¡Eficiencia de un ciclo!

Utilice la definición de trabajo y la primera ley de la termodinámica para obtener el trabajo y el calor, respectivamente. Luego use la ecuación de eficiencia. Trate de poner todo en términos de presión y volumen según la ley de los gases ideales.

La eficiencia termodinámica \(\eta\), se puede calcular como:

\begin{equation*}
\eta=1-\left|\frac{Q_{\text{out}}}{Q_{\text{in}}}\right|,
\end{equation*}

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El trabajo realizado es:

\begin{equation*}
W = \int_{V_i}^{V_f} P dV.
\end{equation*}

Dado que \(PV = nRT\), entonces:

Proceso A \(\rightarrow\) B.

\begin{equation*}
W_{A \rightarrow B} = P_a V_a \ln \left( \frac{V_b}{V_a} \right).
\end{equation*}

La primera ley de la termodinámica establece:

\begin{equation*}
\Delta U = Q – W,
\end{equation*}

y como \(\Delta U = 0\) para un proceso isotérmico, entonces \(Q=W\). Usando los valores correspondientes en términos de \(P\) y \(V\) obtenemos:

\begin{equation*}
Q_{C \rightarrow A} = -2 PV \ln (2).
\end{equation*}

Proceso B \(\rightarrow\) C.

\begin{equation*}
Q_{B \rightarrow C} = n C_p (T_c – T_b),
\end{equation*}

donde usando que \(T = PV / nR\), y la equivalencia con \(P\) y \(V\), después de algo de álgebra obtenemos:

\begin{equation*}
Q_{B \rightarrow C} = \frac{C_p}{R} 2 PV.
\end{equation*}

Proceso C \(\rightarrow\) A.

\begin{equation*}
Q_{C \rightarrow A} = n C_V (T_a – T_c),
\end{equation*}

donde usando que \(T = PV / nR\), y la equivalencia con \(P\) y \(V\), después de algo de álgebra obtenemos:

\begin{equation*}
Q_{C \rightarrow A} = -\frac{C_V}{R} 2 PV.
\end{equation*}

Luego, \(Q_{\text{in}} = Q_{B \rightarrow C} \), entonces:

\begin{equation*}
Q_{\text{in}} = \frac{C_p}{R} 2 PV,
\end{equation*}

Y para \(Q_{\text{in}} = Q_{A \rightarrow B} + Q_{C \rightarrow A} \), entonces:

\begin{equation*}
Q_{\text{out}} = -2PV \left( \ln (2) + \frac{C_V}{R} \right).
\end{equation*}

Entonces, la eficiencia es:

\begin{equation*}
\eta=1-\dfrac{\frac{3}{2}}{\ln(2)+\frac{5}{2}},
\end{equation*}

o:

\begin{equation*}
\eta \approx 0.53.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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Necesitamos encontrar la eficiencia del motor térmico que se muestra en la figura del problema. Para abordar este tipo de problemas, comenzamos tomando nota de las variables de estado dadas explícitamente por el problema (incluida la gráfica) y las relaciones que podemos establecer entre estas variables a través del conocimiento de los procesos termodinámicos. Luego, podemos usar la definición de eficiencia para un proceso termodinámico, la ley de los gases ideales y las variables de estado para simplificar aún más nuestra respuesta.

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Comencemos por identificar la presión \(P\) y el volumen \(V\) para cada punto de nuestro ciclo. Según el gráfico tenemos \(P_a=P\), \(P_b=2P\), \(P_c=2P\); \(V_a=2V\), \(V_b=V\) and \(V_c=2V\). Ahora identificamos el tipo de procesos en nuestro ciclo termodinámico: de \(a \to b\) es isotérmico, como dice el problema, de \(b \to c\) es isobárico, ya que la presión no cambia y de \( c \to a\) es isocórico porque el volumen no cambia. A partir de estas relaciones, podemos escribir las siguientes expresiones

\begin{equation}
T_a=T_b,
\end{equation}

\begin{equation}
P_b=P_c,
\end{equation}

y
\begin{equation}
V_c=V_a.
\end{equation}

Ahora, centremos nuestra atención en calcular la eficiencia termodinámica del ciclo \(\eta\), usando la definición

\begin{equation}
\label{eff}
\eta=1-\left|\frac{Q_{\text{out}}}{Q_{\text{in}}}\right|,
\end{equation}

donde \(Q_\text{out}\) es la suma de todo el calor que sale del sistema y \(Q_\text{in}\) es la suma de todo el calor que ingresa al sistema.

Ahora, identifiquemos en qué procesos sale o ingresa el calor al sistema. En el proceso \(a\to b\), tenemos una compresión isotérmica, lo que significa que el trabajo realizado por el gas es negativo (porque disminuye su volumen). Podemos usar la primera ley de la termodinámica.

\begin{equation}
\label{firstlaw}
\Delta U=Q-W,
\end{equation}

donde \(\Delta U\) es el cambio de la energía interna del sistema, \(Q\) es el calor y \(W\) el trabajo realizado por el gas; para encontrar una relación entre el calor y el trabajo realizado en este proceso. La energía interna es una cantidad que depende del número de moles, los grados de libertad del gas y su temperatura. En un proceso isotérmico, la energía interna no cambia, por lo tanto \(\Delta U_{a\to b}=0\). Usando este resultado en la ecuación \eqref{firstlaw} , podemos escribir

\begin{equation}
\Delta U_{a\to b}= Q_{a\to b}-W_{a\to b},
\end{equation}

y simplificando

\begin{equation}
0=Q_{a\to b}-W_{a\to b},
\end{equation}

o, de manera equivalente

\begin{equation}
\label{QWab}
Q_{a\to b}=W_{a\to b}.
\end{equation}

Como dijimos antes, el trabajo realizado por el gas es negativo en el proceso \(a\to b\), por lo que el calor también es negativo, lo que significa que está saliendo del sistema. Podemos calcular su valor explícitamente si calculamos el trabajo \(W_{a\to b}\). Para un proceso general \(x\to y\) el trabajo se puede calcular mediante la siguiente expresión

\begin{equation}
\label{work}
W_{x\to y}=\int_x^y P\,dV.
\end{equation}

Luego, usando \eqref{work} para el proceso \(a\to b\), tenemos

\begin{equation}
\label{workab}
W_{a\to b}=\int_a^b P\,dV.
\end{equation}

Para realizar la integral, debemos expresar la presión \(P\) en términos de volumen, esto puede ser hecho fácilmente si usamos la ley de los gases ideales

\begin{equation}
\label{idealgas}
PV=nRT,
\end{equation}

donde \(n\) es el número de moles, \(R\) es la constante del gas ideal y \(T\) es la temperatura absoluta del gas. Resolviendo para \(P\) en la ecuación \eqref{idealgas} , tenemos

\begin{equation}
\label{idealgasp}
P=\frac{nRT}{V}.
\end{equation}

Usando la ecuación \eqref{idealgasp} en la ecuación \eqref{workab} , tenemos

\begin{equation}
\label{workab2}
W_{a\to b}=\int_a^b\frac{nRT}{V}\,dV.
\end{equation}

Tenga en cuenta que en el proceso \(a\to b\), el término \(nRT\) es constante, por lo que podemos sacarlo de la integral de la ecuación \eqref{workab2} ; luego,

\begin{equation}
\label{workab3}
W_{a\to b}=nRT_{a\to b}\int_{a}^b\frac{dV}{V},
\end{equation}

donde hemos hecho explícito que la temperatura es la del proceso \(a\to b\) escribiendo \(T_{a \to b}\). Entonces podemos hacer la integral para obtener

\begin{equation}
W_{a\to b}=nRT_{a\to b}\left[\ln(V)\right]_{a}^b=nRT_{a\to b}\left(\ln(V_b)-\ln(V_a)\right),
\end{equation}

que se simplifica a

\begin{equation}
\label{workab4}
W_{a\to b}=nRT_{a\to b}\ln\left(\frac{V_b}{V_a}\right).
\end{equation}

Además, podemos cambiar el término \(nRT_{a\to b}\) usando la ecuación \eqref{idealgas} a cualquiera de las dos expresiones

\begin{equation}
nRT_{a\to b}=P_a V_a,
\end{equation}

o

\begin{equation}
nRT_{a\to b}=P_b V_b.
\end{equation}

Elegimos la expresión anterior para reemplazar en la ecuación \eqref{workab4} y obtener

\begin{equation}
W_{a\to b}=P_a V_a\ln\left(\frac{V_b}{V_a}\right).
\end{equation}

Volviendo a la ecuación \eqref{QWab} , obtenemos una expresión para el calor \(Q_{a\to b}\) de esta manera

\begin{equation}
\label{Qab}
Q_{a\to b}=P_a V_a\ln\left(\frac{V_b}{V_a}\right),
\end{equation}

que simplifica aún más al usar los valores de \(P_a\), \(V_a\) y \(V_b\) para

\begin{equation}
\label{Qabf}
Q_{a\to b}=(P)(2V)\ln\left(\frac{V}{2V}\right)=2PV\ln\left(\frac{1}{2}\right)=-2PV\ln(2).
\end{equation}

Donde hemos usado propiedades de logaritmos en la última línea \(\ln\left(\frac{1}{2}\right)=-\ln(2)\).

Ahora, concentrémonos en el proceso \(b\to c\), en el que el calor se puede calcular fácilmente como

\begin{equation}
\label{Qbc}
Q_{b\to c}=nC_p\Delta T,
\end{equation}

donde \(C_p\) es la capacidad calorífica del gas a presión constante y \(\Delta T\) es el cambio de temperatura, es decir \(\Delta T=T_c-T_b\). Usando la ley de los gases ideales dada en la ecuación \eqref{idealgas} y resolviendo la temperatura, tenemos

\begin{equation}
\label{idealgast}
T=\frac{PV}{nR}.
\end{equation}

Entonces podemos escribir las temperaturas \(T_b\) y \(T_c\) en términos de variables conocidas como

\begin{equation}
\label{Tb}
T_b=\frac{P_b V_b}{nR},
\end{equation}

y

\begin{equation}
\label{Tc}
T_c=\frac{P_c V_c}{nR}.
\end{equation}

Usando las expresiones de las ecuaciones \eqref{Tb} y \eqref{Tc} en \eqref{Qbc} , obtenemos la siguiente expresión

\begin{equation}
Q_{b\to c}= n C_p\left(T_c-T_b\right),
\end{equation}

\begin{equation}
Q_{b\to c}=n C_p\left(\frac{P_cV_c}{nR}-\frac{P_bV_c}{nR}\right).
\end{equation}

Tomando el término \(\frac{1}{nR}\) como factor común, tenemos

\begin{equation}
Q_{b\to c}=\frac{nC_p}{nR}\left(P_cV_c-P_bV_b\right)=\frac{C_p}{R}\left(P_cV_c-P_bV_b\right).
\end{equation}

Note que \(P_cV_c=(2P)(2V)=4PV\) and \(P_bV_b=(2P)(V)=2PV\), por lo que podemos simplificar la expresión anterior a

\begin{equation}
\label{Qbcf}
Q_{b\to c}=\frac{C_p}{R}(4PV-2PV)=\frac{C_p}{R}2PV,
\end{equation}

una cantidad que es positiva, ya que todas las variables que contiene son positivas; así, en el proceso \(b\to c\) el calor ingresa al sistema.

Finalmente, examinemos el proceso \(c\to a\), donde el calor se puede calcular de acuerdo con

\begin{equation}
\label{Qca}
Q_{c\to a}=nC_V\Delta T=nC_V(T_a-T_c),
\end{equation}

donde \(C_V\) es la capacidad calorífica del gas a volumen constante. Podemos usar la ecuación \eqref{idealgast} para escribir la temperatura \(T_a\) como

\begin{equation}
\label{Ta}
T_a=\frac{P_aV_a}{nR}.
\end{equation}

Juntando las expresiones de las ecuaciones \eqref{Tc} y \eqref{Ta} en la ecuación \eqref{Qca} obtenemos

\begin{equation}
Q_{c\to a}=nC_V\left(\frac{P_aV_a}{nR}-\frac{P_cV_c}{nR}\right),
\end{equation}

que se puede simplificar aún más si tomamos el factor común \(\frac{1}{nR}\) para obtener

\begin{equation}
Q_{c\to a}=\frac{C_V}{R}(P_aV_a-P_cV_c).
\end{equation}

Reemplazando los valores dados por el problema, llegamos a

\begin{equation}
Q_{c\to a}=\frac{C_V}{R}((P)(2V)-(2P)(2V))=\frac{C_V}{R}(2PV-4PV),
\end{equation}

que se simplifica a

\begin{equation}
\label{Qcaf}
Q_{c\to a}=-\frac{C_V}{R}(2PV),
\end{equation}

una cantidad que es negativa. Por tanto, en el proceso \(c\to a\) el calor abandona el sistema.

Ahora que sabemos en qué procesos entra o sale el calor del sistema, podemos decir que

\begin{equation}
Q_{\text{in}}=Q_{b\to c},
\end{equation}

y

\begin{equation}
Q_{\text{out}}=Q_{a\to b}+Q_{c\to a}.
\end{equation}

Si ponemos las expresiones explícitas para cada calor dadas por las ecuaciones \eqref{Qabf} , \eqref{Qbcf} y \eqref{Qcaf} en las expresiones anteriores, encontraremos que

\begin{equation}
\label{qin}
Q_{\text{in}}=\frac{C_p}{R}2PV,
\end{equation}

y

\begin{equation}
\label{qout}
Q_{\text{out}}=-2PV\ln(2)-\frac{C_V}{R}2PV.
\end{equation}

La última expresión en la ecuación \eqref{qout} se puede simplificar aún más si tomamos el factor común \(-2PV\). Explícitamente,

\begin{equation}
\label{qout2}
Q_{\text{out}}=-2PV\left(\ln(2)+\frac{C_V}{R}\right).
\end{equation}

Volviendo a la pregunta original sobre la eficiencia del ciclo, podemos usar los resultados de las ecuaciones \eqref{qin} y \eqref{qout2} en \eqref{eff} para escribir la siguiente expresión para la eficiencia

\begin{equation}
\eta=1-\left|\dfrac{\frac{C_p}{R}2PV}{-2PV\left(\ln(2)+\frac{C_V}{R}\right)}\right|.
\end{equation}

Cancelando \(2PV\) y tomando el valor absoluto (eliminando el signo menos del denominador), tenemos

\begin{equation}
\label{eff2}
\eta=1-\dfrac{\frac{C_p}{R}}{\ln(2)+\frac{C_V}{R}}.
\end{equation}

Para tener una idea de la eficiencia numérica de este ciclo, consideremos un gas monoatómico ideal. Los valores de las capacidades caloríficas a volumen constante y a presión constante son \(C_V=\frac{3}{2}R\) y \(C_p=\frac{5}{2}R\), respectivamente. Podemos usar esto en la ecuación \eqref{eff2}

\begin{equation}
\eta=1-\dfrac{\frac{3}{2}}{\ln(2)+\frac{5}{2}}\approx 0.53.
\end{equation}

Lo que significa que del calor que ingresa al ciclo, \(53\%\) se puede transformar en trabajo.

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