¡Tenis de mesa!

(a) Trate de encontrar el tiempo para un movimiento parabólico completo. Luego, use la ecuación de la distancia horizontal y reemplace el tiempo que acaba de encontrar.

(b) Trate de encontrar el tiempo para que un objeto alcance su altura máxima. Luego usa la ecuación de movimiento para encontrar la altura máxima.

(a) En Y, la pelota tiene una aceleración constante, dada por la aceleración de la gravedad. La ecuación de movimiento es, en general,

\begin{equation*}
\vec{y}_f = \vec{y}_i + \vec{v}_{iy} t + \frac{1}{2}\vec{g} t^2,
\end{equation*}

 

donde \(v_{iy}=v_i \sin \theta \). Despejando \(t\), obtenemos:

\begin{equation*}
t = \frac{2 v_i \sin \theta}{g}.
\end{equation*}

Para el movimiento en X tenemos:

\begin{equation*}
d_x = v_x t = v_i \cos \theta t.
\end{equation*}

Usando el tiempo encontrado antes y despejando \(\theta\) obtenemos:

\begin{equation*}
\theta = \frac{1}{2} \arcsin \left( \frac{d_x g}{{v_i}^2} \right),
\end{equation*}

y con valores numéricos:

\begin{equation*}
\theta = 24.12^\circ.
\end{equation*}

(b) Ahora, para la ecuación de movimiento en Y tenemos:

\begin{equation*}
\vec{y}_f = \vec{y}_i + \vec{v}_i t + \frac{1}{2}\vec{g} t^2,
\end{equation*}

y con la ecuación de velocidad

\begin{equation*}
\vec{v}_f=\vec{v}_{iy}+\vec{a}t,
\end{equation*}

Es posible combinar ambos despejando \(t\) en el segundo y reemplazando en el primero. Después de algo de álgebra y reemplazando los valores numéricos obtenemos:

\begin{equation*}
{y}_{max} = \frac{1}{2} \frac{{v_{iy}}^2}{g} = 0.3 \, \text{m}.
\end{equation*}

 

 

(a) Para encontrar el ángulo en el que Valerie golpea la pelota, necesitamos relacionar ese ángulo con las otras variables, como la longitud de la mesa y la rapidez inicial. La clave es encontrar una expresión para la distancia horizontal total que recorre un proyectil. Como veremos, esa distancia relaciona el ángulo inicial, la rapidez inicial y la distancia horizontal total.

Comencemos colocando un sistema de coordenadas, con un eje X horizontal apuntando en la dirección del movimiento de la pelota (ver figura 1).

Figura 1: Colocamos el sistema de coordenadas en el borde de la mesa con el eje X apuntando hacia la izquierda a lo largo de la trayectoria de la bola.

Observe que colocamos el origen en la mesa, de modo que la altura inicial y final de la bola sea cero (si hubiéramos colocado el origen en el piso, las alturas inicial y final habrían sido diferentes de cero pero el resultado final no habría cambiado). Ahora, a lo largo de X, la pelota tiene rapidez constante, por lo que la distancia horizontal total está dada por

\begin{equation}
\label{Table_distancia}
d_x = v_x t,
\end{equation}

donde \(v_x\) es la rapidez en X y \(t\) es el tiempo de toda la trayectoria. La rapidez en X está relacionada con el ángulo y la rapidez inicial como se indica en la figura 2.

Figura 2: El vector de velocidad descompuesto en sus componentes a lo largo de los ejes X y Y.

Por lo tanto, vemos que
\begin{equation}
v_x = v_i \cos \theta,
\end{equation}

y entonces la ecuación \eqref{Table_distancia} se convierte en

\begin{equation}
\label{Table_dxConVCosTheta}
d_x = v_i \cos \theta \, t.
\end{equation}

Necesitamos encontrar el ángulo y conocemos tanto \(d_x\) (que viene dado por la longitud de la tabla) como \(v_i\). Entonces, para encontrar \(\theta\) a partir de esta ecuación, todavía necesitamos encontrar el tiempo. Y para encontrar el tiempo debemos tener en cuenta el movimiento en Y.

En Y la pelota tiene una aceleración constante, dada por la aceleración de la gravedad. La ecuación de movimiento es, en general,

\begin{equation}
\vec{y}_f = \vec{y}_i + \vec{v}_i t + \frac{1}{2}\vec{g} t^2,
\end{equation}

donde \(\vec{y}_f\) es la posición final, \(\vec{y}_i\) la posición inicial, \(\vec{v}_i\) la velocidad inicial en Y y \(\vec{g}\) la aceleración gravitacional.

Según nuestro sistema, la aceleración gravitacional es negativa en Y, las posiciones inicial y final son cero y la velocidad inicial en Y es positiva. Entonces obtenemos

\begin{equation}
0 \, \hat{\textbf{j}} = 0 \, \hat{\textbf{j}} + v_{iy} t\, \hat{\textbf{j}} – \frac{1}{2} gt^2 \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Si reorganizamos los términos y nos centramos en las magnitudes, obtenemos
\begin{equation}
\frac{1}{2}gt^2 = v_{iy} t.
\end{equation}

Si dividimos entre \(t\) y \(g\), y multiplicamos por \(2\) obtenemos

\begin{equation}
t = \frac{2 v_{iy}}{g}
\end{equation}

Entonces esta ecuación nos da el tiempo en términos de \(v_{iy}\). Para continuar, usemos la figura anterior para escribir

\begin{equation}
\label{vsintheta}
v_{iy} = v_i \sin \theta,
\end{equation}

y así obtenemos

\begin{equation}
t = \frac{2 (v_i \sin \theta)}{g}.
\end{equation}

Ahora podemos usar esta expresión para el tiempo en la ecuación \eqref{Table_dxConVCosTheta} . Esto produce

\begin{equation}
d_x = v_i \cos \theta \left( \frac{2 v_i \sin \theta}{g} \right).
\end{equation}

Usemos ahora la identidad trigonométrica \(2 \sin \theta \cos \theta = \sin (2 \theta)\). Si usamos esa identidad aquí, obtenemos

\begin{equation}
d_x = \frac{{v_i}^2 \sin (2 \theta )}{g}.
\end{equation}

Esta es una expresión bien conocida que nos dice la distancia horizontal máxima de un proyectil que comienza y termina a la misma altura. Tenga en cuenta que solo depende del ángulo inicial y la rapidez inicial.

Entonces, a partir de aquí, podemos encontrar el ángulo. Primero, multiplicamos por \(g\) y dividimos por \({v_i}^2\) para obtener

\begin{equation}
\frac{d_x g}{{v_i}^2} = \sin ( 2 \theta ).
\end{equation}

Luego, aplicamos la función \(\arcsin\):

\begin{equation}
\arcsin \left( \frac{d_x g}{{v_i}^2} \right) = 2 \theta.
\end{equation}

Ahora dividimos por 2 para obtener

\begin{equation}
\frac{1}{2} \arcsin \left( \frac{d_x g}{{v_i}^2} \right) = \theta.
\end{equation}

Finalmente, podemos insertar aquí los valores numéricos:

\begin{equation}
\frac{1}{2} \arcsin \left( \frac{(2.74 \, \text{m}) (9.8 \, \text{m/s}^2)}{(6 \, \text{m/s})^2} \right) = \theta.
\end{equation}

El resultado es

\begin{equation}
\theta = 24.12^\circ.
\end{equation}

(b) Ahora necesitamos encontrar la altura máxima de la pelota. La altura viene dada por la posición en Y, y como explicamos antes, la ecuación de movimiento en Y es

\begin{equation}
\vec{y}_f = \vec{y}_i + \vec{v}_i t + \frac{1}{2}\vec{g} t^2
\label{EqinY}
\end{equation}

Si queremos encontrar la altura máxima, necesitamos ingresar el tiempo para la altura máxima en la ecuación. Es decir,

\begin{equation}
\vec{y}_{max} = \vec{y}_i + \vec{v}_i {t_{max}} + \frac{1}{2}\vec{g} {t^2_{max}},
\label{EqinY1}
\end{equation}

Ahora, según nuestro sistema, la rapidez inicial es positiva en Y, la posición inicial en Y es cero y la aceleración gravitacional es negativa. Entonces obtenemos

\begin{equation}
{y}_{max} \, \hat{\textbf{j}} = v_{iy} {t_{max}}\, \hat{\textbf{j}} – \frac{1}{2} g{t^2_{max}} \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Si nos enfocamos en las magnitudes, obtenemos

\begin{equation}
\label{maximumheight}
{y}_{max} = v_{iy} {t_{max}} – \frac{1}{2} g{t^2_{max}} .
\end{equation}

Recuerde que la rapidez inicial en Y viene dada por \(v_{iy}=v_i \sin \theta\) (esta era la ecuación \eqref{vsintheta}). Ya encontramos el ángulo en (a), por lo que podemos encontrar fácilmente esta rapidez . Pero hagámoslo más tarde. Por ahora, centrémonos en encontrar el tiempo de altura máxima que necesitamos para usar la ecuación \eqref{maximumheight} .

La clave para encontrar este tiempo radica en el hecho de que, cuando un proyectil está en el punto de máxima altura, su velocidad vertical es cero (en ese punto, el objeto no está subiendo ni bajando). Por tanto, considere la ecuación para la velocidad de un objeto con aceleración uniforme. Es

\begin{equation}
\vec{v}_f=\vec{v}_{iy}+\vec{a}t.
\end{equation}

Según nuestro sistema de coordenadas, la velocidad inicial en Y es positiva y la aceleración gravitacional es negativa, por lo que podemos escribir esta ecuación como

\begin{equation}
\vec{v}_f={v_{iy}} \, \hat{\textbf{j}}-gt \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Ahora podemos usar que en el momento de la altura máxima, la velocidad vertical es cero:

\begin{equation}
0 \, \hat{\textbf{j}}=v_{iy} \, \hat{\textbf{j}}-g{t_{max}} \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Centrémonos en las magnitudes y reorganicemos la ecuación para obtener

\begin{equation}
{v_{iy}} = gt_{max}.
\end{equation}

Dividiendo por \(g\), obtenemos

\begin{equation}
\frac{{v_{iy}}}{g} = t_{max}.
\end{equation}

Entonces hemos encontrado una expresión para el tiempo de altura máxima. lo insertamos en \eqref{maximumheight} para obtener

\begin{equation}
\label{maximumheight2}
{y}_{max} = {v_{iy}} \left( \frac{{v_{iy}}}{g}\right) – \frac{1}{2} g\left( \frac{{v_{iy}}}{g}\right)^2.
\end{equation}

Manipulamos un poco los dos términos del lado derecho para obtener

\begin{equation}
\label{maximumheight3}
{y}_{max} = \frac{{v_{iy}}^2}{g} – \frac{1}{2} \frac{{v_{iy}}^2}{g}.
\end{equation}

Observe que los dos términos de la derecha se pueden sumar y, si lo hacemos, encontramos

\begin{equation}
\label{maximumheight4}
{y}_{max} = \frac{1}{2} \frac{{v_{iy}}^2}{g}.
\end{equation}

Ésta es una ecuación bien conocida para el punto de altura máxima de un proyectil. Solo depende de la rapidez vertical inicial (por supuesto, si la altura inicial no es cero, entonces tenemos que sumarla a la ecuación \eqref{maximumheight4} ).

Ahora, usemos la ecuación \eqref{vsintheta} para escribir esta altura en términos del ángulo y la rapidez inicial:

\begin{equation}
\label{maximumheight5}
{y}_{max} = \frac{1}{2} \frac{{(v_i \sin \theta)}^2}{g}.
\end{equation}

Finalmente, inserte los valores numéricos aquí

\begin{equation}
\label{maximumheight6}
{y}_{max} = \frac{1}{2} \frac{{((6\, \text{m/s}) \sin (24.12^\circ))}^2}{g}
\end{equation}

para obtener

\begin{equation}
y_{max} = 0.3 \, \text{m}.
\end{equation}

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