1}{0.3\,\text{m}}+\frac{1}{0.3\,\text{m}-0.2\,\text{m}}+\frac{1}{0.3\,\text{m}-0.4\,\text{m}}\right)\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}

\begin{equation}
\vec{B}(0.3\,\text{m})\approx 1.33\times 10^{-6}\,\text{T}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

\begin{equation}
\vec{B}(0.5\,\text{m})=\frac{(4\pi\times10^{-7}\,\text{T m A}^{-1})(2\,\text{A})}{2\pi}\left(\frac{1}{0.5\,\text{m}}+\frac{1}{0.5\,\text{m}-0.2\,\text{m}}+\frac{1}{0.5\,\text{m}-0.4\,\text{m}}\right)\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}

\begin{equation}
\vec{B}(0.5\,\text{m})\approx 6.13\times 10^{-6}\,\text{T}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Figura 4: Otra perspectiva de los campos magnéticos de cada cable.

c) Si la corriente en el cable ubicado en \(x = 0.4 \, \text{m} \) ahora está invertida, lo único que debemos hacer es cambiar el signo en la ecuación \eqref{bx1}, obteniendo

\begin{equation}
\label{bx2}
\vec{B}(x)=\frac{\mu_0 I}{2\pi (x-x_1)}\,\hat{\textbf{j}}+\frac{\mu_0 I}{2\pi (x-x_2)}\,\hat{\textbf{j}}+\frac{\mu_0 (-I)}{2\pi (x-x_3)}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Figura 5: Campos magnéticos para cada cable cuando una de las direcciones de la corriente es opuesta respecto a las demás.

La expresión anterior se puede simplificar a

\begin{equation}
\label{final2}
\vec{B}(x)=\frac{\mu_0 I}{2\pi}\left(\frac{1}{x-x_1}+\frac{1}{x-x_2}-\frac{1}{x_3}\right)\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Ahora podemos calcular, nuevamente, el campo magnético total en este caso para todos los valores anteriores de \(x \) tal como lo hicimos en (b) pero ahora usando la ecuación \eqref{final2}. Explícitamente, obtenemos

\begin{equation}
\vec{B}(-0.1\,\text{m})=\frac{(4\pi\times10^{-7}\,\text{T m A}^{-1})(2\,\text{A})}{2\pi}\left(\frac{1}{-0.1\,\text{m}}+\frac{1}{-0.1\,\text{m}-0.2\,\text{m}}-\frac{1}{-0.1\,\text{m}-0.4\,\text{m}}\right)\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}

\begin{equation}
\vec{B}(-0.1\,\text{m})\approx -4.53\times 10^{-6}\,\text{T}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

\begin{equation}
\vec{B}(0.1\,\text{m})=\frac{(4\pi\times10^{-7}\,\text{T m A}^{-1})(2\,\text{A})}{2\pi}\left(\frac{1}{0.1\,\text{m}}+\frac{1}{0.1\,\text{m}-0.2\,\text{m}}-\frac{1}{0.1\,\text{m}-0.4\,\text{m}}\right)\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}

\begin{equation}
\vec{B}(0.1\,\text{m})\approx 1.33\times 10^{-6}\,\text{T}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

\begin{equation}
\vec{B}(0.3\,\text{m})=\frac{(4\pi\times10^{-7}\,\text{T m A}^{-1})(2\,\text{A})}{2\pi}\left(\frac{1}{0.3\,\text{m}}+\frac{1}{0.3\,\text{m}-0.2\,\text{m}}-\frac{1}{0.3\,\text{m}-0.4\,\text{m}}\right)\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}

\begin{equation}
\vec{B}(0.3\,\text{m})\approx 9.33\times 10^{-6}\,\text{T}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Y finalmente,

\begin{equation}
\vec{B}(0.5\,\text{m})=\frac{(4\pi\times10^{-7}\,\text{T m A}^{-1})(2\,\text{A})}{2\pi}\left(\frac{1}{0.5\,\text{m}}+\frac{1}{0.5\,\text{m}-0.2\,\text{m}}-\frac{1}{0.5\,\text{m}-0.4\,\text{m}}\right)\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}

\begin{equation}
\vec{B}(0.5\,\text{m})\approx -1.87\times 10^{-6}\,\text{T}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

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