Centro de Masa – ¡Cubo!

a) Coloque su sistema de coordenadas y usa la ecuación para el centro de masa.

b) La misma pista que la parte (a), pero considere que habrá una partícula menos, encuentre la diferencia entre los dos vectores.

a) La posición del centro de masa es:

\begin{equation*}
\vec{r}_\text{cm}=\frac{\sum_i m_i \vec{r}_i}{\sum_i m_i},
\end{equation*}

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donde todas las masas (\m_i\) son iguales, por lo que las masas se pueden cancelar. Al elegir el sistema de coordenadas en una de las partículas, las posiciones serán \(s\) dimensiones o 0 en cada eje. Insertando los valores numéricos, obtenemos:

\begin{equation*}
\vec{r}_\text{cm}=4\,\text{cm}\,\hat{\textbf{i}}+4\,\text{cm}\,\hat{\textbf{j}}+4\,\text{cm}\,\hat{\textbf{k}}.
\end{equation*}

b) Haciendo el mismo cálculo que en a) pero en una partícula menos, obtenemos:

\begin{equation*}
\vec{r}’_\text{cm}=4.57\,\text{cm}\,\hat{\textbf{i}}+4.57\,\text{cm}\,\hat{\textbf{j}}+4.57\,\text{cm}\,\hat{\textbf{k}}.
\end{equation*}

El cambio de posición del centro de masa es la magnitud de la diferencia con los vectores \(\vec{r}_\text{cm}\) y \(\vec{r}_{\text{cm}}’\):

\begin{equation*}
|\vec{r}_\text{cm}-\vec{r}_{\text{cm}}’|\approx 1.00\,\text{cm}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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a) Nos han pedido que encontremos la posición del centro de masa. Primero coloquemos un sistema de coordenadas en una de las esquinas del cubo, como se ve en la figura 1.

Figura 1: Colocamos el sistema de coordenadas en uno de los vértices del arreglo cúbico de masas, específicamente en el vértice donde se coloca la masa 6.

Observe que hemos etiquetado las masas y usamos \(s\) para los bordes (la longitud de un borde es \(s=8\,\text{cm}\).

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Para encontrar la posición del centro de masa \(\vec{r}_\text{cm}\), debemos usar la siguiente expresión, válida para una matriz finita de masas puntuales

\begin{equation}
\label{ecmass}
\vec{r}_\text{cm}=\frac{\sum_i m_i \vec{r}_i}{\sum_i m_i},
\end{equation}

donde \(m_i\) es la masa de la \(i\)-ésima partícula y \(\vec{r}_i\) su vector de posición. En nuestro caso, tenemos 8 masas, por lo que la expresión explícita para la posición del centro de masa se convierte en (usando la ecuación \eqref{ecmass})

\begin{equation}
\label{explicit}
\vec{r}_\text{cm}=\frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2+m_3\vec{r}_3+m_4\vec{r}_4+m_5\vec{r}_5+m_6\vec{r}_6+m_7\vec{r}_7+m_8\vec{r}_8}{m_1+m_2+m_3+m_4+m_5+m_6+m_7+m_8}.
\end{equation}

Debido a que todas las masas son iguales a \(m\), la expresión anterior se simplifica a

\begin{equation}
\vec{r}_\text{cm}=\frac{m(\vec{r}_1+\vec{r}_2+\vec{r}_3+\vec{r}_4+\vec{r}_5+\vec{r}_6+\vec{r}_7+\vec{r}_8)}{8m},
\end{equation}

\begin{equation}
\label{rcm}
\vec{r}_\text{cm}=\frac{\vec{r}_1+\vec{r}_2+\vec{r}_3+\vec{r}_4+\vec{r}_5+\vec{r}_6+\vec{r}_7+\vec{r}_8}{8}.
\end{equation}

Por tanto, necesitamos el vector de posición para cada masa. Según el sistema de coordenadas que se muestra en la figura anterior, podemos escribir las posiciones de las masas en términos de los vectores unitarios a lo largo de los ejes X, Y y Z, como se ilustra en la figura 2.

Figura 2: El vector de posición para cada masa puede verse como una combinación lineal de vectores unitarios a largo de los ejes X, Y y Z multiplicados por \(s\). Para obtener el vector de posición de una masa específica, comience en el origen y sume los vectores necesarios para alcanzar la masa deseada. Por ejemplo, para el vector de posición de masa 4, debemos sumar los vectores rojo, azul y verde claro.

Por lo tanto, vemos que:

\begin{equation}
\label{a1}
\vec{r}_1=s\,\hat{\textbf{i}}+s\,\hat{\textbf{k}},
\end{equation}

\begin{equation}
\vec{r}_2=s\,\hat{\textbf{k}},
\end{equation}

\begin{equation}
\vec{r}_3=s\,\hat{\textbf{j}}+s\,\hat{\textbf{k}},
\end{equation}

\begin{equation}
\vec{r}_4=s\,\hat{\textbf{i}}+s\,\hat{\textbf{j}}+s\,\hat{\textbf{k}},
\end{equation}

\begin{equation}
\vec{r}_5=s\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}

\begin{equation}
\vec{r}_6=\vec{0},
\end{equation}

\begin{equation}
\vec{r}_7=s\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}

\begin{equation}
\label{a8}
\vec{r}_8=s\,\hat{\textbf{i}}+s\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Usando las expresiones explícitas para los vectores de posición dadas en las ecuaciones \eqref{a1}-\eqref{a8} en la ecuación \eqref{rcm} , obtenemos

\begin{equation}
\vec{r}_{cm}=\frac{(s\,\hat{\textbf{i}}+s\,\hat{\textbf{k>+(s\,\hat{\textbf{k>+(s\,\hat{\textbf{j}}+s\,\hat{\textbf{k>+(s\,\hat{\textbf{i}}+s\,\hat{\textbf{j}}+s\,\hat{\textbf{k>+(s\,\hat{\textbf{i>+(\vec{0})+(s\,\hat{\textbf{j>+(s\,\hat{\textbf{i}}+s\,\hat{\textbf{j>}{8},
\end{equation}

que, después de agrupar términos que van en la misma dirección, se convierte en

\begin{equation}
\vec{r}_\text{cm}=\frac{(s+s+s+s)\,\hat{\textbf{i}}+(s+s+s+s)\,\hat{\textbf{j}}+(s+s+s+s)\,\hat{\textbf{k}}}{8},
\end{equation}

que es igual a

\begin{equation}
\vec{r}_\text{cm}=\frac{4s}{8}\,\hat{\textbf{i}}+\frac{4s}{8}\,\hat{\textbf{j}}+\frac{4s}{8}\,\hat{\textbf{k}},
\end{equation}

\begin{equation}
\label{rcm1}
\vec{r}_\text{cm}=\frac{s}{2}\,\hat{\textbf{i}}+\frac{s}{2}\,\hat{\textbf{j}}+\frac{s}{2}\,\hat{\textbf{k}}.
\end{equation}

Usando el valor numérico de \(s\), obtenemos

\begin{equation}
\vec{r}_\text{cm}=\frac{8\,\text{cm}}{2}\,\hat{\textbf{i}}+\frac{8\,\text{cm}}{2}\,\hat{\textbf{j}}+\frac{8\,\text{cm}}{2}\,\hat{\textbf{k}},
\end{equation}

\begin{equation}
\vec{r}_\text{cm}=4\,\text{cm}\,\hat{\textbf{i}}+4\,\text{cm}\,\hat{\textbf{j}}+4\,\text{cm}\,\hat{\textbf{k}},
\end{equation}

que es la posición del centro del cubo.

b) Ahora eliminemos una de las partículas, eliminemos por simplicidad la partícula 6 cuyo vector de posición es \(\vec{r}_6=\vec{0}\). Entonces podemos escribir la nueva posición para el centro de masa \(\vec{r}_\text{cm}’\), usando la ecuación \eqref{rcm} como

\begin{equation}
\vec{r}_\text{cm}’=\frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2+m_3\vec{r}_3+m_4\vec{r}_4+m_5\vec{r}_5++m_7\vec{r}_7+m_8\vec{r}_8}{m_1+m_2+m_3+m_4+m_5+m_7+m_8}.
\end{equation}

Debido a que todas las masas son iguales a \(m\), la expresión anterior se simplifica a

\begin{equation}
\vec{r}_\text{cm}’=\frac{m(\vec{r}_1+\vec{r}_2+\vec{r}_3+\vec{r}_4+\vec{r}_5+\vec{r}_7+\vec{r}_8)}{7m},
\end{equation}

\begin{equation}
\label{rcm2}
\vec{r}_\text{cm}’=\frac{\vec{r}_1+\vec{r}_2+\vec{r}_3+\vec{r}_4+\vec{r}_5+\vec{r}_6+\vec{r}_7+\vec{r}_8}{7}.
\end{equation}

Usando las expresiones explícitas para los vectores de posición dadas en las ecuaciones \eqref{a1}-\eqref{a8} en la ecuación \eqref{rcm2} , obtenemos

\begin{equation}
\vec{r}_{cm}’=\frac{(s\,\hat{\textbf{i}}+s\,\hat{\textbf{k>+(s\,\hat{\textbf{k>+(s\,\hat{\textbf{j}}+s\,\hat{\textbf{k>+(s\,\hat{\textbf{i}}+s\,\hat{\textbf{j}}+s\,\hat{\textbf{k>+(s\,\hat{\textbf{i>+(s\,\hat{\textbf{j>+(s\,\hat{\textbf{i}}+s\,\hat{\textbf{j>}{7},
\end{equation}

que, después de agrupar términos que van en la misma dirección, se convierte en

\begin{equation}
\vec{r}_\text{cm}’=\frac{(s+s+s+s)\,\hat{\textbf{i}}+(s+s+s+s)\,\hat{\textbf{j}}+(s+s+s+s)\,\hat{\textbf{k}}}{7},
\end{equation}

que es igual a

\begin{equation}
\label{rcmp}
\vec{r}_\text{cm}’=\frac{4s}{7}\,\hat{\textbf{i}}+\frac{4s}{7}\,\hat{\textbf{j}}+\frac{4s}{7}\,\hat{\textbf{k}}.
\end{equation}

Usando el valor numérico de \(s\), obtenemos

\begin{equation}
\vec{r}_\text{cm}’=\frac{4(8\,\text{cm})}{7}\,\hat{\textbf{i}}+\frac{4(8\,\text{cm})}{7}\,\hat{\textbf{j}}+\frac{4(8\,\text{cm})}{7}\,\hat{\textbf{k}},
\end{equation}

\begin{equation}
\vec{r}_\text{cm}’=4.57\,\text{cm}\,\hat{\textbf{i}}+4.57\,\text{cm}\,\hat{\textbf{j}}+4.57\,\text{cm}\,\hat{\textbf{k}}.
\end{equation}

El cambio en la posición del centro de masa se puede calcular tomando la magnitud de la diferencia entre los vectores \(\vec{r}_{\text{cm}}\) y \(\vec{r}_{\text{cm}’}\), es decir

\begin{equation}
|\vec{r}_\text{cm}-\vec{r}_{\text{cm}}’|=\left|\frac{s}{2}\,\hat{\textbf{i}}+\frac{s}{2}\,\hat{\textbf{j}}+\frac{s}{2}\,\hat{\textbf{k}}-\left(\frac{4s}{7}\,\hat{\textbf{i}}+\frac{4s}{7}\,\hat{\textbf{j}}+\frac{4s}{7}\,\hat{\textbf{k}}\right)\right|,
\end{equation}

donde hemos utilizado los resultados de las ecuaciones \eqref{rcm1} y \eqref{rcmp} . Simplificando el resultado en la ecuación anterior, obtenemos

\begin{equation}
|\vec{r}_\text{cm}-\vec{r}_{\text{cm}}’|=\left|-\frac{s}{14}\,\hat{\textbf{i}}-\frac{s}{14}\,\hat{\textbf{j}}-\frac{s}{14}\,\hat{\textbf{k}}\right|,
\end{equation}

y tomando \(\frac{s}{14}\) como factor común

\begin{equation}
|\vec{r}_\text{cm}-\vec{r}_{\text{cm}}’|=\frac{s}{14}\left|\hat{\textbf{i}}+\hat{\textbf{j}}+\hat{\textbf{k}}\right|.
\end{equation}

Calculando la magnitud del vector \(\hat{\textbf{i}}+\hat{\textbf{j}}+\hat{\textbf{k}}\) obtenemos para la distancia a la que se desplaza el centro de masa

\begin{equation}
|\vec{r}_\text{cm}-\vec{r}_{\text{cm}}’|=\frac{s}{14}\sqrt{1^1+1^1+1^1},
\end{equation}

\begin{equation}
|\vec{r}_\text{cm}-\vec{r}_{\text{cm}}’|=\frac{\sqrt{3}s}{14}.
\end{equation}

Usando el valor numérico de \(s\), obtenemos

\begin{equation}
|\vec{r}_\text{cm}-\vec{r}_{\text{cm}}’|=\frac{\sqrt{3}(8\,\text{cm})}{14},
\end{equation}

\begin{equation}
|\vec{r}_\text{cm}-\vec{r}_{\text{cm}}’|\approx 1.00\,\text{cm}.
\end{equation}

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